Обсуждение и разбор марафонских задач

[Masik]

Кроме гимна там нашлось ещё немало интересных роликов с участием нашего ведущего. Завидую!!!
Дедушка Мороз!
Дай нам сил, бодрости и смелости на такие же поступки, и на большие! И чтобы мы не врали, что времени не хватает. Времени не хватает только у тех, кто ничего не делает.
Пусть нас понимают и любят, и чтобы мы любить не разучились! Здоровья и счастья!

[VAL]

Masik в сообщении #1087393 писал(а):

Кроме гимна там нашлось ещё немало интересных роликов с участием нашего ведущего. Завидую!!!

Я и сам себе порой завидую!
А исполнителя и помощницу узнал?

Всех с наступившим!!!

[VAL]

Стартовал 22-й конкурс в рамках Математического марафона.

Как я и обещал, постарался сделать задачи в среднем попроще. Это замечание не касается пары задач, которые были готовы раньше.

Не обошлось без дежурных очепяток В условии ММ211 слово "вершин" следует читать как "граней"
Постараюсь внести исправление в ближайшее время.

[VAL]

Исправил.

[Masik]

Спасибо за новый конкурс! Действительно, задачи очень упростились. Хотя ничто не мешает решающему обобщать их до любой сложности.
А вопрос такой: под диагоналями многогранника имеются в виду только пространственные диагонали или диагонали граней тоже?

[VAL]

Masik в сообщении #1125515 писал(а):

Спасибо за новый конкурс! Действительно, задачи очень упростились. Хотя ничто не мешает решающему обобщать их до любой сложности.

Многие задачи именно на это и рассчитаны.

Цитата:

А вопрос такой: под диагоналями многогранника имеются в виду только пространственные диагонали или диагонали граней тоже?

Этот вопрос уже обсуждался при разборе ММ168.

Диагональ выпуклого многогранника - это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.

[Masik]

VAL в сообщении #1125525 писал(а):

Цитата:

А вопрос такой: под диагоналями многогранника имеются в виду только пространственные диагонали или диагонали граней тоже?

Этот вопрос уже обсуждался при разборе ММ168.

Мы рассчитываем на приток новых участников, не все они помнят пояснения к ММ168. Всегда лучше явно написать, что имеется в виду в неочевидных случаях (если это не специальный подвох, конечно). А вот выпуклость многогранников отмечается дважды, в соседних предложениях.

[VAL]

===========ММ211===============

ММ211 (3 балла)

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Василия Дзюбенко и Виктора Филимоненкова:

Обсуждение

Как обычно, участники разделились на "минималистов" и "исследователей". Последние с разной степенью полноты и успешности обобщили условие задачи. Разумеется, наиболее естественным обобщением представляется рассмотрение многогранников с нечетным количеством граней. При этом большинство участников Марафона опирались на теорему Штейница о биективном соответствии между многогранниками и (вершинно) трехсвязными планарными графами. Правда, некоторые марафонцы воспользовались этим фактом без явного упоминания теоремы Штейница.

Олег Полубасов пошел чуть дальше, рассмотрев вопрос не только о существовании, но и о количестве требуемых многогранников для небольших значений f.

Самые краткие решения умещаются в одну строчку. Требуемые в условии многогранники можно получить, рассматривая многогранники, двойственные антипризмам. Я не нашел на русском языке какого-то устоявшегося названия этого семейства многограннике. В английском языке такое название есть. Точнее, не такое, а такие: trapezohedron, antidipyramid, antibipyramid, deltohedron. Так что, единства нет и здесь. Загадочным образом чаще всего используется первое (на мой взгляд, совершенно неподходящее) название.

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ211 Олег Полубасов получает 8, Василий Дзюбенко, Игорь Ханов и Анатолий Казмерчук - по 6, а Владимир Чубанов - 4 призовых балла. За правильное решение Владислав Франк, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин и Владимир Дорофеев получают по 3 призовых балла (в последнем случае 3 балла образовались путем вычитания и добавления одного балла). Сергей Половинкин получает 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла

[maxal]

VAL в сообщении #1150567 писал(а):

Олег Полубасов пошел чуть дальше, рассмотрев вопрос не только о существовании, но и о количестве требуемых многогранников для небольших значений f.

Олег в своём решении пишет, что последовательности нет в OEIS. А она есть на самом деле: A007022 (начинается с 8-го члена, уже исправлено).

[VAL]

maxal в сообщении #1150853 писал(а):

Олег в своём решении пишет, что последовательности нет в OEIS. А она есть на самом деле: A007022 (начинается с 8-го члена).

Понятно, что Олег не обнаружил ее из-за ведущих нулей. Непонятно только, почему с 8-го.

PS: Понял. В OEIS не по граням, а по вершинам считают.

[ET]

VAL в сообщении #1150567 писал(а):

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

Вообще-то, если есть для некторого $f$, то элементарно построить для $f+4$ , так что достаточно прсто предъявить куб и такую ерунду из восьми вытянутых ромбов

[VAL]

ET в сообщении #1151057 писал(а):

VAL в сообщении #1150567 писал(а):

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

Вообще-то, если есть для некторого $f$, то элементарно построить для $f+4$ , так что достаточно просто предъявить куб и такую ерунду из восьми вытянутых ромбов

Во-первых, базовая стоимость задачи - всего 3 балла. Т.е. минимальная для Марафона. Таким образом, задача изначально позиционировалась как простенькая.

А во-вторых, не могли бы Вы привести пример "ерунды из восьми вытянутых ромбов".

[ET]

VAL в сообщении #1151060 писал(а):

А во-вторых, не могли бы Вы привести пример "ерунды из восьми вытянутых ромбов".

Берем два четырехгранных угла. Разворачиваем их друг к другу. Рассмотрим внутренность. Если ребра одного угла попадают в ребра другого, то получится просто октаэдр из треугольников. А если один из них чуть повернуть на, допустим 45 градусов, то получится та самая ерунда.

Дополнение. Нашел в педивикии в статье "октаэдр", в разделе "Другие выпуклые восьмигранники" ту самую с рисунком под названием "Четырёхугольный
трапецоэдр"

[VAL]

ET в сообщении #1151069 писал(а):

VAL в сообщении #1151060 писал(а):

А во-вторых, не могли бы Вы привести пример "ерунды из восьми вытянутых ромбов".

Берем два четырехгранных угла. Разворачиваем их друг к другу. Рассмотрим внутренность. Если ребра одного угла попадают в ребра другого, то получится просто октаэдр из треугольников. А если один из них чуть повернуть на, допустим 45 градусов, то получится та самая ерунда.

Не получится.
Конструкция, о которой Вы толкуете, описана, например, в решении Виктора Филимоненкова.
Но он, в отличие от Вас, не утверждает, что грани будут ромбами.

Цитата:

Дополнение. Нашел в педивикии в статье "октаэдр", в разделе "Другие выпуклые восьмигранники" ту самую с рисунком под названием "Четырёхугольный трапецоэдр"

А этот термин (латиницей) приведен (и даже раскритикован) в моем посте с разбором ММ211. Вот только ромбами грани четырехугольного трапецоэдра ни будут ни при каких обстоятельствах. Точно также, как и трапециями. Именно поэтому я отдаю предпочтение термину "deltohedron".

[grizzly]

VAL в сообщении #1151072 писал(а):

Вот только ромбами грани четырехугольного трапецоэдра ни будут ни при каких обстоятельствах.

Вот только хотел то же самое сказать, а потом понял, что ET говорил не о ромбах, а о дельтоидах, называя их "вытянутыми ромбами" (хотя нужное слово сказано прямо возле картинки в Вики).

А задача мне понравилась. Для старта это было самое оно.