2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Опять про элементарные функции
Сообщение01.03.2017, 15:16 


20/08/14
3314
Россия, Москва
 i  Lia: Отделено от «Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const»
Тег оффтопа местами снят.


Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной, а другая (логарифм) нет.
Вообще же, похоже с разделением функций на элементарные и нет вышло наложение двух условий: так исторически сложилось; функции из решений полиномов. Вот не нужен был логарифм для решений полиномов - его и не изучали и не вводили долгое время, вот и не причисляют к элементарным. А корень был нужен и для полиномов и для простых задач геометрии. Короче бардак. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение01.03.2017, 15:28 
Аватара пользователя


11/06/12
7650
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):
а другая (логарифм) нет
Почему нет? Вполне себе да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение01.03.2017, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5031
Munin в сообщении #1196237 писал(а):
Многие безымянные функции тоже.
Ну так я дальше и говорю, что
Anton_Peplov в сообщении #1196131 писал(а):
Другое дело, что класс "хороших" функций при любом критерии "хорошести" (непрерывность, дифференцируемость, аналитичность, etc.) много шире класса элементарных функций. То, что одни считаются "элементарными", а другие "специальными" - факт, скорее всего, внематематический. Функции, которые чаще всего нужны в приложениях, раньше всего изучили и назначили "элементарными", другие - "специальными", а те, которые нужны реже, может, даже не исследовали еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение01.03.2017, 16:16 


05/09/16
2097
Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):
Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной, а другая (логарифм) нет.

Логарифм тоже, см. Фихтенгольц, том 1, параграф 48.

Перед этим Фихтенгольц говорит об аналитическом способе задания функции (там же, параграф 46) и поясняет что в первую очередь аналитические -- это арифметические операции, возведение в степень (и извлечение корня), логарифмирование, тригонометрические и обратные тригонометрические операции, но это не полный список. Например предельный переход Фихтенгольц тоже относит к аналитическим операциям\действиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение01.03.2017, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14927
Новомосковск
Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):
Меня вот смущает почему для степенной функции одна из обратных (корень) считается элементарной,
Вообще-то, корень — частный случай степенной функции.

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):
а другая (логарифм) нет.
Это неправда. Во-первых, логарифм является обратной функцией не для степенной, а для показательной функции. Во-вторых, логарифм считается элементарной функцией.

Dmitriy40 в сообщении #1196243 писал(а):
Вообще же, похоже с разделением функций на элементарные и нет вышло наложение двух условий: так исторически сложилось; функции из решений полиномов.
Функция $y(x)$, задаваемая уравнением $P(x,y)=0$, где $P(x,y)$ — полином, называется алгебраической, а не элементарной (хотя в некоторых случаях может быть элементарной).

Определение класса элементарных функций:
1) основными элементарными функциями являются степенные ($x^{\alpha}$ с любым действительным показателем), показательные ($a^x$ с основанием $a>0$), логарифмические ($\log_ax$ с основанием $a>0$, $a\neq 1$), тригонометрические и обратные к ним;
2) каждая элементарная функция получается из основных элементарных функций и констант с помощью конечной последовательности арифметических операций и операций суперпозиции функций (подстановки функции в функцию).

Например, абсолютная величина (модуль) является элементарной функцией, а сигнум — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения sin(x)=x-a, где a=const
Сообщение01.03.2017, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Someone в сообщении #1196354 писал(а):
Вообще-то, корень — частный случай степенной функции.

А в степенной что такого хорошего? Особенно если показатель иррационален.

Someone в сообщении #1196354 писал(а):
Например, абсолютная величина (модуль) является элементарной функцией, а сигнум — нет.

Пожалуйста, покажите и то и другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение01.03.2017, 23:23 


20/08/14
3314
Россия, Москва
Ну первое-то легко: $|x|=\sqrt{x^2}$. Вот со знаком не знаю, непрерывность ведь не является признаком элементарности.

Спасибо всем за напоминание элементарности функций, как-то сбилось понятие в голове.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897
Dmitriy40 в сообщении #1196390 писал(а):
Ну первое-то легко: $|x|=\sqrt{x^2}$.

Вот только если задуматься... Корень должен быть арифметическим, иначе никакого модуля. Арифметический корень определён только на неотрицательной полуоси. Но тогда, ради единообразия, и возведение в квадрат должно быть определено там же.

А вот насчёт сигнума... вы так уверены, что сочетанием арктангенсов и тому подобного нельзя добиться нужного эффекта?

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1414
Москва
Munin в сообщении #1196398 писал(а):
А вот насчёт сигнума... вы так уверены, что сочетанием арктангенсов и тому подобного нельзя добиться нужного эффекта?
Все перечисленные функции непрерывны на своей области определения, так что нельзя.
Если сказать, что сигнум в нуле не определен - то легко, $\frac{x}{|x|}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5031
Munin в сообщении #1196398 писал(а):
Арифметический корень определён только на неотрицательной полуоси.
А $\ln x$ - на положительной.
Munin в сообщении #1196398 писал(а):
Но тогда, ради единообразия, и возведение в квадрат должно быть определено там же.
А кто требует такого единообразия? Композиция $f \circ g$ определена, если $f$ определена всюду в области значения $g$. Области определения совпадать не обязаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 00:36 


20/08/14
3314
Россия, Москва
После объявления тригонометрии элементарной я уже ни в чём не уверен. :mrgreen:
Раз уж в пургаторий не отправляют, интересно, а факториал будет элементарной функцией (над натуральными числами)? Вроде бы сводится к конечному числу умножений, но само это количество не фиксировано. Что-то не соображу. Наверное нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5031
Dmitriy40 в сообщении #1196415 писал(а):
Вроде бы сводится к конечному числу умножений, но само это количество не фиксировано.
Функция $f(n) = n!$ не является композицией функций $g_k(x) = kx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14927
Новомосковск
Munin в сообщении #1196385 писал(а):
А в степенной что такого хорошего? Особенно если показатель иррационален.
А какое это имеет значение?

Термин "элементарная функция" не предполагает, что функция в каком-то смысле "хорошая" или "простая". Это просто исторически сложившийся класс функций. Который, конечно, совершенно недостаточен для удовлетворения потребностей математики и её приложений.

Dmitriy40 в сообщении #1196415 писал(а):
факториал будет элементарной функцией (над натуральными числами)?
А нет понятия "элементарная функция над натуральными числами".

Dmitriy40 в сообщении #1196390 писал(а):
непрерывность ведь не является признаком элементарности.
Есть теорема, что элементарная функция непрерывна в своей области определения (в изолированных точках области определения функция считается непрерывной). Сигнум не является непрерывным в нуле, хотя и определён.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1414
Москва

(Оффтоп)

Лекция по матану на первом курсе. Лектор:
-[...] элементарные функции. Определение: элементарные функции - это функции, которые проходят в школе.
Хоровой шепот СУНЦов:
-Гамма-функция..

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение02.03.2017, 13:18 


05/09/16
2097
Someone в сообщении #1196427 писал(а):
Есть теорема, что элементарная функция непрерывна в своей области определения (в изолированных точках области определения функция считается непрерывной). Сигнум не является непрерывным в нуле, хотя и определён.

Посмотрим опять же в Фихтенгольца (том 1, параграф 46).
Для чем-то похожей на $sgn(x)$ функции $f(x)$ такой, что $f(x)=1$, если $|x|>1$, $f(x)=-1$, если $|x|<1$ и $f(x)=0$ если $|x|=1$, дается такая формула
$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}$
То есть функция записана формулой, содержащей только аналитические операции (а предельный переход Фихтенгольц к таковым относит), да и деления на ноль нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 159 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group