Элементы теории чисел (делимость)

[Marina]

Подсказите, пожалуйста, как найти все целые значения $n$, при которых числа $n-2, n+12, n+26$ являются простыми.
Не знаю даже с чего начать решение.

[ewert]

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3. А больше ни на что делиться не имеет права. Вывод: чему должно равняться наименьшее из них?...

[Marina]

Цитата:

чему должно равняться наименьшее из них?...

Я думаю, что 3.
Простое число больше 3 можно представить в виде $6k\pm 1$

[ewert]

Marina в сообщении #324235 писал(а):

Простое число больше 3 можно представить в виде $6k\pm 1$

Можно. Но не нужно.

[Батороев]

ewert в сообщении #324016 писал(а):

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3. А больше ни на что делиться не имеет права. Вывод: чему должно равняться наименьшее из них?...

С разрешения уважаемого ewert'a чуть-чуть подкорректирую:
"Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3, следовательно, оно - составное, за исключением случая, когда это число ..."

[ewert]

Батороев в сообщении #324320 писал(а):

С разрешения уважаемого ewert'a чуть-чуть подкорректирую:

Конечно разрешаю: а вдруг поможет?...

Только я бы подкорректировал немножко в другую сторону: "учитывая, что двойки среди них быть не может -- чему должно равняться наименьшее из них?..."

[Marina]

Цитата:

чему должно равняться наименьшее из них?..."

наименьшее из них при n=3 равно единице?

[ewert]

Marina в сообщении #324335 писал(а):

- 3

Разве бывают отрицательные простые числа?

[Sonic86]

(Оффтоп)

ewert писал(а):

Разве бывают отрицательные простые числа?

Кстати бывают, но не в этой опере.

[Батороев]

Marina в сообщении #324335 писал(а):

Цитата:

чему должно равняться наименьшее из них?..."

наименьшее из них при n=3 равно единице?

Имелось в виду - наименьшее из чисел - положительных, нечетных, кратных 3 и являющихся простыми.

[Marina]

Чем Вам три не нравится:простое, положительное, нечётное, кратно 3?

[Батороев]

Если это число - из трех рассматриваемых (надеюсь, Вы поняли, что только об этих числах шла до сих пор речь): $n-2$; $n+12$; $n+26$, то всем нравится.

[Marina]

Да.

[TOTAL]

А мне нравится число 5.

[Батороев]

TOTAL в сообщении #324364 писал(а):

А мне нравится число 5.

Этак мы эту задачу никогда не расхлебаем.
Из $n-2=5$ следует $n+26=33$.

Marina
Давайте я по своему варианту (у ewert'a подход чуть-чуть другой) проясню:
Мы выяснили, что одно из трех чисел $n-2$; $n+12$; $n+26$ будет кратно 3. Т.к. числа, кратные 3, - составные за исключением самого простого числа 3, то приходим к выводу, что одно из этих чисел должно быть равно 3.
Путем небольшого перебора ($n-2=3$; $n+12=3$; $n+26=3$) приходим к единственному варианту.