пересечение луча и эвольвенты окружности

[kse]

Помогите решить систему уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} aX+bY=c ,\\ X\cos\varphi+Y\sin\varphi=d, \end{array} \right. $
при заданном $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$ и $a,b,c,d$ константы
Или хотябы подскажите какой раздел математики необходимо читать
Спасибо

[bot]

$cos\varphi$и $sin\varphi$ - это просто константы при каждо фиксированном значении $\varphi$
Так что это обычная система линейных уравнений, геометрически означающая, что ищется точка пересечения двух прямых. Возможные исходы, в зависимости от коэффициентов:
1) Прямые пересекаются в единственной точке
2) Прямые параллельны и не совпадают
3) Прямые совпадают

[kse]

Да но к сожалению если $\varphi$ каждое фиксированное, то количество перещотов при$\lim\limits_{\Delta\varphi \to 0} \frac{\pi}{\Delta\varphi}}=\infty$
а необходимо всеголиш найти точку пересечения прямой с графиком функции (спираль)

$$f(\varphi)d(\varphi)$$

на участке $0\leqslant\varphi \leqslant\pi$
дело в том что эту систему, я получил упрощением системы, составленной по условию задачи. Может я неправильно упростил, привожу исходную систему:
кривая задана на участке $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D*cos(\varphi)+D*\varphi*sin(\varphi),\\ Y = D*sin(\varphi)-D*\varphi*cos(\varphi, \end{array} \right. $
Прямую я получил из задания движения точки:
$ \left\{ \begin{array}{l} X = X_0+V_x*t,\\ Y = Y_0+V_y*t, \end{array} \right. $
необходимо найти время пересечения точки с кривой при заданных начальных координатах $X_0, Y_0$ и скорости $V_x,V_y$
Может я пошел в неверном направлении
Спасибо

[bot]

Это у Вас из той задачиполучилось?
Случаи 2) и 3), о которых я говорил выше, возникнут только при равенстве нулю определителя системы (то есть когда левые части уравнений станут пропорциональны), а в остальном можно воспользоваться формулами Крамера для невырожденных систем.

[kse]

Цитата:

Это у Вас из той задачи получилось?

Не совсем, это две параллельные подзадачи одной.
Спасибо за подсказки но еслибы поподробней
или на простеньком примере с моими кривыми.
Правильно ли я сделал что свел условие к двум уравнениям?

[bot]

kse писал(а):

Не совсем, это две параллельные подзадачи одной.

Может быть лучше сформулировать саму задачу, а не её подзадачи?
Неясно, какое условие Вы свели к двум уравнениям.

[kse]

Цитата:

Неясно, какое условие Вы свели к двум уравнениям.

кривая задана на участке $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$ а $D$ - константа болше нуля и $\varphi$ изменяется от 0 до $\pi$
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D*cos(\varphi)+D*\varphi*sin(\varphi),\\ Y = D*sin(\varphi)-D*\varphi*cos(\varphi, \end{array} \right. $
Переносим $\varphi$ в обоих уравнениях на левую сторону затем приравниваю правые стороны получаем уравнение кривой:
$ X*cos\varphi+Y*sin\varphi=D, $
Из задания движения точки:
$ \left\{ \begin{array}{l} X = X_0+V_x*t,\\ Y = Y_0+V_y*t, \end{array} \right. $
Переносим время $t$ в левую сторону правые приравниваем.
Константы $X_0, V_x$ заменяем на классические буквы констант a,b,c,d
получаем уравнение прямой
$X*a+Y*b=c $
Из двух уравнений получаем систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} X*a+Y*b=c ,\\ X*cos\varphi+Y*sin\varphi=d, \end{array} \right. $
с двумя неизвестными $X$ и $Y$ точка пересечения этих двух графиков есть искомые $X, Y$, но как быть с $cos\varphi$ и $sin\varphi$ ведь их я тоже должен найти, получается два уравнения с тремя неизвестными
Где я ошибся?
Спасибо

[bot]

Цитата:

кривая задана на участке $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$ а $D$ - константа болше нуля и $\varphi$ изменяется от 0 до $\pi$
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D cos \varphi+D\varphi sin \varphi,\\ Y = D sin \varphi -D \varphi cos\varphi, \end{array} \right. $

Это просто параметрическое задание кривой, хотя и странное - получается сложением двух движений (если $\varphi$ считать растущей функцией времени)
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D cos \varphi,\\ Y = D sin \varphi \end{array} \right. $
движение по окружности против часовой стрелке и
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D \varphi sin \varphi ,\\ Y = -D \varphi cos \varphi, \end{array} \right. $
- движение по спирали по часовой стрелке.
Но дело не в этой странности, кто ж знает, откуда оно вышло?
Далее Вы пытаетесь от параметра $\varphi$ избавиться:

Цитата:

Переносим $\varphi$ в обоих уравнениях на левую сторону затем приравниваю правые стороны получаем уравнение кривой
(проще домножить первое уравнение на $cos \varphi $ , а второе на $sin \varphi $ и сложить результаты: )
$ X cos\varphi+Y sin\varphi=D, $

Вот здесь Вы и потеряли одно уравнение, Вы получили из системы из двух уравнений лишь следствие, а не эквивалент этой системы.
Недостающее уравнение получается аналогично - домножаем наоборот, первое на $sin \varphi $, а второе на $-cos \varphi $, тогда слоржением результатов получим:
$ X sin\varphi -Y cos \varphi=D \varphi $
Теперь система (проверьте выкладки - за мной водится сбивчивость в арифметике)
$ \left\{ \begin{array}{l} X cos\varphi+Y sin\varphi=D,\\ X sin\varphi -Y cos \varphi=D \varphi \end{array} \right. $
легко разрешается и получаем X и Y, как функции параметра $ \varphi $
Подставляйте их в Ваше третье уравнение и будет Вам щастье, а ожет быть и нет - надо ещё посмотреть, какое уравнение с одной пременной $ \varphi $ получится.
Успеха.

[Alexx]

Господа, перейдите в обоих системах уравнений к полярным координатам, сложив x^2+y^2.
Приравняйте радиусы и углы. В итоге получите квадратное уравнение относительно t, т.е. времени, когда произойдет пересечение.

[bot]

Я писал(а):

Теперь система
$ \left\{ \begin{array}{l} X cos\varphi+Y sin\varphi=D,\\ X sin\varphi -Y cos \varphi=D \varphi \end{array} \right. $
легко разрешается и получаем X и Y, как функции параметра $ \varphi $. Подставляйте их в Ваше третье уравнение и будет Вам щасте ...

Вот что может бессознательная моторика творить!
Самому смешно стало по дороге домой, там жену рассмешил. Сейчас, спрашивает, вернёшься лажу исправлять, или до утра потерпишь? Потом она меня рассмешила: - Признайся честно – это ты насвистел, чтоб в субботу из дома слинять? На переходном экзамене из СУНЦ в НГУ сижу , с утра инет не работал, вот только-что включили. От стёба воздержались (или не успели?) - за то спасибо.
Ну что же ещё может получиться (если только в выкладках не напортачить) кроме исходных уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D cos \varphi +D \varphi sin \varphi,\\ Y = D sin \varphi -D \varphi cos \varphi, \end{array} \right. $
Вот эти исходные и надо подставлять в линейное уравнение

Щастя здесь мало – получим уравнение вида (параметры легко вычисляются из исходных):
$a cos \varphi + b sin \varphi + \varphi (a sin \varphi - b cos \varphi ) = c$
Это скорее геморрой, чем щасте, причём неизлечимый, разве только припудрить сдвигом аргумента $\varphi$, который ничего не даст - такова задача. На отрезке $[0, \pi]$ полученное уравнение в зависимости от конкретных данных может иметь не более двух корней, а может и вовсе не иметь. Но вычислять их можно только численно, разумеется, если исходные данные численно задать.

Alexx писал(а):

Господа, перейдите в обоих системах уравнений к полярным координатам, сложив x^2+y^2. Приравняйте радиусы и углы. В итоге получите квадратное уравнение относительно t, т.е. времени, когда произойдет пересечение.

Не поможет - получится квадратное относительно $t$, но $\varphi $ в нём останется.

[kse]

Большое спасибо за участие .
Internet у меня только на работе поэтому задержался
Но два дня выходных я пытался что-то сделать с системой из трех уравнений, ничего не вышло.
Мне и раньше тоже приходила мысль подставит два уравнения кривой, в уравнение прямой но меня смущало получавшееся смешанное уравнение, поэтому я пытался избавится от $\varphi$
Но вот тут я обнаружил, после небольшой перестановки если выделить sin() и cos() то получилась очень знакомая формула.
Теперь попорядку - берем значения переменных $X, Y$
$ \left\{ \begin{array}{l} X = Dcos\varphi+D\varphi sin\varphi\\ Y = Dsin\varphi-D\varphi cos\varphi \end{array} \right. $
и подставляем в уравнение прямой $X*a+Y*b=c $
получаем вот это
$ aDcos\varphi+aD\varphi sin\varphi+bDsin\varphi-bD\varphi cos\varphi=c $
выделяем $sin()$ и $cos()$ получаем :
$ cos\varphi(aD-bD\varphi)+sin\varphi(aD\varphi+bD)=c $
теперь делим обе части на $c$ получаем:
$ cos\varphi(\frac {aD-bD\varphi} {c})+sin\varphi(\frac {aD\varphi+bD}{c})=1 $
получили нечто похожее на $cos^2 x+sin^2 X = 1$
выходит что выражения в скобках мы можем приравнять $cos\varphi$ и $sin\varphi$ соответственно получаем систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {aD-bD\varphi} {c}=cos\varphi\\ \frac {aD\varphi+bD}{c}=sin\varphi \end{array} \right. $
теперь смотрим на условие задачи, если $0\leqslant\varphi\leqslant\pi$ то $-1\leqslant cos\varphi\leqslant 1$ и $0\leqslant sin\varphi\leqslant 1$
подставим вместо sin и cos их допустимые величины получим четыре неравенства:
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {aD-bD\varphi} {c}\leqslant 1\\ \frac {aD-bD\varphi} {c}\geqslant -1 \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} \frac {aD\varphi+bD}{c}\leqslant 1\\ \frac {aD\varphi+bD}{c}\geqslant 0 \end{array} \right. $
и теперь если решать неравенство как уравнения то я получил четыре значения $\varphi$ с соответствующими направлениями:
$ \left\{ \begin{array}{l} \varphi\leqslant \frac {c-aD} {-bD}\\ \varphi\geqslant \frac {-c-aD} {-bD} \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} \varphi\leqslant \frac {c-bD}{aD}\\ \varphi\geqslant \frac {-bD}{aD} \end{array} \right. $
Получил несчастье, при подстановке контрольного примера ВСЕ $\varphi$ получаются разными, и смотрящими в разные стороны.
Хотя пример я изобразил в Excele и прямая конкретно пересекает кривую в одной точке
НАверное опять где-то я допустил ошибку ведь необходимо получить конкретное значение $\varphi$ по которому я узнаю конкретные $ X, Y$ а зная их я найду конкретное время $t$
(Судя по картинках в Excele прямая, эту кривую может пересекать в одной, двух точках и не пересекать.)
ПОМОГИИИТЕЕЕЕЕ .
Спасибо

[bot]

kse, специально для Вас выделил жирным шрифтом то, что я писал вчера. Если Вы умеете рисовать в Екселе (я умею только на бумажке), Вы и сами можете убедиться, что уравнение можно решать только численно - кривая (кусок спиралеобразной кривой), задана параметрически и она пересекается с прямой (а точнее видимо с лучом). Из графика очевидно, что все три случая возможны - пересечения нет, пересечение одно и пересечений два. Вот для каждых конкретных исходных данных и можно численно найти решение, если оно есть. Общую формулу в явном виде через известные функции в данном случае найти невозможно.

[kse]

Прошу меня извинить за мою непонятливость (последний раз за партой я сидел 20 лет назад) и если больше нет вариантов (о численном методе я почитал, спасибо), то я приношу вам свою благодарность за содействие в решении задачи. Неудобное решение это лучше чем отсутствие решения.
А насчет неравенств єто изначально бред (а почему?), или неправильный ход решения(а в каком месте?)?
Спасибо.

[bot]

Как говорится перед лицом безысходности можно и такими неравенствами заняться, но это даст лишь очень грубую прикидку существования решения. Эти неравенства необходимы для существования решения, но достаточными не являются. По этой причине даже не смотрел, нет ли в них косяков. С другой стороны безысходности-то нет - надо лишь по другому сгруппировать то же самое:

bot писал(а):

(*) $a cos \varphi + b sin \varphi + \varphi (a sin \varphi - b cos \varphi ) = c$

Вместо с можно написать 1 (так как на с можно сократить), но лучше этого не делать, иначе выпадает случай с=0, который возможен.
Ваша кривая
$ \left\{ \begin{array}{l} X = D cos \varphi +D \varphi sin \varphi,\\ Y = D sin \varphi -D \varphi cos \varphi, \end{array} \right. $
наглядно представляется следующим образом: на диске нарисована спираль Архимеда (для простоты беру D=1), которая в полярной системе координат записывается уравнением $ r= \varphi $. Точка движется по этой спирали против хода часовой стрелки раскручиваясь из начала координат (при первом беглом взгляде, я почему-то заставил её вращаться по ходу часовой стрелки - видимо обратил внимание только на знак минус в выражении Y и не обратил внимание на перестановку $cos$ и $sin$ во вторых слагаемых). Диск тоже вращается против хода часовой стрелки. Слагаясь эти два движения заставляют точку двигаться по искажённой спирали. При больших $ \varphi $ она будет близка к спирали $ r = \sqrt{1+\varphi^2} $, которая в свою очередь всё больше будет напоминать спираль Архимеда. Однако Вас интересует как раз наиболее искаженный участок спирали на участке $ 0\le \varphi \le \pi. $. Его можно нарисовать приблизительно по точкам, даже не обращаясь к техническим средствам. Получится выпуклая дуга, соединяющая точки: $ A(1,0), B(\frac{\pi}{2},1), C(-1, \pi) $, полученные соответственно при значениях $ \varphi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi $. Для уточнения можно ещё пару точек найти. Теперь у Вас имеется некоторая прямая, которую Вы хотите пересечь с этой дугой. Геометрически очевидно, что она может её пересечь в двух точках, в одной и пройти мимо, не пересекая.

Давайте теперь посмотрим, что говорит уравнение (*). Положим $f(x)=a cos x + b sin x + x (a sin x - b cos x ) $ и исследуем эту функцию на отрезке $[0, \pi]$. Имеем $f'(x)=x (a cos x + b sin x) $, откуда получаем, что производная обращается в ноль на левом краю интервала и ровно в одной точке внутри отрезка (за исключением случая $b=0 \ - \ $ тогда вторая точка тоже попадёт конец отрезка, но на другой ). Таким образом, отрезок разбивается на два промежутка монотонности, в зависимости от коэффициентов $a, b$ с бугром или ямой внутри него. Максимум и минимум функции $f$ находится либо на концах либо на бугре/яме. Теперь прямая $y=c$, параллельная оси абсцисс либо пройдёт выше максимума либо ниже минимума либо между бугром и максимумом (ямой и минимумом) либо пересечёт бугор/яму. Всё это при конкретных исходных данных легко вычисляется.
Однако на самом деле у Вас скорее всего не прямая, а луч - ведь время видимо удовлетворяет неравенству типа $ t \ge t_0 $, так? Этот случай тоже поддаётся анализу в плане существования, однако всё равно в благополучном случае решение можно находить только численно.

[kse]

Большое спасибо за подсказки. Хоть мне и пришлось заново изучит производную но зато я теперь понял зачем мы ее изучали в школе (поняв физический смысл ) оказывается очень полезная штука.
А вот из численных методов я пока понял смысл только в методе деления пополам . И на основе этих, заново открытых вещей я построил приблизительно такой алгоритм вычисления:
подставляем граничные значение $\varphi$ в уравнение
$ f(\varphi)=aDcos\varphi+aD\varphi sin\varphi+bDsin\varphi-bD\varphi cos\varphi-c $, или вот так наверное красивей
$ f(\varphi)=acos\varphi+bsin\varphi+\varphi(a sin\varphi-b cos\varphi)- c/D $
если полученные значения с разными знаками, то есть только один корень уравнения.
Далее делим участок подставляемых $\varphi$ пополам, теперь значение $f(\varphi)$ показывает какое граничное значение необходимо заменит на среднее (в соответствии со знаками результатов $f(\varphi)$) и т.д .
Но если в начале знаки результатов $f(\varphi)$) окажутся одинаковыми, значит корней может не быть, или быть два.
И тут мне помогла производная, если значение $\varphi$ найденное из $f'(\varphi)=\varphi(a cos\varphi+b sin\varphi) $,
при подстановке в исходное дает противоположный знак (к начальным одинаковым знакам) значит корней два иначе корней нет.
Для двух корней процес деления пополам повторяем для двух участков
$0--\varphi_(_f_'(\varphi))$ $--\varphi$
При достижении необходимой погрешности процесс заканчивается , далее все просто находим X,Y далее минимальное положительное время.
Поправьте меня если я где-то ошибся в размышлениях.
И еще, может в моем случае процесс поиска делением пополам плох, подскажите какой будет эффективнее по количеству вычислений. Потому как я в остальных методах пока не разобрался (быстренько ухватился за понятый), шобы не наступило то время, пока я буду его искать- необходим по максимуму простой алгоритм с минимумом вычислений.
Спасибо за терпение.