дифференциал и производная

[caxap]

Читаю Зорича. Всё было нормально, пока не дошёл до функций многих переменных. В учебнике не разделяются понятия производной и дифференциала ($df$ и $f'$ считаются синонимы, причем также обозначается матрица якоби, которая (как я понял) являестя многомерным аналогом производной). Читать очень сложно. Не могли бы вы пояснить: это нормальная практика так отождествлять эти понятия? И если да, то нет ли какого-нибудь легкого введения, чтобы можно было "въехать в тему", а то у меня путаница в голове...

[Хорхе]

Порочно это, отождествлять производные и дифференциалы, так своему Зоричу и скажите.

[caxap]

И ещё. Верно ли я понимаю, что многомерным аналогом производнйо можно считать градиент? Т.е. $\Delta f=df+o(|h|)=\nabla f\cdot \vec h+o(|h|)$, где $\vec h=(dx,dy,...)$ -- приращение. В том же Зориче вскольз упоминается теорема, согласно которой линейному отображению $L(x)$ соответсвует вектор $\xi$ такой, что $L(x)=\langle \xi,x\rangle$. Где можно прочитать про эту теорему? И как вообще называется такой вектор в общем случае для произвольного лин. отображения?
Правильно ли я понимаю, что таким вот образом как раз и связаны якобиан (который определяет лин. отображение -- "производную"), а $\xi$ -- градиент (другая форма представления "многомерной производной")?

-- Сб июн 19, 2010 22:15:19 --

Хорхе в сообщении #332953 писал(а):

Порочно это, отождествлять производные и дифференциалы, так своему Зоричу и скажите.

Я бы сказал. Но книга уже написана, а неохота останавливаться, прочтя только половину. Да я думаю, может это он специально готовит ко 2 тому, где там какие-то дифференциальные формы и прочее.

[meduza]

caxap в сообщении #332951 писал(а):

нет ли какого-нибудь легкого введения, чтобы можно было "въехать в тему"

Просто, когда видите $df(x)h$, подразумевайте под этим $df(x,h)$.

[мат-ламер]

Я, когда в далёком детстве пытался самостоятельно по книгам усвоить понятие дифференциала, испытывал затруднения. Меня ставил в тупик вопрос - что такое дифференциал - число, функция или какой-либо другой объект? Если это число, то его можно явно вычислить и сказать, что он равно, например, $3.52$, и сравнивать с другими числами? Выяснилось, что нельзя, и что значение дифференциала функции линейно зависит от приращений независимых переменных, т.е. по сути - дифференциал это линейная функция, т.е. то же самое, что и производная. По поводу второго вопроса. Общий вид линейного функционала в евклидовом (и гильбертовом) пространстве задаётся скалярным произведением. В конечномернои пространстве это доказывается в курсе линейной алгебры.

-- Вс июн 20, 2010 12:24:00 --

Цитата:

И ещё. Верно ли я понимаю, что многомерным аналогом производнйо можно считать градиент?

Это в случае, если функция $R^n\to R$. В случае $R^n\to R^m$ - это линейный оператор.

[meduza]

мат-ламер в сообщении #333037 писал(а):

В случае $R^n\to R^m$ - это линейный оператор.

...который как раз описывается матрицей Якоби. В случае $m=1$ от неё остаётся только одна строка -- $\operatorname{grad} f$, в случае $m=n=1$ остаётся лишь одна обычная производная $f'$.

[Padawan]

В моем понимании дифференциал - это вектор, а производная - линейный оператор. Посмотрите на формулу Тейлора, например $\Delta f = f(x+h)-f(x)=df+\frac 12 d^2 f+\ldots$

[caxap]

мат-ламер в сообщении #333037 писал(а):

Общий вид линейного функционала в евклидовом (и гильбертовом) пространстве задаётся скалярным произведением. В конечномернои пространстве это доказывается в курсе линейной алгебры.

Я просматрел два учебника по Л.А. и не нашёл такого

meduza в сообщении #332962 писал(а):

Просто, когда видите $df(x)h$, подразумевайте под этим $df(x,h)$.

А, кажись я понял. У линейных операторов обычно скобки не пишут: $L(x)=Lx$. А $df(x)$ -- это и есть линеный оператор! Только вот, как я понял, под $f'(x)h$ подразумевается именно умножение якобиана $f'$ на вектор $h$.

мат-ламер в сообщении #333037 писал(а):

т.е. по сути - дифференциал это линейная функция, т.е. то же самое, что и производная.

Ну не совсем одно и тоже по-моему. Производная -- это некоторая функция от того же аргумента, что и сама $f$, т.е. если $f:R^n\to R^m$, то и производная такая же. А Дифференциал -- это результат действия этой производной на вектор приращения $h$. Область его определения -- множество векторов, с началом в точке $x$ (в обозначениях учебника $T\mathbb R_x$), а область значений -- совокупность векторов, приложенных к $f(x)$. Ведь так? И всё же Зорич упорно время от времени в предложениях пишет "бла-бла-бла... дифференциал $df(x)$, или, что тоже самое, производное отображение $f'(x)$,... бла-бла-бла".

-- Вс июн 20, 2010 12:15:23 --

Хотелось бы узнать мнения людей, успешно прочитавших главу о функциях многих переменных в Зориче и разобравшихся в ней.

[Хорхе]

Для меня дифференциал -- это линейный оператор, а производная -- матрица линейного оператора (отвечающего некоторой функции) в стандартном базисе. В принципе, дифференциал и не обязан отвечать некоторой функции (быть "полным"), как, например, $x\, dx+ x\, dy$.

[Padawan]

Хорхе в сообщении #333059 писал(а):

В принципе, дифференциал и не обязан отвечать некоторой функции (быть "полным"), как, например, $x\, dx+ x\, dy$.

Это уже другое, это дифференциальная форма. К дифференциалу отображения имеет слабое отношение.

[мат-ламер]

Как-то Арнольд В.И. по поводу какого-то школьного учебника заметил, что его авторы не правы, говоря, что $f(x)$ - функция. На самом деле $f(x)$ - это значение функции $f$ в точке $x$. Прослеживается аналогия с дифференциалом. Можно считать, что дифференциал (как и производная) - это линейная функция. Тогда под $df(z)$ можно понимать значение этой функции (дифференциала) при данных значениях $dx$ и $dy$. А можно считать, что дифференциал - это значение линейной функции (т.е. производной) при данных $dx$ и $dy$. По поводу общего вида линейного функционала. Рассмотрим в $R^n$ какой-либо ортонормированный базис $e_1,...,e_n$. Пусть $f(x)$ - линейный функционал. Тогда рассмотрим вектор $l$ с координатами $f(e_1),...,f(e_n)$. Он и будет задавать искомое cкалярное произведение $f(x)=(l,x)$.

[caxap]

Кажись всё понял. В линейной алгебре (вроде бы) иногда отождествляют линейное отображение и его матрицу. Так походу и у Зорича: он отждествляет само линейное преобразование $df(x)=df(x)(h)$ и его матрицу (Якоби) $f'(x)$. Т. е. $df(x)h := df(x)(h)$, а $f'(x)h:=f'(x)\cdot h$ и значит $df(x)h=f'(x)h$. Вроде бы если принять так, то нормально читаться стало.

[caxap]

Поясните пожалуйста, что верно:
1) Производная -- это лин. отображение (от приращения $h$); дифференциал -- конкретное значение производной при конкретном значении $h$.
2) Дифференциал -- это лин. отображение (от приращения $h$); производная -- матрица этого преобразования (Якоби).
3) Дифференциал и производная -- одно и то же, лин. отображение (от приращения $h$).
??

(Оффтоп)

Вот на примере $f:x\mapsto x^2$ я подумал. В обычном понимании производная -- это функция от $x$, $f':x\mapsto 2x$. (Как может это быть функцией от $h$, если $h$ в определении вообще нет?) Далее дифференциал $df(x)(h)=f'(x)\cdot h$, $df(x): h\mapsto 2xh$. Т. е. вроде бы подходит случай 2)

[La|Verd]

Как-то вы всё сильно запутали, мне кажется.
Если рассматривать обычную функцию одной переменной, то производная - есть функция (равная пределу известного отношения при $h$, стремящемся к нулю). Дифференциал - это величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента.
Дифференциал функции $y = f(x)$ равен ее производной, умноженной на дифференциал независимой переменной: $dy = f'(x)dx$.

Чтоб лучше разобраться с разницей между производной функции и ее дифференциалом, посмотрите их геометрический смысл.

Кстати, с функциями многих переменных ситуация вроде бы приблизительно та же.

[meduza]

La|Verd, вы написали то же, что caxap в последнем теге "оффтоп".

Моё понимание согласуется с вариантом 2), только под "дифференциалом" я понимаю как само отображение, так и его значение при выбранном $h$. А производная -- это $f'(x)$ в равенстве $df(x)(h)=f'(x)\cdot h$, т. е. матрица того отображения.