2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 12:02 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #733845 писал(а):
на многообразиях касательные пространства рассматриваются


Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства, то второй дифференциал был бы тензором, а он не; достаточно посмотреть на закон преобразования (оттуда растут символы Кристоффеля и т. д.). И вообще, возьмите линейную функцию, у нее гессиан нуль, а перейдите в криволинейные координаты --- сразу не нуль.

Если пытаться записать инвариантное определение, то нужно взять градиент функции, рассмотреть его как 0-форму со значениями в $T^*M$ и взять от нее внешний дифференциал. Получится 1-форма, коэффициент которой тоже 1-форма, т. е. в координатах матрица $n\times n$. Но внешний дифференциал для форм со значениями в расслоениях просто так не определен, нужна дополнительная структура (связность).

Если нужен инвариантный объект без дополнительной структуры, то нужно брать не вторые ($k$-е) производные, а "сразу все производные порядка не выше $k$". Т. е. вместо гессиана брать совокупность гессиана, градиента и значения функции; это называется 2-jet и является инвариантным объектом (сечением расслоения джетов).

-- 07.06.2013, 13:14 --

arschloach в сообщении #732885 писал(а):
Почему при дифференцировании дифференциальной формы первого порядка получаем вторую форму?
Можете привести пример дифференцирования конкретной первой формы на пространстве двухмерных векторов с получение второй формы


Присоединяюсь к вопросу остальных участников темы. Насколько подробно Вы изучали дифференциальные формы? Если не очень подробно/вообще не изучали, то зачем Вам ответ на только этот вопрос?

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 12:19 
Цитата:
Если не очень подробно/вообще не изучали, то зачем Вам ответ на только этот вопрос?
ну почему только, можно еще на какие-нибудь :-)

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 12:39 
Аватара пользователя
arschloach в сообщении #733915 писал(а):
Цитата:
и что же является вторым аргументом формы? В некотором смысле там два ковектора, но они совпадают.
не знаю, просто читал что при внешнем дифференцировании степень формы увеличивается на единичку

Ну, знаете, у квадратичной формы тоже степень больше на единичку, чем у линейной, однако она не билинейная и зависит от одного аргумента.
Самое первое, что нужно понять - что значок $\wedge$ обозначает косое произведение,т.е. $a\wedge b=-b\wedge a$. Вопрос на засыпку: чему равно $a\wedge a$?

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:03 

(Оффтоп)

нулю? :twisted:

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:19 
Аватара пользователя
arschloach в сообщении #733955 писал(а):

(Оффтоп)

нулю? :twisted:


Точно. А что так секретно? Кстати, вы на чем рассматриваете свои формы: на многообразии, или просто на плоскости?

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:22 
на плоскости пока

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:26 
Аватара пользователя
Ну и никакой прблемы. Имеем $\omega_0=f(x,y)$. Первый дифференциал совпадает с обычным, $\omega_1=Df=df=f'_xdx+f'_ydy$. При втором дифференцировании появляется произведение дифференциалов, и его уже нужно считать косым:
$D\omega_1=d(f'_x)\wedge dx+d(f'_y)\wedge dy=(f''_{xx}dx+f''_{xy}dy)\wedge dx+(f''_{yx}dx+f''_{yy}dy)\wedge dy$. Теперь раскройте скобки и приведите подобные, с учетом двух свойств косого произведения.

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:27 
да :-)

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:34 
g______d в сообщении #733924 писал(а):
Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства

какое именно определение Вы называете "моим" и почему?

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 13:34 
Аватара пользователя
Поправка к моему предыдущему посту. Второй дифференциал можно считать от пооизвольной формы первого порядка, но принцип тот же. От дифференциала получаем 0, $DD\omega =0$

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 14:09 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #733972 писал(а):
g______d в сообщении #733924 писал(а):
Со вторым дифференциалом так не получится. Если бы Ваше определение обобщалось на касательные пространства

какое именно определение Вы называете "моим" и почему?


Расширение процитированного Вами определения из КФ на многообразия; по крайней мере, я так понял следующую фразу

Oleg Zubelevich в сообщении #733845 писал(а):
на многообразиях касательные пространства рассматриваются

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 14:11 
процитируйте плз, где именно я утверждал, что $\frac{\partial ^2 f}{\partial x^j\partial x^i}$ являются компонентами тензора?

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 14:24 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #733995 писал(а):
процитируйте плз, где именно я утверждал, что $\frac{\partial ^2 f}{\partial x^j\partial x^i}$ являются компонентами тензора?


В явном виде нигде. Но если в определение из КФ подставить касательные пространства и скалярные функции, то будет $\mathcal L(T_x M,\mathcal L(T_x M,\mathbb R))=\mathcal L(T_x M,T_x^* M)$, а это уже тензоры.

Давайте так: если я неправильно понял определение по фразе про касательные пространства, сформулируйте правильное.

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 14:28 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #733638 писал(а):
в бескоординатном виде, на языке множеств и отображений.

Дело вкуса, всего лишь. Пенроуз как-то пытался примирить сии две враждующие фракции (координатников и бескоординатников), но судя по всему это попросту невозможно.

 
 
 
 Re: Дифференциальные формы
Сообщение07.06.2013, 15:25 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #734005 писал(а):
Дело вкуса, всего лишь. Пенроуз как-то пытался примирить сии две враждующие фракции (координатников и бескоординатников), но судя по всему это попросту невозможно.


Никаких враждующих фракций на серьезном уровне мне не известно. В тех случаях, когда возможны обе формы, они эквивалентны и их использование — вопрос удобства. Тем не менее, есть довольно много ситуаций, когда координатная запись невозможна. Например, в некоммутативной геометрии и алгебраической геометрии. Бывает, что многообразие есть, и касательное пространство есть, а координат в них нет (например, если мы над конечным полем или вообще некоммутативным кольцом).

С другой стороны, в анализе многие вопросы проще сразу перенести на $\mathbb R^n$.

 
 
 [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group