Трисекция угла

[Виктор Ширшов]

В topic23635.html на свой же вопрос: "А разве вымерли триссектристы? Квадратурщики и удвоители куба?", - заслуженный участник "bot" ответил. - "Их, конечно, поменьше - может быть со временем их поубавилось, а скорее ферматистов привлекает элементарность формулировки и кажущаяся возможность обойтись при помощи палки-копалки".

Будьте уверены, не вымерли.
По видимому, милостью Всевышнего мне дано, кроме задач о квадратуре круга и удвоении куба, найти решение и третьей математической задачи древних греков: задачи о трисекции угла.

Задачу о делении циркулем и линейкой произвольного угла на три равные части (угла), скорее всего, греки решили и оно было таким:
а) вокруг вершины данного угла описываем окружность произвольного радиуса;
б) продолжим одну из сторон центрального угла до пересечения с окружностью (точка пересечения будет вершиной вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности, что и центральный угол);
в) откладываем на диаметре три равных отрезка способом, указанным в topic21409.html;
г) из полученных точек проводим лучи, параллельные другой стороне вписанного угла.

Можно доказать, что три дуги , получаемые при пересечении дуги, на которую опирается центральный угол, равны между собой.

Предполагаю, что и эта задача возникла для практических нужд архитектуры. Греки имели определённую систему сочетания ордеров, определяемую в пропорциях и украшениях колонн, которые в сечениях часто обрабатывались в виде правильных многоугольников.

Задачу о трисекции угла можно решить и другим способом, положив в основу параллакс.

[meduza]

Виктор Ширшов
И вы на "В"...

[Виктор Ширшов]

meduza в сообщении #223718 писал(а):

Виктор Ширшов
И вы на "В"...

Я в списке "AD" первый, внимательно смотрите сообщения или у Вас проблемы памятью

[EtCetera]

Виктор Ширшов

Виктор Ширшов в сообщении #223707 писал(а):

Можно доказать, что три дуги , получаемые при пересечении дуги, на которую опирается центральный угол, равны между собой.

Очень хотелось бы видеть это доказательство. Мне, как заядлому трисектристу (именно с одной "с") в 7-м классе школы никак не удавался этот момент. Почему-то все время оказывалось, что деление дуги на три равные части и деление на три равные части стягивающей ее хорды - это не одно и то же. Данный факт проверяется совершенно элементарно обычным транспортиром.

[Виктор Ширшов]

EtCetera в сообщении #223721 писал(а):

Очень хотелось бы видеть это доказательство. Мне, как заядлому трисектристу (именно с одной "с") в 7-м классе школы никак не удавался этот момент. Почему-то все время оказывалось, что деление дуги на три равные части и деление на три равные части стягивающей ее хорды - это не одно и то же. Данный факт проверяется совершенно элементарно обычным транспортиром.

Доказательство ищите между хордой и дугой.

[EtCetera]

Виктор Ширшов
Секундочку, почему я сам должен что-то искать? Я, в общем-то, с того же 7-го класса в курсе невозможности трисекции угла циркулем и линейкой.
К тому же, Вы не пробовали по-честному померить получающиеся дуги транспортиром, как я и предлагал? Если строить достаточно точно, то должно быть отчетливо видно, что две внешние дуги равны между собой и несколько больше центральной (внутренней). Так что это не трисекция угла, а трисекция хорды.

[ewert]

Виктор Ширшов в сообщении #223723 писал(а):

Доказательство ищите между хордой и дугой.

Если дуга не слишком велика -- доказательство там не уместится. Площадь мала.

[Schraube]

Виктор Ширшов
А как циркулем и линейкой разделить угол в 19 град на 19 частей?
А то заладили:"трисекция, трисекция..."

[anwior]

Schraube
Решение задачи о 19 градусах известно!

Ведь 361=19*19. Рисуем окружность.
Дальше разворотом циркуля в 19 град оствляем
на окружности 360 засечек--- поскольку
361 - 360=1(градус).
Спасибо arseniiv'у
(см. следующий пост)

[arseniiv]

И правильно. Не "разворот окружности", а полный угол!

[Виктор Ширшов]

EtCetera! Ваше указание на ошибку оставил без внимания. Сказать, что вторил заслуженному участнику "bot", совру. Просто, грубо ошибся.

Мои доказательства никому не нужны. Просто получите готовый результат.
Греки "точных" транспортиров не имели и ими углы не меряли, они полагались на доказательства.

А как Вам такой способ деления угла (способ параллакса), хоть на N частей:

а) вокруг вершины данного угла (О) произвольным раствором циркуля описываем окружность радиусом R;
б) проводим биссектриссу угла до пересечения окружности и дальше;
в) из точки пересечения биссектрисы (В) с окружностью опускаем перпендикуляры на стороны центрального угла;
г) в точке В описываем другую окружность радиусом r, равным длине перпендикуляров на стороны угла;
д) теперь на биссектрисе из точки О откладываем 3, 19 или N отрезков, равных R, и в их концах описываем окружности радиусом r.
е) из точки О проводим к ним касательные по обе стороны.
Искомые углы - есть 1/3 , 1/19 или 1/N данного угла.

[arseniiv]

Неправильно!

[Виктор Ширшов]

arseniiv в сообщении #223795 писал(а):

Неправильно!

А как правильно?

[arseniiv]

А вы произведите точные геометрические выкладки - и поймёте.

Все геометрические построения надо подтверждать. А то построим не то, что было нужно. Как в данном случае. Потому что вы не прислушиваетесь к доказанным давно (!) истинам.

[bot]

Виктор Ширшов в сообщении #223792 писал(а):

Мои доказательства никому не нужны.

Согласен.

Виктор Ширшов в сообщении #223792 писал(а):

Просто получите готовый результат.

Он тоже никому не нужен.
Напоминать о трисекции бесполезно

Виктор Ширшов в сообщении #223707 писал(а):

Будьте уверены, не вымерли.

А я и не сомневался - дремучие невежды не вымрут никогда.
А знаете ли Вы для каких углов Ваше построение даёт верный результат? Не поленился и посчитал - только для нулевого и никакого другого.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузе $AC$ возьмём точку $D$, обозначим $\alpha=\angle BAC, \ \beta=\angle BDC$.
Тогда $|BC|=|AC|\cdot \sin \alpha, \ \angle DBC= \frac{\pi}{2}+\alpha -\beta$ и по теореме синусов из треугольника $DBC$ получаем:

$$\frac{|AC|\cdot \sin \alpha}{\sin\beta}=\frac{|DC|}{\cos (\beta-\alpha)}$$

Если Ваше построение даёт верный результат, то при $|DC|:|AC|=1:3$, должно получиться $\beta=3\alpha$

Отсюда $3\sin \alpha \cos 2\alpha = \sin 3\alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = 0$