Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике

[ewert]

Shadow в сообщении #589759 писал(а):

и прямая, проходящая через студента и автобуса (когда расстояние м/у ними наименьшее) перпендикулярна дороги, или нет?

Вот кто действительно всегда взаимно перпендикулярны -- так это оптимальная линия движения в неподвижной системе отсчёта и она же в движущейся. И это не случайно: если немного подумать, то ясно, что максимальный угол наклона траектории в движущейся системе отсчёта достигается тогда, когда векторная сумма скорости студента в неподвижной системе и минус скорости автобуса (т.е. диагональ в соотв. параллелограмме) достигается именно тогда, когда эта суммарная скорость перпендикулярна скорости студента. Собственно, этим сразу же, безо всяких выкладок этот искомый угол и определяется.

[Shadow]

Спасибо. Но я не вижу пока ошибку в следующем. Какой бы угол не выбрал студент, в один момент они с автобусом окажутся на одной линии, паралельной ординате. И это будет наименьшее расстояние м/у ними при данных условий. Рассмотрим этот момент. Пусть студент прошел $x$ метров. Тогда автобус проехал $2x$ метров. Т.е его расстояние от ординаты $2x-100$ метров. (без масщтабирования). Прямоугольный треугольник получается. И расстояние м/у ними будет $60-\sqrt{x^2-(2x-100)^2}$
Где ошибка?

[ewert]

Shadow в сообщении #589807 писал(а):

в один момент они с автобусом окажутся на одной линии, паралельной ординате. И это будет наименьшее расстояние м/у ними при данных условий.

Это совершенно точно не будет точкой минимума (если, конечно, студент бежит под углом): именно в этот момент расстояние за счёт движения только автобуса начинает увеличиваться, но лишь квадратично в зависимости от времени, в то время как студент продолжает сближаться с дорогой линейно -- и, значит, сближение пока что перевешивает.

[Shadow]

ewert в сообщении #589820 писал(а):

Это совершенно точно не будет точкой минимума

Конечно. Спасибо

[Sonic86]

xmaister в сообщении #589737 писал(а):

$$\lim\limits_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\arctg{\frac{2}{n^2}}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{1}{2k^2}}+\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{2}{(2k-1)^2}}\right)=\frac{3\pi}{4}$$

Я вот забыл, как решать эту задачу (пришлось даже в гугл сходить ), поэтому у меня получилось так:

$$\sum\limits_{k=1}^n\arctg x_k = \arctg\frac{\operatorname{Im}\prod\limits_{k=1}^n(1+ix_k)}{\operatorname{Re}\prod\limits_{k=1}^n(1+ix_k)}$$

Для $x_k=\frac{2}{k^2}$ получаем произведение $\prod\limits_{k=1}^{+\infty}(1+\frac{(1\pm i)^2}{k^2})=\frac{\sh\pi z}{\pi z}$ при $z=1\pm i$. Вот только я считаю в лоб и получаю $-\frac{\pi}{4}$, что отличается от ответа на период тангенса, не могу понять почему
В гугле было 3 примера с $x_k=\frac{2}{k^2};\frac{1}{2k^2};\frac{1}{k^2+k+1}$. Интересно, решается ли 3-й пример такой формулой. И вообще - насколько общо получилось? Или так лучше не считать?

-- Чт июн 28, 2012 16:52:15 --

Например, такая задача: докажите что

$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\arctg\frac{1}{k^2}=\arctg\frac{\tg\frac{\pi}{\sqrt{2}}-\th\frac{\pi}{\sqrt{2}}}{\tg\frac{\pi}{\sqrt{2}}+\th\frac{\pi}{\sqrt{2}}}$$