2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике
Сообщение27.06.2012, 17:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Shadow в сообщении #589759 писал(а):
и прямая, проходящая через студента и автобуса (когда расстояние м/у ними наименьшее) перпендикулярна дороги, или нет?

Вот кто действительно всегда взаимно перпендикулярны -- так это оптимальная линия движения в неподвижной системе отсчёта и она же в движущейся. И это не случайно: если немного подумать, то ясно, что максимальный угол наклона траектории в движущейся системе отсчёта достигается тогда, когда векторная сумма скорости студента в неподвижной системе и минус скорости автобуса (т.е. диагональ в соотв. параллелограмме) достигается именно тогда, когда эта суммарная скорость перпендикулярна скорости студента. Собственно, этим сразу же, безо всяких выкладок этот искомый угол и определяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике
Сообщение27.06.2012, 18:04 


26/08/11
2080
Спасибо. Но я не вижу пока ошибку в следующем. Какой бы угол не выбрал студент, в один момент они с автобусом окажутся на одной линии, паралельной ординате. И это будет наименьшее расстояние м/у ними при данных условий. Рассмотрим этот момент. Пусть студент прошел $x$ метров. Тогда автобус проехал $2x$ метров. Т.е его расстояние от ординаты $2x-100$ метров. (без масщтабирования). Прямоугольный треугольник получается. И расстояние м/у ними будет $60-\sqrt{x^2-(2x-100)^2}$
Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике
Сообщение27.06.2012, 18:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Shadow в сообщении #589807 писал(а):
в один момент они с автобусом окажутся на одной линии, паралельной ординате. И это будет наименьшее расстояние м/у ними при данных условий.

Это совершенно точно не будет точкой минимума (если, конечно, студент бежит под углом): именно в этот момент расстояние за счёт движения только автобуса начинает увеличиваться, но лишь квадратично в зависимости от времени, в то время как студент продолжает сближаться с дорогой линейно -- и, значит, сближение пока что перевешивает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике
Сообщение27.06.2012, 18:37 


26/08/11
2080
ewert в сообщении #589820 писал(а):
Это совершенно точно не будет точкой минимума
Конечно. Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике
Сообщение28.06.2012, 19:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8557
xmaister в сообщении #589737 писал(а):
$$\lim\limits_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\arctg{\frac{2}{n^2}}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{1}{2k^2}}+\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{2}{(2k-1)^2}}\right)=\frac{3\pi}{4}$$
Я вот забыл, как решать эту задачу (пришлось даже в гугл сходить :-( ), поэтому у меня получилось так:
$$\sum\limits_{k=1}^n\arctg x_k = \arctg\frac{\operatorname{Im}\prod\limits_{k=1}^n(1+ix_k)}{\operatorname{Re}\prod\limits_{k=1}^n(1+ix_k)}$$
Для $x_k=\frac{2}{k^2}$ получаем произведение $\prod\limits_{k=1}^{+\infty}(1+\frac{(1\pm i)^2}{k^2})=\frac{\sh\pi z}{\pi z}$ при $z=1\pm i$. Вот только я считаю в лоб и получаю $-\frac{\pi}{4}$, что отличается от ответа на период тангенса, не могу понять почему :-(
В гугле было 3 примера с $x_k=\frac{2}{k^2};\frac{1}{2k^2};\frac{1}{k^2+k+1}$. Интересно, решается ли 3-й пример такой формулой. И вообще - насколько общо получилось? Или так лучше не считать?

-- Чт июн 28, 2012 16:52:15 --

Например, такая задача: докажите что $$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\arctg\frac{1}{k^2}=\arctg\frac{\tg\frac{\pi}{\sqrt{2}}-\th\frac{\pi}{\sqrt{2}}}{\tg\frac{\pi}{\sqrt{2}}+\th\frac{\pi}{\sqrt{2}}}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group