Роль комплексных функций и переменных в физике.

[t3rmin41]

Каков вообще смысл мнимых величин в физике? Экспериментально ведь мы не можем измерить их, ведь ни один прибор не фиксирует комплексные значения.
Например, волновая функция $\Psi$ в квантовой механике является комплексной в общем случае.
Или сопротивление реактивных элементов.
Какие преимущества использования комплексных чисел? Я знаю, что для облегчения математических действий, но нельзя ли было без них обойтись (без комплексных величин имею в виду)?

[AlexNew]

идея простая: описать две величины одним числом: фазу и анмплитуду волны например.
Обойтись конечно можно но зачем?
комплексные величины вполне нормально меряются приборами, например с помощью phase loop amplifier в электронике

[t3rmin41]

Фаза, по-моему, это отношение мнимой и реальной частей (тока, напряжения), что конечно, есть величина реальная
$\alpha+i\beta; tg(\phi)=\frac{\beta}{\alpha}; \phi=arctg(\frac{\beta}{\alpha})$ потому что перед фазой нигде не стоит $i$.
Так что не убедили.

Цитата:

Обойтись конечно можно но зачем?

Так можно обойтись и без дифференциального и интегрального исчисления. Фарадей ведь как-то обходился (правда, из-за этого доказывал некоторые законы по несколько раз, но это уже другой вопрос).

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #244474 писал(а):

Какие преимущества использования комплексных чисел?

В математике: любая комплексная теория -- логичнее, последовательнее и, в некотором смысле, проще, чем соотв. вещественная.

А математика, между прочим -- это язык физики. Отсюда и.

[t3rmin41]

Цитата:

А математика, между прочим -- это язык физики.

Давайте без метафор лучше :] Может ещё скажем, глаза - зеркало души? :] Или там танец - язык тела.

Цитата:

любая комплексная теория...проще, чем соотв. вещественная.

Теория - это одно. Я спрашиваю сейчас физический смысл комплексных величин.

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #244591 писал(а):

Давайте без метафор лучше

Это не метафора, это медицинский факт, многократно проверенный на опыте.

t3rmin41 в сообщении #244591 писал(а):

Я спрашиваю сейчас физический смысл комплексных величин.

Физического смысла в них нет только постольку, поскольку традиционные физические приборы двухсоттакпримернолетней давности меряли лишь вещественные отклонения. Стрелка там отклоняется на пять делений, или весы. Но если некий прибор замерит одновременно и амплитуду, и фазу, да ещё и выведет всё это на плоскость -- то вот Вам и комплексное измерение.

[t3rmin41]

Цитата:

Физического смысла в них нет только постольку, поскольку традиционные физические приборы двухсоттакпримернолетней давности меряли лишь вещественные отклонения. Стрелка там отклоняется на пять делений, или весы.

Уж простите, в основном приходилось именно с такими работать :] Конечно, не с такими, но принципиально, из тех, что мне довелось работать, только наверно в осциллографах можно отобразить обе части - реальную и мнимую.

Цитата:

Но если некий прибор замерит одновременно и амплитуду, и фазу, да ещё и выведет всё это на плоскость -- то вот Вам и комплексное измерение.

В общем, понятно, AlexNew имел в виду то же самое - вместо 2 чисел разбираем 1, которое по сути тоже 2 числа.
Не получается ли "масло масленное"? Т.е. есть 2 числа, мы их сводим в 1, чтобы потом опять рассматривать 2 числа?

[AlexNew]

думаю комплексные числа во многом обязаны своим применение фурье анализу - скажем есть сложный сигнал (или хитрая возмущающая сила в механике) раскладываем его в спектр, то есть переходим из временной области в частотную (или в область волновых чисел например - смотря какая у нас область физики) и получаем разложение по комплексным exp. Операции в frequency domain во многом проще осуществлять, например легко складывать сигналы, и т.п. а потом можно вернутся обратно в time domaine.

тоесть это не просто желание два числа заменить одним, тут есть более глубокие удобства.
например комплексные числа можно рассматривать в качестве векторного пространства 2D, комплексные числа всегда как правило описывают инвариантную величину (амплитуду) которая не меняется при изменении координат, поворота на некоторый угол - фазу этой величины.

может кто нибудь более внятно все растолкует...

[ewert]

t3rmin41 в сообщении #244608 писал(а):

Не получается ли "масло масленное"? Т.е. есть 2 числа, мы их сводим в 1, чтобы потом опять рассматривать 2 числа?

Ну и что? Вас же не удивляет, что в одном числе много-много цифирок?

[t3rmin41]

Цитата:

Ну и что? Вас же не удивляет, что в одном числе много-много цифирок?

По-моему, тут принципиально другой объект. Вещественные числа, пускай там состоящие из мантиссы и порядка, всё же можно "потрогать", например у меня есть 300 яблок, $300=3 \cdot 10^2$.
И все их можно увидеть.
Как измерить амперметром, например, мнимый ток, не очень представляется понятным.

Цитата:

думаю комплексные числа во многом обязаны своим применение фурье анализу - скажем есть сложный сигнал (или хитрая возмущающая сила в механике) раскладываем его в спектр, то есть переходим из временной области в частотную (или в область волновых чисел например - смотря какая у нас область физики) и получаем разложение по комплексным exp. Операции в frequency domain во многом проще осуществлять, например легко складывать сигналы, и т.п. а потом можно вернутся обратно в time domaine.

Это всё можно сделать с помощью $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\mathtop \infty}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$

Опять надо ждать Munin'a :]

[Comanchero]

t3rmin41 в сообщении #244572 писал(а):

Фаза, по-моему, это отношение мнимой и реальной частей (тока, напряжения), что конечно, есть величина реальная
$\alpha+i\beta; tg(\phi)=\frac{\beta}{\alpha}; \phi=arctg(\frac{\beta}{\alpha})$ потому что перед фазой нигде не стоит $i$.
Так что не убедили.

Правда? А как же запись , ну скажем, в экспоненциальной форме $A(t)=A_0e^{i \varphi(t)$, где $\varphi(t)$-фаза ?

[t3rmin41]

Это просто другая запись. Я про то, что фазу можно записать и без комплексных чисел.

[Munin]

t3rmin41 в сообщении #244642 писал(а):

По-моему, тут принципиально другой объект.

Ну а векторные величины?

t3rmin41 в сообщении #244642 писал(а):

Опять надо ждать Munin'a :]

Я думал тут высказаться, но обнаружил, что к словам ewert-а мне добавить нечего: рассмотрение чисел как комплексных выгодно с точки зрения математики, а математика поставляет в физику всё понимание. Физик понимает, что такое векторные величины, и почему ряд величин векторные (сила, скорость, etc), потому что математик ему рассказал, что такое векторы. Если бы не рассказал - физик мыкался бы с кучей величин - проекций векторов, загадочно друг с другом связанных, загадочно взаимопревращающихся при переходе к другим системам координат, но не соединяющихся в голове физика в единый чёткий образ. А нет образа - нет и интуитивной работы с образом, понимания, скажем, теорем Гаусса и Стокса. Точно так же и с комплексными числами: не будь них, физик не мог бы единым образом рассматривать периодические и непериодические (экспоненциальные) процессы, не мог бы связывать между собой решения для связанного состояния и для падающей волны, и т. п.

[t3rmin41]

То есть, из всего вышесказанного, я делаю вывод, что принципиально в физике без комплексных переменных можно обойтись (например, заменив их векторами). Другое дело, что комплексные величины упрощают расчёты. Так выходит?

[Munin]

Ещё они углубляют понимание.

Кстати, вы их можете заменить на двухкомпонентные величины, но не на векторы. Операции над комплексными числами всё-таки другие. Впрочем, в разных применениях комплексных величин операции над ними выполняются разные, и тут можно вводить дальнейшие уточнения.