2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 08:15 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Lyosha в сообщении #270486 писал(а):
что пустое множество является частью какого-либо другого множества.

И при том этих пустых множеств в любом множестве бесконечное количество :wink:
Да, и пустое множество, тоже содержит пустое множество

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 09:07 


22/10/09
404
Sasha2
Покажите эквивалентность.Этим Вы лишь показали,что не опро вергли посылку о том,что пустое множество часть любого.У Вас схема рассуждения такова.Из дифференцируемости функции следует её непрерывность.Как опровергнуть дифференцируемость?Показать разрывность.Но есть непрерывность!Значит есть дифференцируемость.

Профессор Снэйп
Покажите как.

-- Сб дек 12, 2009 09:16:49 --

12d3
Это всего лишь будет означать,что пустое множество не будет собственным подмножеством(что вообще говоря,предпологалось).Неужели Вы думаете,что сможете извлечь из этого какое-то противоречие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 09:53 


04/11/09
45
Lyosha
Все это имеет чисто экономические причины. Если бы пришлось вместо утверждения, что пересечение двух множеств A и B является подмножеством и A и B доказывать что пересечение двух множеств A и B является подмножеством и A и B при условии, что пересечение не пусто, то это потребовало бы большего количества чернил.

Цитата:
Как изменилось бы лицо математики если бы считалось,что пустое множество не является частью никакого другого множества?


Возможно, по экономическим причинам, математикой занималось бы меньшее количество людей. И это бы изменило то, что Вы называете "лицом".

(Оффтоп)

Помогите решить / разобраться (М). Это учебный раздел?


Lyosha Можно увидеть Ваши попытки решения/рассуждения? Как, что и на чем скажется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 09:56 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Lyosha в сообщении #270486 писал(а):
Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?
Для сокращения некоторых формулировок.
Lyosha в сообщении #270486 писал(а):
Ведь используя определение подмножества нельзя установить,что пустое множество является частью какого-либо другого множества.
Приведите определения, которыми Вы пользуетесь. В моих любимых определениях можно установить.
Lyosha в сообщении #270486 писал(а):
Как изменилось бы лицо математики если бы считалось,что пустое множество не является частью никакого другого множества?
В некоторых теоремах появилось бы идиотское уточнение "включая пустое" или "кроме пустого".

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 10:17 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Lyosha в сообщении #270486 писал(а):
Для чего понадобилось считать пустое множество подмножеством любого множества?

Сколько в вас гаек, шурупов, болтов и т.д.? А если вы случайно проглотите один болт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 11:23 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Lyosha в сообщении #270534 писал(а):
Профессор Снэйп
Покажите как.

Если $S$ --- множество, то любой элемент пустого множества является элементом множества $S$. Здесь я чуть подробнее про это писал.

И ещё: элемент и подмножество --- совершенно разные вещи, не забывайте об этом! Записи $x \in X$ и $x \subseteq X$ имеют различный смысл. В частности, $\varnothing \subseteq \varnothing$, но $\varnothing \not\in \varnothing$.

-- Сб дек 12, 2009 14:38:29 --

P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются. Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, чтог пустое множество вполне упорядочено... Ну да ладно, это действительно не суть важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 13:26 
Заслуженный участник


09/05/08
1151
Новосибирск

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.
Я тоже сначала удивлялся этой «природе, не терпящей пустоты», но постепенно свыкся.

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, чтог пустое множество вполне упорядочено...
А вот тут не понял, не вижу связи. Не для пустой же «модели» теории множеств они это доказывают! В пустой «модели» даже пустого множества нету. :-)

Впрочем...
Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
Ну да ладно, это действительно не суть важно.
Согласен. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 16:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск

(Оффтоп)

AGu в сообщении #270597 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
Причём сами же логики от этого соглашения порой отходят; к примеру, доказывая лемму Цорна, начинают с того, что пустое множество вполне упорядочено...
А вот тут не понял, не вижу связи. Не для пустой же «модели» теории множеств они это доказывают! В пустой «модели» даже пустого множества нету. :-)

Тут имеется в виду вот какой момент доказательства леммы Цорна (из аксиомы выбора).

Пусть $P$ --- индуктивное частично упорядоченное множество. Пользуясь аксиомой выбора, для каждого линейно упорядоченного подмножества $L \subseteq P$ выберем его верхнюю грань $h(L)$. Рассмотрим $h(\varnothing)$...

Если $L$ --- линейно упорядоченное подмножество $P$, то $L$ --- подмодель $P$, удовлетворяющая дополнительному свойству линейности. Подмодель --- это модель. Модель не может иметь пустой носитель. А мы допускаем $L = \varnothing$.

Или вот, к примеру, теорема: если $\alpha$ --- ординал, то $\langle \alpha, \in \rangle$ --- вполне упорядоченное множество. Однако $\varnothing$ --- тоже ординал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 17:58 
Заслуженный участник


09/05/08
1151
Новосибирск

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270651 писал(а):
Если $L$ --- линейно упорядоченное подмножество $P$, то $L$ --- подмодель $P$
Неправда. Это верно только для непустого $L$. :-)

Последовательно занудствуя в таком ключе, нужно ваще пустое множество запретить, считая всякое множество моделью пустой сигнатуры. :-)

Ну а если серьезно, то мне кажется, что в таких местах все чисто. Вовсе не обязательно всякую «алгебраическую систему» считать моделью в логическом смысле. Например, по определению упорядоченное множество — это всего лишь множество, снабженное таким-сяким отношением. Просто не нужно произносить слово «модель» всуе — и все дела. Хотя согласен, этот запрет вполне можно счесть дурацким. И наверняка есть куча мест, где можно уличить логиков в непоследовательности. Так и подмывает сказать, что всякое упорядоченное множество — модель аксиом порядка, а низзя. Фигня какая-то.

Помнится, где-то я видел рассуждения в пользу этого запрета — что он, мол, полезен, избавляет от какой-то там возни и соответствует Аристотелю. (Где-то у классиков. Кажись, у Гильберта с Бернайсом или типа того.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.12.2009, 18:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #270686 писал(а):
Ну а если серьезно, то мне кажется, что в таких местах все чисто...

По сути, конечно, да. А формально - даже не знаю.

Пусть есть, к примеру, ЧУМ, и в нём произвольное подмножество. Мы называем это подмножество цепью, если

Вариант 1. Любые два его элемента сравнимы.
Вариант 2. На нём выполнена аксиома $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$.

С одной стороны, вроде как оба варианта идентичны. С другой стороны, в первом варианте допускаются пустые цепи, а во втором не допускаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение13.12.2009, 13:48 
Заслуженный участник


09/05/08
1151
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #270695 писал(а):
Пусть есть, к примеру, ЧУМ, и в нём произвольное подмножество. Мы называем это подмножество цепью, если

Вариант 1. Любые два его элемента сравнимы.
Вариант 2. На нём выполнена аксиома $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$.

С одной стороны, вроде как оба варианта идентичны. С другой стороны, в первом варианте допускаются пустые цепи, а во втором не допускаются.

На этот счет у меня сложилось следующее ИМХО.

Всякое традиционное определение в рамках теории множеств состоит из двух частей — формальной и неформальной. Формальная часть определения — это расширение языка, снабженное правилами перевода на исходный язык. Неформальная же часть определения — это его контекст, некоторое условие (формула), в рамках которого расширенный синтаксис считается осмысленным. (Подчеркну, что контекст определения и осмысленность записи — штуки расплывчатые, неформализуемые.)

Для примера рассмотрим следующее определение: для ненулевого вещественного числа $x$ символом $x^{-1}$ обозначается такое число, что $xx^{-1}=1$. Формальная часть определения соответствующего терма в рамках теории множеств может быть такой: $x^{-1}:=\cup\{y\in\mathbb R:xy=1\}$. Как видно, формально терм $x^{-1}$ определен для любого множества $x$ — в том числе для $x=0$ и даже для $x$, не являющегося числом. Неформальный же контекст определения терма $x^{-1}$ следующий: $0\ne x\in\mathbb R$. В рамках контекста мы имеем $x^{-1}\in\mathbb R$ и $xx^{-1}=1$. Неформально считается, что терм $0^{-1}$ смысла не имеет и, в частности, запись $0^{-1}=\varnothing$ бессмысленна. С другой стороны, с чисто формальной точки зрения эта запись имеет смысл и даже является теоремой. Она просто выпадает из контекста определения терма $x^{-1}$.

Теперь — к вопросу о пустоте. Определение истинности формально распространяется на системы с пустым носителем, но с нарушением неформального контекста. Формально запись $\langle\varnothing,\varnothing\rangle\vDash\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$ имеет смысл и даже является теоремой, но она выпадает из неформального контекста определения истинности, согласно которому слева от знака $\vDash$ должна стоять пара с непустой первой компонентой. При этом формально пара $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ является моделью формулы $\forall x \forall y \big((x \leqslant y) \vee (y \leqslant x)\big)$, но нарушение контекста определения выливается в тот неприятный факт, что $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$ не является моделью теории предикатов (т.е. в ней не все предикатные тавтологии истинны).

Стало быть, формально говорить о пустых моделях можно, а неформально — нельзя (теряется «смысл», нарушается контекст определения).

На всякий случай: я тут вовсе не оправдываю запрет пустых моделей, я просто к нему приспосабливаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение13.12.2009, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19356
Уфа
$$\varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x\left( {x \in \varnothing \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x\left( {0 \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x1 \Leftrightarrow 1$$
Вот и всё, чего там гадать. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение12.01.2010, 17:58 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.


Если вдруг не знаете: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение08.04.2011, 00:25 


03/04/11
12
Alexey Romanov в сообщении #279788 писал(а):

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #270563 писал(а):
P. S. А вот что мне никогда не нравилось, так это то, что в исчислении предикатов имеет место $\forall x \Phi(x) \vdash \exists x \Phi(x)$. Модели с пустым носителем не рассматриваются.


Если вдруг не знаете: http://en.wikipedia.org/wiki/Free_logic


Кстати, об этом можна почитать поподробнее, скажем, тут: http://platonanet.org.ua/load/knigi_po_ ... 3-1-0-1344

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое множество - подмножество любого множества?
Сообщение14.04.2011, 17:41 


02/04/11
956
OP, $a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x \in a \Rightarrow x \in b)$. Выполняется ли это для произвольного $b$ и $a = \{\}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group