Корень из простого числа как комбинация корней из единицы

[TopLalka]

Здравствуйте. Хочу какую-нибудь подсказку по следующей задаче:

Представьте корень из простого числа $p$ как комбинацию корней из единицы степени $p$, мнимой единицы и арифметических операций.

Заранее спасибо.

[Urnwestek]

Подсказка: $p = 1 \cdot p$
UPD: Прошу прощения, неправильно понял задачу и сморозил глупость.

[nnosipov]

Гуглите "суммы Гаусса".

[Sonic86]

Посмотрите квадратичные суммы Гаусса в литературе.
$g=\sum\limits_{k=0}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\zeta^k$
$g^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$

[Vapmat]

Матфак, так нельзя.

-- 16.10.2013, 22:16 --

Матфак, так нельзя.

[Toucan]

Vapmat, замечание за бессодержательное сообщение.

[userded]

Уважаемые профессионалы!
А не подскажете, есть ли какая-нибудь еще сумма $p$ корней $p$-ой степени из единицы,
по модулю равная $\sqrt p$, кроме суммы Гаусса (с точностью до $ai^2+bi+c$). $p$ -- простое.
Спасибо

[nnosipov]

userded в сообщении #930662 писал(а):

А не подскажете, есть ли какая-нибудь еще сумма $p$ корней $p$-ой степени из единицы,
по модулю равная $\sqrt p$, кроме суммы Гаусса

Если допускать только рациональные коэффициенты (как в сумме Гаусса), то фактически нет. Единственная возможная модификация суммы Гаусса --- это добавление к каждому её коэффициенту одного и того же рационального числа. Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.

[userded]

Цитата:

Если допускать только рациональные коэффициенты (как в сумме Гаусса), то фактически нет. Единственная возможная модификация суммы Гаусса --- это добавление к каждому её коэффициенту одного и того же рационального числа. Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.

Про добавление одного и того же целого рационального -- понятно. А почему других-то нет? Можно ли про это где-нибудь прочитать? Прошу прощения, я еще раз подчеркну: интересны суммы по модулю равные корню из p

[nnosipov]

userded в сообщении #930950 писал(а):

А почему других-то нет?

Я же написал:

nnosipov в сообщении #930753 писал(а):

Это связано с тем, что равенство вида $a_0+a_1\zeta+\ldots+a_{p-1}\zeta^{p-1}=0$ с рациональными $a_i$ может иметь место только тогда, когда $a_0=a_1=\ldots=a_{p-1}$.

Разумеется, если Вы разрешите коэффициентам при $\zeta^k$ ($k=0,1,\dots,p-1$) в сумме быть какими попало (не рациональными), то таких сумм можно напридумывать сколько угодно, и задача описания этих сумм теряет смысл. Либо Вы заранее оговариваете природу коэффициентов, и тогда это подлежит обсуждению.

-- Пт ноя 14, 2014 22:42:23 --

userded в сообщении #930950 писал(а):

Можно ли про это где-нибудь прочитать?

В конечном итоге это сводится к неприводимости многочлена $x^{p-1}+\dots+x+1$ над полем $\mathbb{Q}$, а она следует из критерия Эйзенштейна (есть практически в любом учебнике по алгебре; можно также погуглить).

[userded]

Прошу прощения, я еще раз подчеркну: интересны суммы по модулю равные корню из p

-- 14.11.2014, 19:46 --

А про то, какой базис у расширения поля рациональных чисел корнем из единицы простой степени, я в курсе

[nnosipov]

userded в сообщении #930950 писал(а):

интересны суммы по модулю равные корню из p

Это немного сложнее: нужно сумму Гаусса (возможно, модифицированную описанным выше способом) домножить на какой-нибудь $\pm \zeta^k$. То, что других вариантов нет, следует из такого утверждения: все числа из поля $\mathbb{Q}(\zeta)$, по модулю равные единице, суть $\pm \zeta^k$. Это есть, например, в книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма". Доказательство несложное.

[userded]

nnosipov в сообщении #930957 писал(а):

userded в сообщении #930950 писал(а):

интересны суммы по модулю равные корню из p

Это немного сложнее: нужно сумму Гаусса (возможно, модифицированную описанным выше способом) домножить на какой-нибудь $\pm \zeta^k$. То, что других вариантов нет, следует из такого утверждения: все числа из поля $\mathbb{Q}(\zeta)$, по модулю равные единице, суть $\pm \zeta^k$. Это есть, например, в книге Эдвардса "Последняя теорема Ферма". Доказательство несложное.

Боюсь, Вы немного ошибаетесь: там числа не из $\mathbb{Q}(\zeta)$, а из $\mathbb{Q}[\zeta]$, что совсем не одно и то же. И я не понял, в указанной Вами книге доказано, что нет других сумм с модулем $\sqrt p$, или доказана обсужденная нами теорема Кронекера? Пока не могу найти

[nnosipov]

userded в сообщении #930966 писал(а):

там числа не из $\mathbb{Q}(\zeta)$, а из $\mathbb{Q}[\zeta]$, что совсем не одно и то же.

Это одно и то же: $\mathbb{Q}(\zeta)=\mathbb{Q}[\zeta]$. Это верно, потому что $\zeta$ есть алгебраическое число.

-- Сб ноя 15, 2014 00:30:55 --

userded в сообщении #930966 писал(а):

Боюсь, Вы немного ошибаетесь:

Да, действительно, то утверждение справедливо только для $\mathbb{Z}[\zeta]$ (а не для $\mathbb{Q}(\zeta)$). Таким образом, Ваш вопрос сводится к выяснению того, какие числа поля $\mathbb{Q}(\zeta)$ по модулю равны единице. Не знаю. Уже при $p=3$ ответ нетривиален.

[userded]

Простите, описка случилась. Имел в виду $\mathbb{Z}[\zeta]$. То есть, я знаю утверждение такого вида: "Любое алгебраическое целое из $\mathbb{Q}(\zeta)$, имеющее модуль 1, является корнем из единицы". Или это верно для любого числа из $\mathbb{Q}(\zeta)$? То есть, любые 2 числа с одинаковым модулем отличаются множителем, равным корню из единицы? Что-то не верится. Буду признателен, если Вы дадите ссылку на утверждение. Прошу прощения за назойливость