Расширение теоремы Ферма

[Леонид Вайсруб]

I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида

$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$

при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [1],[2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных решений $x, y, z$.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, т.е. предполагается, что равенство в (1) возможно. Если это так, то необходимо установить условия, при которых получается равенство.
Рассмотрим уравнение (1) для четных значений показателя степени $n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{4k + 2} + y^{4k + 2} = z^{4k + 2} ~~~~ (2)$$

и для нечетных значений показателя степени $n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = z^{2k + 1} ~~~~ (3)$$

Перепишем уравнение (2) в виде,

$$(x^{(2k + 1)})^{2} + (y^{(2k + 1)})^{2} = (z^{(2k + 1)})^{2} ~~~~ (4)$$

Соотношение (4) есть целочисленное уравнение Пифагора, которое, после обозначения

$$ x^{(2k + 1)} = x_{0}, $$

$$ y^{(2k + 1)} = y_{0}, $$

$$ z^{(2k + 1)} = z_{0}, $$

запишется

$$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = z_{0}^{2} ~~~~ (5)$$

Корни уравнения Пифагора (величины $x_{0}, y_{0}, z_{0}$) известны в общем виде [1], [3]:

$$x_{0} = a^{2} - b^{2}; ~~~~~~~ (6) $$

$$~~y_{0} = 2ab; ~~~~~~~~~~~~~ (7) $$

$$z_{0} = a^{2} + b^{2}, ~~~~~~~ (8) $$

где $ a $ и $ b $ должны быть целыми числами и при этом $ a > b $ в силу целочисленности уравнения (4).
Исходя из предположения, что в уравнении (3) возможно равенство и учитывая соотношения
(6), (7) и (8), получим

$$ a^{2} - b^{2} + 2ab = a^{2} + b^{2}, $$

откуда получается $ 2ab = 2 b^{2}; a = b $, что противоречит условию
$ a > b $ для целочисленного уравнения Пифагора (4).
Таким образом равенство в уравнении (1) для всех нечетных показателей степени $ n > 1$ невозможно. Остается доказать невозможность равенства в (1) для $ n = 4$. Это уже сделано давно. Доказательство для всех четных значений показателя степени $n = 2k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $ приведено в [6].

Расширение задачи.

II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых $n$, то равенство в (1) возможно только для $n = \pm 1, \pm 2.$ Легко видеть, при $n = 0$ (получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n < 0.$
$X^r + Y^r = Z^r, X, Y, Z$ - не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y, X = Y = 2m, Z = m, | m | \ge 1, m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2,$ тогда (1) запишется так:

$$\frac{1}{X^n} + \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~~~~~(9)$$

где $n = - r.$
Ясно, что в (9) $X > Z$ и $Y > Z.$

$$X^n + Y^n = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (10)$$

Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (10) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (10) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и , следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2,$ если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - рациональные, т.е. $x = p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y}, z = p_{z}/q_{z}, $ где $p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ – целые, не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y = \alpha_{y} + i\beta_{y}, z = \alpha_{z} + i\beta_{z}, $ где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x}, \beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ - вещественные.
Для задач III, IV, V установить условия равенства.
Список литературы
1. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.
2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа, 1979.
3. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во ЛКИ,2008.
4. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978.
5. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. –М : Мир, 2003.
6. Вайсруб Л. Д. О свойствах решений одного однородного диофантова уравнения. –М., Форум dxdy. http://www.dxdy.ru/ Математика. Дискуссионные темы. Сообщение от 03.06.2009 года.

[AD]

Думаю, популярность допущенной Вами ошибки (в основном рассуждении) уже давно зашкаливает. Это "доказательство" видел уже раз десять, в разных одёжках. Наводящий вопрос:

Леонид Вайсруб в сообщении #222815 писал(а):

Рассмотрим уравнение (1) для четных значений показателя степени $n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{4k + 2} + y^{4k + 2} = z^{4k + 2} ~~~~ (2)$$

и для нечетных значений показателя степени $n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = z^{2k + 1} ~~~~ (3)$$

Вы эти два уравнения рассматриваете одновременно? Как систему уравнений? Или по-очереди, просто решаете оба уравнения независимо друг от друга?

[EtCetera]

Больше всего в доказательстве (да простит меня автор!) мне понравился последний пункт из списка литературы . Боюсь ошибиться, но не так давно вышел ГОСТ для библиографических ссылок на интернет-ресурсы. И этот пункт ГОСТу точно не удовлетворяет .

[Schraube]

Цитата:

Больше всего в доказательстве (да простит меня автор!) мне понравился последний пункт из списка литературы . Боюсь ошибиться, но не так давно вышел ГОСТ для библиографических ссылок на интернет-ресурсы. И этот пункт ГОСТу точно не удовлетворяет .

Все остальное в порядке?

[sceptic]

Отчего забросили свою предыдущую тему? Нечего сказать по существу по поводу выявленной прорехи в "доказательстве" ВТФ?

Что ж, рассмотрим ваш новый опус.

Леонид Вайсруб в сообщении #222815 писал(а):

I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида

$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$

при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [1],[2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных решений $x, y, z$.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, т.е. предполагается, что равенство в (1) возможно. Если это так, то необходимо установить условия, при которых получается равенство.
Рассмотрим уравнение (1) для четных значений показателя степени $n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{4k + 2} + y^{4k + 2} = z^{4k + 2} ~~~~ (2)$$

и для нечетных значений показателя степени $n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, \ldots $, т.е.

$$x^{2k + 1} + y^{2k + 1} = z^{2k + 1} ~~~~ (3)$$

Перепишем уравнение (2) в виде,

$$(x^{(2k + 1)})^{2} + (y^{(2k + 1)})^{2} = (z^{(2k + 1)})^{2} ~~~~ (4)$$

Соотношение (4) есть целочисленное уравнение Пифагора, которое, после обозначения

$$ x^{(2k + 1)} = x_{0}, $$

$$ y^{(2k + 1)} = y_{0}, $$

$$ z^{(2k + 1)} = z_{0}, $$

запишется

$$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = z_{0}^{2} ~~~~ (5)$$

Корни уравнения Пифагора (величины $x_{0}, y_{0}, z_{0}$) известны в общем виде [1], [3]:

$$x_{0} = a^{2} - b^{2}; ~~~~~~~ (6) $$

$$~~y_{0} = 2ab; ~~~~~~~~~~~~~ (7) $$

$$z_{0} = a^{2} + b^{2}, ~~~~~~~ (8) $$

где $ a $ и $ b $ должны быть целыми числами и при этом $ a > b $ в силу целочисленности уравнения (4).
Исходя из предположения, что в уравнении (3) возможно равенство и учитывая соотношения
(6), (7) и (8), получим

$$ a^{2} - b^{2} + 2ab = a^{2} + b^{2}, $$

откуда получается $ 2ab = 2 b^{2}; a = b $, что противоречит условию
$ a > b $ для целочисленного уравнения Пифагора (4).

Что за бред! Начинаете анализировать случай четного значений показателя степени $n = 4k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $ (т.е. уравнение (2)) и тут же ссылаетесь на уравнение (3) (которое есть ВТФ для случая нечетного значения показателя степени). На подобное жульничество никто из других ферматистов здесь не опускался !

Леонид Вайсруб в сообщении #222815 писал(а):

Таким образом равенство в уравнении (1) для всех нечетных показателей степени $ n > 1$ невозможно.

Особенно, если вспомнить, что начинался этот бред фразой "Рассмотрим уравнение (1) для четных значений показателя степени"

Леонид Вайсруб в сообщении #222815 писал(а):

Доказательство для всех четных значений показателя степени $n = 2k + 2, k = 1, 2, 3, \ldots $ приведено в [6].

Вы имеет ввиду свою тему О свойствах решений одного однородного диофантова уравнения, из которой вы сбежали? Так вернитесь туда и убедитесь - доказательство не засчитано. Не вводите публику в заблуждение.

Последняя часть поста (Расширение задачи) не несет в себе ничего нового, поэтому не комментирую.
Даже список литературы умудрились испортить, добавив [6]!

[AD]

sceptic в сообщении #222908 писал(а):

На подобное жульничество никто из других ферматистов здесь не опускался !

Думаю, Вы ошибаетесь. Именно этим жульничеством страдают, по моим наблюдениям, чуть ли не половина ферматистов.

[LetsGOX]

Цитата:

Что за бред! Начинаете анализировать случай четного значений показателя степени (т.е. уравнение (2)) и тут же ссылаетесь на уравнение (3) (которое есть ВТФ для случая нечетного значения показателя степени). На подобное жульничество никто из других ферматистов здесь не опускался

Какая разница, четная или нечетная степень, хоть комплексная

[AD]

LetsGOX в сообщении #222912 писал(а):

Какая разница, четная или нечетная степень, хоть комплексная

Хи-хи. Для произвольных даже положительных степеней утверждение неверно. Ибо ясно, что $\sqrt[\alpha]{x^\alpha+y^\alpha}$ при росте $x$ и $y$ растет до бесконечности, и, следовательно, заметает все целые точки.

[LetsGOX]

AD Да, вообще вы правы, мне лучше не соваться к диофантовым задачам

[sceptic]

LetsGOX в сообщении #222912 писал(а):

Цитата:

Что за бред! Начинаете анализировать случай четного значений показателя степени (т.е. уравнение (2)) и тут же ссылаетесь на уравнение (3) (которое есть ВТФ для случая нечетного значения показателя степени). На подобное жульничество никто из других ферматистов здесь не опускался

Какая разница, четная или нечетная степень, хоть комплексная

По-видимому, вы не в ладах с логикой

[sceptic]

AD в сообщении #222911 писал(а):

sceptic в сообщении #222908 писал(а):

На подобное жульничество никто из других ферматистов здесь не опускался !

Думаю, Вы ошибаетесь. Именно этим жульничеством страдают, по моим наблюдениям, чуть ли не половина ферматистов.

AD
Можете привести пример подобного наложения утверждений из взаимно исключающих цепочек логических рассуждений из творчества других местных ферматистов?

[meduza]

Извините, я не в тему, но разве ВТФ уже не доказана Уайлсом лет 15 назад? Лично мне казалось, что это должно привести к вымиранию ферматистов как вида.

[bot]

А разве вымерли триссектристы? Квадратурщики и удвоители куба?
Их, конечно, поменьше - может быть со временем их поубавилось, а скорее ферматистов привлекает элементарность формулировки и кажущаяся возможность обойтись при помощи палки-копалки.

[AD]

sceptic в сообщении #222947 писал(а):

Можете привести пример подобного наложения утверждений из взаимно исключающих цепочек логических рассуждений из творчества других местных ферматистов?

Виктор Ширшов
Валерий2
VladStro
Но, конечно, ферматики, хоть когда-то проходившие математику, это понимают. Эти-то уж совсем ...

-- Чт июн 18, 2009 12:20:40 --

Забавно, что все - на букву В

[meduza]

AD в сообщении #222976 писал(а):

Забавно, что все - на букву В

Действительно И Вайсруб подходит. И даже в какой-то степени... Wiles