Сумма всех натуральных чисел

[ILYA_First]

Всем здравствуйте!
Меня последнее время занимает один вопрос. известно, что сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{1}{12}$. Это можно получить вычислив функцию Римана от -1. Эйлер смог доказать этот факт 4 различными способами. Так вот, кто-нибудь знает, как это можно сделать? (не используя функция Римана)

[kvanttt]

Впервые об этом слышу! Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля, то как может получится $-1/12$? Попахивает бредом

Если можете, дайте ссылку, где об этом написано

[juna]

Сумма членов любой арифметической прогрессии равна $\frac{5d-6a_1}{12}$, где $d$ - разность, $a_1$ - первый член. И все это неортодоксально.

[ILYA_First]

juna писал(а):

Сумма членов любой арифметической прогрессии равна $\frac{5d-6a_1}{12}$, где $d$ - разность, $a_1$ - первый член. И все это неортодоксально.

А можно глупый вопрос? откуда эта формула?

kvanttt писал(а):

Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля, то как может получится $-1/12$?

А что вы имеете в виду, говоря о симметричности натуральных чисел?

[juna]

Эту формулу получает Варшамов в своей книге
http://dxdy.ru/topic7682.html

[ILYA_First]

Спасибо за ссылку.
А как сам Эйлер это доказал?
Я где то встречал доказательство при помощи сложения. то есть там рассматривалась сумма 1-1+1-1+...=a. и из нее выводилось доказательство нужного факта.

[ShMaxG]

Кстати говоря, во время Эйлера теория рядов была противоречивой, эту проблему решили после того, как дали "хорошие" определения пределам, рядам...

[Cave]

Этому факту даже посвящена статья в Википедии. Оттуда можно пройти по ссылкам на суммирование Рамануджана и в самом низу на небольшую статью о методе суммирования собственно Эйлера.

[Профессор Снэйп]

ILYA_First писал(а):

Меня последнее время занимает один вопрос. известно, что сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{1}{12}$.

kvanttt писал(а):

Тут же возникает вопрос если все натуральные числа "симметричны" относительно нуля...

ILYA_First писал(а):

...рассматривалась сумма 1-1+1-1+...

Народ! Вы натуральные числа с целыми не перепутали?

[juna]

Профессор Снэйп в сообщении #172807 писал(а):

Народ! Вы натуральные числа с целыми не перепутали?

Утверждается, что $1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$
Так что можно даже с рациональными перепутать.

[shwedka]

Старикаша Эйлер по своему обычаю не волновался о сходимости рядов. Поэтому он рассмотрел степенной ряд
$\sum n x^n$,
путем почленного интегрирования просумировал и, как теперь принято говорить, продолжил результат аналитически до точки $x=1$. Таких вычислений у Эйлера вусмерть

[вздымщик Цыпа]

juna в сообщении #172821 писал(а):

Утверждается, что $1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$

Не, ну раз уж $1+2+4+8+16+... = -1$. то и в этом утверждении нет ничего особо необычного

[Anton Nonko]

Вы не путаете обычную сумму и сумму Рамануджана?

[вздымщик Цыпа]

Anton Nonko в сообщении #172907 писал(а):

Вы не путаете обычную сумму и сумму Рамануджана?

А не называете ли Вы суммирование бесконечных сходящихся рядов обычной суммой?

[Anton Nonko]

Неправильно выразился, это предельный переход от обычной суммы. Однако, ряд натуральных чисел не сходится.