Помогите найти ошибку

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Пока перенес тему в дискуссионную математику, однако хочу предупредить: если ТС будет продолжать уходить от ответа на прямо поставленные вопросы участников обсуждения и выступать с лишенными какого-либо математического смысла заявлениями типа

DANGER в сообщении #633836 писал(а):

Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

тема уедет в Пургаторий.

[shwedka]

DANGER в сообщении #633836 писал(а):

Вытекает из этого:

Общий вид функции и приращение этой функции - есть связь между всей областью значений и интервалом области значений. Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

Явный обман и жульничество при цитировании. Утаена важнейшая часть.
Страницей раньше у Фихтенгольца написано:

Цитата:

Функция$ F(x)$ в данном промежутке называется перво-
образной функцией для функции$ f(x)$ или интегралом
от $f(x)$, если во всем этом промежутке$ f(x)$ является про-
изводной для функции $F(x)$ или, что то же, $f(x)dx$ служит
для $F(x)$ дифференциалом
$F'(x) = f(x) $или $dF(x) = f(x) dx$.

Таким образом, ни на каком множестве, кроме промежутка, понятие первообразной не определено. Использовать это понятие, а также использовать различные теоремы о нем на каком-либо множестве, кроме промежутка, нельзя. Функция у ТС задана на непромежутке.

[nnosipov]

DANGER в сообщении #633923 писал(а):

Рассмотрим два взаимообратных действия ...

ТС явно работает в жанре китча. Забавно, но непонятно, что здесь можно обсуждать. Может, он нам представит ещё какой-нибудь "контрпример", опровергающий основы анализа? Кстати, самый первый из них (он впоследствии исчез, и мы вместо него видим картинку с "интегральными площадями") был довольно скучным, так как содержал банальную арифметическую ошибку.

Или всё-таки вернутся к вопросу об области определения логарифмической функции? Ведь явного ответа мы так и не получили.

[Ribocyte]

nnosipov в сообщении #634679 писал(а):

Цитата:
Функция F(x)...

Меня здесь задело выражение "функция F(x)". Насколько правомерно его применять?
Это выражение должно обозначать ЗНАЧЕНИЕ функции F в точке х, но никак не саму функцию.
Действительно именно ВЫРАЖЕНИЕ называется неопределённым интегралом, а не функция? Как брать тогда производную от такого "выражения"?

[Munin]

Если $x$ - связанная переменная, то выражение $F(x),$ разумеется, даёт значение функции $F$ в точке $x,$ но если это свободная переменная, то выражение $F(x)$ само по себе является функцией от $x,$ точно так же, как и другие выражения, например, $x^2,$ $1/F(x),$ и так далее.

Надо отличать педантизм от заскоков...

[nnosipov]

Ribocyte в сообщении #634721 писал(а):

nnosipov в сообщении #634679 писал(а):

Цитата:
Функция F(x)...

Меня здесь задело выражение "функция F(x)". Насколько правомерно его применять?
Это выражение должно обозначать ЗНАЧЕНИЕ функции F в точке х, но никак не саму функцию.

(Будьте внимательнее при цитировании.) Для тех, кто понимает, что такое функция, такая вольность речи простительна. К ТС это, конечно, не относится. В этом-то и проблема.

[Ribocyte]

Munin в сообщении #634746 писал(а):

Если $x$ - связанная переменная, то выражение $F(x),$ разумеется, даёт значение функции $F$ в точке $x,$ но если это свободная переменная, то выражение $F(x)$ само по себе является функцией от $x,$ точно так же, как и другие выражения, например, $x^2,$ $1/F(x),$ и так далее.

Надо отличать педантизм от заскоков...

Ого, сколько сразу ошибок.
1. Выражение, как правило, не является функцией. Хотя выражение может ОБОЗНАЧАТЬ функцию.
2. "$x^2,$ $1/F(x),$ и так далее" - это не обозначения функций. Замените переменную x на y - получатся, следуя Вашему загадочному заявлению те же самые функции $y^2,$ $1/F(y),$, отсюда легко и до такой шизофрении, как например:
$y^2+x^2=x^2+x^2,$ - утверждение о равенстве двух функций.

-- 23.10.2012, 19:37 --

nnosipov в сообщении #634747 писал(а):

Для тех, кто понимает, что такое функция, такая вольность речи простительна.

В нормальных текстах такая вольность все же не допускается - а она рассчитана как раз на тех, кто понимает, что это такое. А вот в школьных учебниках и учебных пособиях для технических вузов этот сюр как раз попадается. Только не факт, что именно эта публика так хорошо понимает, что такое функция.

Вообще, конечно во многих традиционных учебниках нередки нелепости вроде выражений "функция $x^2,$", "функция $sinx$" ($sin$ - это уже имя функции) и т.п.

[ewert]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #634678 писал(а):

Явный обман и жульничество при цитировании. Утаена важнейшая часть.
Страницей раньше у Фихтенгольца написано:

Ну надо сказать, что и Фихтенгольц тут не безумно аккуратен. Страницей раньше он называет интегралом первообразную, а страницей позже уже множество всех первообразных. Кроме того, производная имеет смсл не на промежутках вообще, а лишь конкретно на интервалах.

[Munin]

Ribocyte в сообщении #634778 писал(а):

2. "$x^2,$ $1/F(x),$ и так далее" - это не обозначения функций.

А я и не говорил, что они обозначения. Они сами функции и есть. Точнее, они задают функции, при соответствующей интерпретации символов, как я уже говорил, если $x$ считать свободной переменной. Более того, если договориться, что $F$ тоже свободная переменная, то $1/F(x)$ - это будет уже целый функционал.

Ribocyte в сообщении #634778 писал(а):

Замените переменную x на y - получатся, следуя Вашему загадочному заявлению те же самые функции $y^2,$ $1/F(y),$

Почему те же самые? Разумеется, это уже другие функции. В них вместо свободной переменной $x$ входит свободная переменная $y.$

Ribocyte в сообщении #634778 писал(а):

отсюда легко и до такой шизофрении, как например:
$y^2+x^2=x^2+x^2,$ - утверждение о равенстве двух функций.

Не знаю, каким образом у вас это "отсюда легко", но разумеется, $y^2+x^2=x^2+x^2$ - это тоже функция. Принимающая значения "истина" и "ложь" на множестве пар значений переменных $x$ и $y,$ и совпадающая на этом множестве с функцией $|x|=|y|.$ Чтобы рассмотреть его как утверждение о равенстве двух функций, необходимо связать переменные: $\forall x\forall y(y^2+x^2=x^2+x^2),$ и разумеется, это утверждение будет ложным.

-- 23.10.2012 19:06:21 --

Возьмём какую-нибудь прямую сумму многообразий $D,$ и зададим на ней функцию $f.$ Возьмём от неё внешнюю производную $df.$ Это будет форма, точная, и как следствие, замкнутая. Замкнутость, как я понимаю, можно проверить локально, а вот точность - нет: необходимо проинтегрировать форму по циклу, и убедиться, что получается нуль. Факторгруппой группы замкнутых форм по группе точных является группа когомологий (заданной размерности), так что, чтобы получить из замкнутой формы точную, надо "вычесть" когомологию. Точнее, каждой когомологии можно сопоставить форму в соответствующем ей классе эквивалентности замкнутых форм, отличающихся между собой на точную, и эту "эталонную форму когомологии" и надо вычесть. Когомологии можно сопоставить с интегралами по циклам. Дополнительную красоту можно навести, раскладывая когомологии по генераторам/образующим группы когомологий, и вычисляя "эталонные формы когомологий" по коэффициентам разложения.

Теперь пойдём в обратную сторону. Будем исходить из некоторой точной формы $g,$ и искать для неё такую, от которой она будет равна внешней производной: $g=df.$ По свойству точности, такая $f$ будет существовать, но не одна! В свою очередь, если к $f$ прибавить замкнутую форму того же типа, то получится новая форма $f'$ с той же производной: $df'=g.$ В результате, "первообразные" формы распадаются на классы эквивалентности, отличающиеся на замкнутую форму. Логично результатом интегрирования $d^{-1}$ считать не одну форму, а весь такой класс эквивалентности, и именно его называть первообразной. Так как устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точными формами и их первообразными, то теряется вообще смысл их между собой различать. Но не будем торопиться. Выделим в каждом таком классе эквивалентности представителя, и назовём его "эталонным значением интеграла". Тогда, каждая форма раскладывается: на "эталонное значение интеграла" и замкнутую форму, а замкнутая форма, в свою очередь, на "эталонную форму когомологии" и точную форму. Итого, получается три слагаемых: точная форма, "эталонная форма когомологии", и "эталонное значение интеграла" от некоторой точной формы следующей размерности.

Рассмотрим 1-мерный случай $D.$ Такая область определения состоит (не буду доказывать) из множества отдельных компонент связности, каждая из которых бывает вида (считаем метрику заданной):
- отрезок (с концами или без них);
- луч (в любую сторону, с концом или без него);
- бесконечная прямая;
- кольцо.
Честно говоря, получилась не настолько общая конструкция, как хотелось бы (хотелось бы допустить точки ветвления линий), ну да ладно, обойдёмся пока этим. Зададим числовую функцию $f$ (выше этого требования не указывалось). Тогда внешняя производная $df$ будет обладать свойством, что для каждого кольца $\oint_{L_i}df=0.$ В обратную сторону, взяв дуальную по Ходжу форму $*f$ (она попросту численно равна $f$), получаем замкнутую 1-форму (а какой она ещё может быть для 1-мерного случая?), и можем вычислить её 1-мерную когомологию: это набор значений $\oint_{L_i}df$ для всех колец $L_i$. "Эталонные формы генераторов группы 1-мерных когомологий" можно взять, например, в виде $1/2\pi$ на $i$-м кольце, и 0 на всех остальных компонентах; для всех остальных 1-мерных когомологий "эталонные формы" получаются суммой генераторных с числовыми коэффициентами. Вычитая из нашей $*f$ "эталонную форму её 1-мерной когомологии", получаем точную форму $g$, для которой существует некоторая "первообразная" числовая функция $F$: $g=dF.$ Чтобы описать результат интегрирования $d^{-1}g,$ надо рассмотреть весь класс эквивалентности, представителем которого является $F,$ то есть все замкнутые 0-формы. Каждая замкнутая 0-форма константна на каждой компоненте связности, а в остальном эти константы произвольны. Таким образом, результат интегрирования получается в виде $F+\sum_{P_i}C_ih_{P_i},$ где $P_i$ - компоненты связности, а $h_{P_i}$ равны 1 на своём компоненте связности, и 0 в остальных точках. В частности, $\int dx/x=\ln|x|+C_1h(-x)+C_2h(x),$ где $h(x)$ - уже обычная функция Хевисайда. Взяв разность этого выражения для точек $x_1$ и $x_2,$ для которых $x_1<0<x_2,$ получаем $\ln x_2/|x_1|+C_2-C_1,$ то есть множество значений, совпадающее с $\mathbb{R}.$

Интересно услышать от людей знающих, не налепил ли я тут ошибок.

[Ribocyte]

Munin в сообщении #634824 писал(а):

Почему те же самые? Разумеется, это уже другие функции. В них вместо свободной переменной $x$ входит свободная переменная $y.$

Можно анекдот?
Геолог объясняет старому аксакалу, показывая на горы. Дескать, раньше здесь динозавры были, птеродактили и прочие. А ещё раньше - океан, панцирные рыбы.
Аксакал слушает молча, трубку курит. А потом вдруг спрашивает:
"Слушай. А ты не врёшь?".
Это я по поводу того, что функции ВДРУГ станут другими.
Функция, скажем на области R, значение которой задается выражением $f(y)=y^2.$ будет ТОЙ ЖЕ САМОЙ функцией, что и функция на той же области, значение которой задаётся выражением $f(x)=x^2.$
Можно сказать и по другому - функция задаётся графиком (множеством упорядочённых пар) и областью определения.

-- 23.10.2012, 21:14 --

Munin в сообщении #634824 писал(а):

А я и не говорил, что они обозначения.

Вы несли бОльшую ересь - Вы выражения называли функциями:

-- 23.10.2012, 21:17 --

Munin в сообщении #634746 писал(а):

то выражение $F(x)$ само по себе является функцией от $x,$ точно так же, как и другие выражения, например, $x^2,$ $1/F(x),$ и так далее.

[shwedka]

ewert в сообщении #634800 писал(а):

shwedka в сообщении #634678 писал(а):
Явный обман и жульничество при цитировании. Утаена важнейшая часть.
Страницей раньше у Фихтенгольца написано:

Ну надо сказать, что и Фихтенгольц тут не безумно аккуратен. Страницей раньше он называет интегралом первообразную, а страницей позже уже множество всех первообразных. Кроме того, производная имеет смсл не на промежутках вообще, а лишь конкретно на интервалах.

Конечно, Ф. совсем точно и не написал. Но нужное им отмечено. Первообразная -- только у функций, заданных на отрезке!

[Munin]

Ribocyte в сообщении #634825 писал(а):

Можно сказать и по другому - функция задаётся графиком (множеством упорядочённых пар) и областью определения.

Ну что ж, тогда вы не в силах задать ни одну функцию выражением, и обсуждать функции типа $x^2$ для вас недоступно. Ведь вы не предоставили для неё график (весь полностью :-) ), а просто заявили "вычисляй так" - по-вашему же, это незаконно.

[DANGER]

Toucan в сообщении #634658 писал(а):

Пока перенес тему в дискуссионную математику, однако хочу предупредить: если ТС будет продолжать уходить от ответа на прямо поставленные вопросы участников обсуждения и выступать с лишенными какого-либо математического смысла заявлениями типа

DANGER в сообщении #633836 писал(а):

Интеграл - он и есть ИНТЕГРАЛ объективно, а то, какими свойствами какой его вид наделили - это субъективные детали.

тема уедет в Пургаторий.

А что здесь не так?! Интеграл - сумма последовательности, каждый член которой представляет собой последовательное произведение элемента области значения производной функции на разницу соседних элементов ее области определения. Это объективно. Неопределенный, определенный, несобственный, двойной и т.д. интегралы - это субъективное применение понятия "интеграл" к различным случаям. Т.к. названия можно было придумать для каждого конкретного случая, используя и другие слова-определения. Выбор СЛОВА - субъективный фактор.
Не понимаю, что тут нематематического, объясните и я впредь не буду делать подобных ошибок!

[Ribocyte]

Munin в сообщении #634901 писал(а):

Ну что ж, тогда вы не в силах задать ни одну функцию выражением, и обсуждать функции типа $x^2$ для вас недоступно. Ведь вы не предоставили для неё график (весь полностью ), а просто заявили "вычисляй так" - по-вашему же, это незаконно.

С каких это пор множество (например, график) нельзя задать выражением?
Может Вам стоит просто задуматься и попереваривать эту тему, прежде чем оспаривать ОБЩЕПРИНЯТЫЕ вещи относительно недопустимости выражения "функция $f(x)$", равно как недопустимости считать выражение функцией? Попридумайте и сами пару несуразностей, вытекающих из этих странных предположений. Ну вроде этого: что должна означать фраза "f(x) принадлежит множеству А"?
Задача несложная. Заодно просто вдумайтесь, что есть выражение, а что есть функция (заодно полезно, быть может, вспомнить, что только заданием графика функция не задается).
Подумайте также, почему Николай Вавилов в своей "Множественной доктрине" сказал: "Мы видим, насколько бессмысленно и преступно принятое в элементарных учебниках выражение "функция $f(x)=x^2$", не содержащее явного указания области и кообласти отображения".
Удачи.