2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 09:40 


22/12/11
3
Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$
Видно, что для $\omega = \pm\omega_0$ мы делим ноль на ноль. Что делать дальше, я не знаю. Применить теорему о вычетах и попытаться показать, что $\hat x$ что-то вроде линейной комбинации двух дельта-функций? Не получилось.

Зайдём с другой стороны. Вот у нас есть некое решение $x_{spez} = \mathrm e^{\mathrm i\omega_0t}$ и, следовательно, $\hat x_{spez} = \sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0)$. Интегрируем по оттрансформированному уравнению и получаем $\omega_0^2 = 1$, что совсем уж ни в какие ворота.

Собственно, вопрос: что я делаю не так?

В пособиях нередко можно увидеть, что справа стоит не ноль, а дельта-функция. Тогда действительно всё получается. И понимать это предлагается как начальное условие: в такой-то момент времени по осциллятору, грубо говоря, стукнули, и вот он теперь так колеблется. Но это как-то очень странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 10:21 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):
Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0$

Собственно вы убедились, что в классе функций для которых существует преобразование Фурье это уравнение имеет лишь тривиальное решение. Ведь именно в классе абсолютно-интегрируемых функций вы искали решение, когда использовали свойство дифференцирования для преобразования Фурье? :mrgreen: (Посмотрите сообщение #503622)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 10:26 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #518809 писал(а):
Собственно вы убедились, что в классе функций для которых существует преобразование Фурье это уравнение имеет лишь тривиальное решение.

а про преобразование Фурье обобщенных функций Вы что-нибудь слышали?
Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$

это только так при $\omega\ne\pm\omega_0$, поэтому из уравнения следует, что $\hat x=c_1\delta(\omega-\omega_0)+c_2\delta(\omega+\omega_0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 10:34 


22/12/11
3
Oleg Zubelevich в сообщении #518813 писал(а):
поэтому из уравнения следует, что $\hat x=c_1\delta(\omega-\omega_0)+c_2\delta(\omega+\omega_0)$


Мне не вполне понятен этот шаг. Я вижу, что $\hat x = 0$ для $\omega\neq\pm\omega_0$, но я не вижу, как доказать, что это именно сумма двух дельта-функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 10:43 


10/02/11
6786
Докажите такое утверждение: Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 14:28 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #518813 писал(а):
а про преобразование Фурье обобщенных функций Вы что-нибудь слышали?
Имею предположение, что в классе обобщённых функций уравнение следует решать используя именно преобразование Фурье обобщённых функций и соответствующее свойство дифференцирования:
$$x''+\omega_0^2 x=0$$ Переходим к эквивалентному уравнению: $$(x'',\varphi)+\omega_0^2 (x,\varphi)=0,$$ где $\varphi(t)$ - пробная функция.
Берём преобразование Фурье: $$-\omega^2(\hat{x},\hat{\varphi})+\omega_0^2 (\hat{x},\hat{\varphi})=0$$ $$(\hat{x},(\omega_0^2-\omega^2)\hat{\varphi})=0$$ Уравнение удовлетворяется при $\hat{x} = C_1\delta(\omega+\omega_0)+C_2\delta(\omega-\omega_0)$, действительно $$(C_1\delta(\omega+\omega_0)+C_2\delta(\omega-\omega_0),(\omega_0^2-\omega^2)\hat{\varphi})=$$ $$=C_1(\omega_0^2-\omega_0^2)\hat{\varphi}(-\omega_0)+C_2(\omega_0^2-\omega_0^2)\hat{\varphi}(\omega_0)=0$$ А ваша рекомендация доказать что-то свалившееся с потолка (мне например) непонятна: каким образом вы приплетаете информацию о носителе к этому уравнению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):
Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 15:01 


23/12/07
1763
Хорхе в сообщении #518878 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):
Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?

Разве здесь не имелось в виду, что функцию, принимающую отличные от нуля значения лишь в конечном числе точек, можно представить в виде линейной комбинации дельта функций в этих точках? Зачем же здесь производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 15:43 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Предполагаю, что тут имелось ввиду, что если обощённая функция имеет носителем $x_1,...,x_n$, то она является линейной комбинацией дельта-функций. (Штрих обозначал пространство всех обобщённых функций). Ну или примерно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
У производных дельта-функции носитель тоже точечный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 16:08 


10/02/11
6786
Хорхе в сообщении #518878 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):
Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?


а разве неверно, что $\cap_{i=1}^n\ker\delta_{x_i}\subseteq \ker f$?
нет неверно, сам спросил, сам ответил :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Я к сожалению, не знаю, что такое $\operatorname{ker}$ для обобщенных функций, и не могу отвтетить на этот вопрос, но утверждение, написанное Вами, неверно: кроме самих дельта-функций, там еще их производные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 16:44 


10/02/11
6786
тогда ответ на вопрос топикстартера следвующий: $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ где $\hat x$ удовлетворяет уравнению
Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):
м: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0$


-- Пт дек 23, 2011 16:45:42 --

Хорхе в сообщении #518908 писал(а):
Я к сожалению, не знаю, что такое $\operatorname{ker}$ для обобщенных функций

обобщенная функция это линейный функционал по определению
Хорхе в сообщении #518908 писал(а):
но утверждение, написанное Вами, неверно:

дык я с этим уже согласился

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А, ну я понял.

Наконец прочитал вопрос. Да, из уравнения на $\hat x$ получается, что носитель $\hat x$ сосредоточен в точках $\pm \omega_0$. Но это лишь следствие, оно не является достаточным условием. На самом деле, поскольку производные функции $p(\omega) = \omega^2-\omega_0^2$ в точках $\pm \omega_0$ ненулевые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 18:51 


10/02/11
6786
Ну я это несколько иначе понимаю
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
соответственно $((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$ последнее равенство -- в силу уравнения, откуда следует $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$

-- Пт дек 23, 2011 19:09:13 --

Хорхе в сообщении #518912 писал(а):
евые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

тогда наверное надо и вторые производные проверять и еще непойми что

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group