По поводу автобуса есть два момента. Во-первых, надо перейти в систему отсчёта, связанную с автобусом. В ней товарищ будет бежать со скоростью
![$2-\cos\alpha$ $2-\cos\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/5/4253dff0ec43715f428afce05c2b1a4a82.png)
параллельно дороге и
![$\sin\alpha$ $\sin\alpha$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f16e373f2a664466419d135b04f5f482.png)
перпендикулярно дороге, где
![$\alpha$ $\alpha$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/4/c745b9b57c145ec5577b82542b2df54682.png)
-- это угол отклонения его траектории от направления дороги в неподвижной системе отсчёта. Чтобы наименьшее расстояние этой траектории от автобуса было минимальным, надо, чтобы он бежал по прямой с максимальным наклоном в системе отсчёта, связанной с автобусом, т.е. с максимальным
![$\tg\beta=\dfrac{\sin\alpha}{2-\cos\alpha}$ $\tg\beta=\dfrac{\sin\alpha}{2-\cos\alpha}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/f/69fd6783a19b6e9b8930898f9bcda8ee82.png)
(вот и неравенство, которого хотел
arqady). Максимум достигается при
![$\alpha=\frac{\pi}3$ $\alpha=\frac{\pi}3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/0/770e664531ae01fc0cc405f133ad182f82.png)
и, соответственно,
![$\beta=\frac{\pi}6$ $\beta=\frac{\pi}6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/f/36f409a8c62ddc20f16bd96b5801af8282.png)
. Расстояние от такой траектории до автобуса будет
![$\dfrac{60\sqrt3-100}2=30\sqrt3-50$ $\dfrac{60\sqrt3-100}2=30\sqrt3-50$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/4/b74a861a10c51ae2b2571922c93df50482.png)
, т.е. чуть меньше двух метров.
А во-вторых, полезно иметь в виду, что фактически расстояние будет нулевым: если даже студент и худущий, то автобус ведь объект явно не точечный. У него только ширина два с половиной метра, а длина даже и у ПАЗиков семь метров. Так что догонит.