2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение02.02.2012, 23:24 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
ИгорЪ в сообщении #534331 писал(а):
не понимаю почему это не репараметризация


Вас в школе учили вычислять интегралы методом замены переменной (т.е. с помощью репараметризации)? И на чем же еще основывается этот метод, если не на том, что при этом интеграл не меняется? :-) Тождественно не меняется, а не при каких-либо условиях на подинтегральное выражение :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение04.02.2012, 15:17 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Alex-Yu
Разумеется замена переменных и репараметризация одно и то же, и интеграл не меняется, но в теореие Нетер речь то об сохранении формы подинтегральной функции, замена переменных отфакторизовывается. Только это я и имел сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение04.02.2012, 16:24 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
ИгорЪ в сообщении #534956 писал(а):
Разумеется замена переменных и репараметризация одно и то же, и интеграл не меняется, но в теореие Нетер речь то


Я Вам уже объяснял, что именно делается в теореме Нетер. Если не понимаете -- Ваши проблемы, не мои. Впрочем, готов помочь разобраться, если увижу интерес к существу дела, а не к бессмыленному словоблудию. Пока -- увы.

А вообще меньше читайте соответствующий параграф Боголюбова-Ширкова. При всей великости Н.Н., этот параграф написан у него абсолютно невразумительно. Лучше своей головой подумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение04.02.2012, 18:52 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Если вы спец по Нетер то давайте. Первое, разве сдвиг по времени, что есть репараметризация не дает по Нетер энергию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение04.02.2012, 20:57 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
ИгорЪ в сообщении #535132 писал(а):
разве сдвиг по времени, что есть репараметризация


Ну вот тут и ошибка: репараметризация НЕ ЕСТЬ сдвиг во времени. Ну сколько можно, объяснял же уже... Ладно, не вижу смысла в дальнейшем общении. На этом вопрос исчерпан. Во всяком случае для меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение04.02.2012, 22:03 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Alex-Yu в сообщении #533936 писал(а):
Если Вы про сохранение энергии (частный случай теоремы Нетер), то там сдвиг траектории во времени, а не перепараметризация ТОЙ ЖЕ САМОЙ траектории.

Вы можете на формулах показать чем отличается "сдвиг траектории" и репараметризация?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение08.02.2012, 09:30 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
ИгорЪ в сообщении #535132 писал(а):
Если вы спец по Нетер то давайте. Первое, разве сдвиг по времени, что есть репараметризация не дает по Нетер энергию?
ИгорЪ в сообщении #535244 писал(а):
Alex-Yu в сообщении #533936 писал(а):
Если Вы про сохранение энергии (частный случай теоремы Нетер), то там сдвиг траектории во времени, а не перепараметризация ТОЙ ЖЕ САМОЙ траектории.

Вы можете на формулах показать чем отличается "сдвиг траектории" и репараметризация?

Существует две теоремы Нётер. Одна (первая) имеет дело с глобальной симметрией действия, вторая с локальной (калибровочной), т.е. когда параметры преобразования зависят от времени (в теории поля ещё и координат).

В первом случае $t\mapsto t'=t+\varepsilon$, $\varepsilon$ --- константа. В этом случае по теореме Нётер у нас есть закон сохранения энергии и т.к. при его выводе используются уравнения движения, то можно сказать, что траектория сдвигается во времени как целое.

Во втором случае параметр преобразования симметрии зависит от времени $\varepsilon(t)$. Это можно назвать репараметризацией. Согласно второй теореме Нётер в этом случае мы будем иметь некоторые тождества, составленные из уравнений движения, например как здесь
ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):
Известно, что взяв лагранжиан свободной частицы в СТО в виде корня из квадрата длины 4-скорости, можно, вычислив 4-импульс , обнаружить что его длина есть константа типа массы. Это называется связь или условие массовой поверхности и значит не все 4 компоненты импульса независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение08.02.2012, 17:35 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
espe в сообщении #536254 писал(а):
В этом случае по теореме Нётер у нас есть закон сохранения энергии и т.к. при его выводе используются уравнения движения, то можно сказать, что траектория сдвигается во времени как целое.

В доказательстве Нетер, вычичляя изменение действия при преобразованиях симметрии, мы пользуемся УД, но причем здесь сдвиг траектории как целого я хоть убей не вижу.
espe в сообщении #536254 писал(а):
Это можно назвать репараметризацией. Согласно второй теореме Нётер в этом случае мы будем иметь некоторые тождества, составленные из уравнений движения

Я как то пытался получить для релят. частицы связь из второй Нетер, однако безрезультатно. Может вы знаете как это делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение08.02.2012, 23:13 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
ИгорЪ в сообщении #536415 писал(а):
В доказательстве Нетер, вычичляя изменение действия при преобразованиях симметрии, мы пользуемся УД, но причем здесь сдвиг траектории как целого я хоть убей не вижу.

Я имел ввиду только образное восприятие. Можно считать, что сдвигается пространство-время, а частицы стоят на месте, можно наоборот. Не стоит на этом заморачиваться. Образное восприятие у разных людей может быть разным.
ИгорЪ в сообщении #536415 писал(а):
Я как то пытался получить для релят. частицы связь из второй Нетер, однако безрезультатно. Может вы знаете как это делать?

Возьмём действие например в виде $$S\sim\int d\tau\qquad d\tau=\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}dt.$$ Уравнение движения можно записать как$$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=0.$$Тождество, следующее из теоремы Нётер, будет $$\frac{dx_\mu}{d\tau}\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dx_\mu}{d\tau}\frac{dx^\mu}{d\tau}\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}1\equiv0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение09.02.2012, 14:56 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Это интересно.
А какую вы формулировку Нетер используете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение09.02.2012, 21:21 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Пусть имеется действие $S$, зависящее от набора полей $\varphi^i$ и инвариантное при преобразованиях $\delta\varphi^i=R^i_A\varepsilon^A$ ($R^i_A$ --- генераторы преобразований, $\varepsilon^A$ --- параметры, используются конденсированные обознаения, надеюсь понятные). Тогда при преобразованиях симметрии имеем $$\delta S=S[\varphi+\delta\varphi]-S[\varphi]=\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}\delta\varphi^i=\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A\varepsilon^A=0.$$ В силу того, что параметры являются произвольными функциями имеем тождества (их количество равно количеству параметров) $$\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение09.02.2012, 23:06 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
1.В нашем случае, кроме "полей"=координат, преобразовывается "пространство"=время и при вычислении изменения действия возникает ещё переносной член, при этом получается выражение для знергии, которое тождественно зануляется, как известно, и не дает никакого тождества.
2.Из последнего вашего выражения я не смог ничего получить. Если можно покажите вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение10.02.2012, 10:07 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
$\frac {\dot{x^\mu}}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}\frac{d(\varepsilon\dot{x})}{dt}=0$
или используя УД
$\frac{d(\frac {\dot{x^\mu}}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}\varepsilon\dot{x^\mu})}{dt}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение11.02.2012, 18:45 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Имеем одномерное (пространство-)время. Поля $x^\mu(t)$ (которые координаты в другом пространстве). Преобразование координат $t\mapsto t'=t+\varepsilon$ генерирует преобразование полей $x^{\prime\mu}(t')=x^\mu(t)$ (поля скалярные). Вариация (формы) поля по определению $\delta x^\mu(t)=x^{\prime\mu}(t)-x^{\mu}(t)$. Найдём её из $$x^{\prime\mu}(t')-x^{\mu}(t')+x^{\mu}(t')-x^\mu(t)=\delta x^\mu(t)+\dot{x}^\mu\varepsilon=0\quad\Longrightarrow\quad\delta x^\mu(t)=-\dot{x}^\mu\varepsilon$$Так как рассматриваемое преобразование есть преобразование симметрии, то $$0=S[x'(t')]-S[x(t)]=\Bigl(S[x'(t')]-S[x(t')]\Bigr)+\Bigl(S[x(t')]-S[x(t)]\Bigr)$$Первая скобка (вариация действия) равна $$\int\Bigl(\frac{\partial L}{\partial x^\mu}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\Bigr)\delta x^\mu(t)dt+\int\frac{d}{dt}\Bigr(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\delta x^\mu(t)\Bigr)dt$$Вторая скобка $$\int(L(t)+\dot{L}(t)\varepsilon)(1+\dot{\varepsilon})dt-\int L(t)dt=\int\frac{d}{dt}\Bigl(L\varepsilon\Bigr)dt$$Объединяем всё и получаем $$\int\Bigl(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\Bigr)\dot{x}^\mu\varepsilon \,dt+\int\frac{d}{dt}\varepsilon\Bigr(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\dot{x}^\mu\Bigr)dt=0.$$Из этого выражения можно получить обе теоремы Нётер приговаривая разные слова. Чтобы получить вторую выбираем $\varepsilon(t)$ так, чтобы на границе области интегрирования (которая произвольна) $\varepsilon(t)=0$. Тогда второй интеграл равен нулю. Далее, так как $\varepsilon(t)$ произвольная функция, то из первого интеграла заключаем, что$$\Bigl(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\Bigr)\dot{x}^\mu=0.$$ Подставляем явный вид лагранжиана для релятивистской частицы и получаем $$\dot{x}^\mu\frac{d}{dt}\frac{\dot{x}_\mu}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}=0$$
ИгорЪ в сообщении #536852 писал(а):
2.Из последнего вашего выражения я не смог ничего получить. Если можно покажите вычисления.
Индексы конденсированные, если стоит по ним сумма, то по дискретным индексам суммировани, по непрерывным интегрирование. Соответственно там было $i\to(\mu,t)$, $A\to t$ , $R^i_A\to R^\mu(t,t')=-\dot{x}^\mu\delta(t-t')$ и $$\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A\to\int\frac{\delta S}{\delta x^\mu(t')}R^\mu(t',t) dt'=-\frac{\delta S}{\delta x^\mu(t)}\dot{x}^\mu(t)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.
Сообщение13.02.2012, 18:39 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
espe
Т. е для второй теоремы находится на экстремали не обязательно. Очень квантовый факт. А на самой экстремали, первый член зануляется и связь пропадает. Т.е. классически связь и УД в некотором смысле эквивалентны. Ну это так, мысли вслух.
Условие $\varepsilon(t)=0$ немного смущает. Получается, что связь, которую мы вычислили по 2-ой Нетер не будет выполняться при самых общих преобразованиях, когда края тоже меняются и оживает поверхностный член. Между тем связь выполняется всегда. Ещё не могли бы вы разъяснить жаргон где $R$ есть дельта функция. Остальное вполне ясно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group