2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 "Почти целые" числа
Сообщение10.02.2009, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
Известно, что число 163 обладает замечательным свойством: e^{\pi\sqrt{163}} весьма близко к целому. У Рамануджана есть работа, в которой он описывает это и некоторые другие "почти целые" числа.

Интересно было бы найти эту работу и числа, собранные в ней. Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

Также весьма интересным представляется выражениe \sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5}, которое весьма близко к 4/3. Доказательство без использования калькулятора того факта, что в действительности это выражение чуть меньше, обычно заинтересовывает школьников. Вероятно, впервые близость этого выражения к 4/3 была обнаружена в теории музыки: http://en.wikipedia.org/wiki/Schisma

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:23 
Аватара пользователя


25/03/08
241
http://rus4.livejournal.com/46195.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
Nilenbert, спасибо за ссылку, скачал там работу Грина. Но всё же
Droog_Andrey писал(а):
Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть. Спасибо :-)

Моего примера с 4/3 там, однако, нет. Отправить, что ли... 8-)

З.Ы. Помню, (11) я нашёл ещё ребёнком, обнаружив, что 7^{510} начинается с цифр 1000000...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 02:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Droog_Andrey в сообщении #185256 писал(а):
Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть.

Полезно заглядывать в раздел SEE ALSO в конце каждой статьи. В статье j-Function ссылка на Almost Integer идет первой :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 09:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
Кое-что здесь уже обсуждалось в соседних темах - вот, например:
http://dxdy.ru/post76438.html#76438

А темы закрывать без особой необходимости у нас не принято. Даже если сегодня заинтересованных не нашлось, завтра они могут появиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 10:18 
Аватара пользователя


15/11/06
2290
Москва Первомайская
А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 13:49 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Droog_Andrey в сообщении #185272 писал(а):
Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

Интересна оценка минимального расстояния (ненулевого) до ближайшего целого от длины формулы. Интересно было бы увидеть что-либо существенно лучшее, чем
$$
\frac{1}{\underbrace{2^{2^2{\ldots}}}_{n \text{раз}}},
$$
которая достигается на этой же формуле (почти).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
geomath писал(а):
А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?
Вообще-то близость к целому не зависит от системы счисления :-)

Думаю, Вы имели в виду числа, которые дают почти целые при умножении на разные константы.

Например, число 246.7 даёт почти целое при умножении на $\ln{N}$ для первых десяти $N$. При умножении его на $\ln{2}$ получаем примерно 171, поэтому в музыке темперированный строй со 171 равными делениями октавы (171-РДО) феноменально точно приближает почти все используемые в музыке "чистые" (т.е. рациональные) интервалы и может быть использован для записи любой музыки, в т.ч. микротональной. Все такие числа являются максимумами функции |\zeta(1 + 2 \pi i x)|: например, широко используемый со времён Баха темперированный строй с 12 делениями октавы соответствует $x = 12/\ln2 \approx 17.3$. Максимум около $x = 466$ сам является "почти целым", и при этом при умножении на $\ln{3}$ и $\ln{5}$ получаются круглые "почти целые" числа 512 и 750 соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2009, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1955
Минск, Беларусь
Ещё один пример (журнал "Квант" №7, 1991 г.):

$\pi^4+\pi^5-e^6 \approx 0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2009, 21:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4328
Москва
Любопытное почти равенство, только точность не очень большая, на калькуляторе разница больше $10^{-5}$.

 Профиль  
                  
 
 В поисках филосовского камня
Сообщение21.02.2010, 15:58 


21/02/10
4
e-основание натуральных логарифмов. $\pi$-отношение окружности к диаметру. f-золотое сечение (положительный корень). $\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$ Да не точно, но зато как красиво. Что думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Почти целые" числа
Сообщение21.02.2010, 17:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5215
alexizos в сообщении #290983 писал(а):
$\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$

Другое почти целое, полученное из тех же констант, указано под номером (34) в http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group