2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение29.12.2016, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4843
Ветка навеяна такими сообщениями.
Munin в сообщении #1180816 писал(а):
gogoshik в сообщении #1180788 писал(а):
Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор.

Есть две топологии. Одна называется "общая топология", а другая - по-разному: "алгебраическая топология", "дифференциальная топология", иногда упоминается "комбинаторная топология", "гомотопическая", "гомологическая" - это всё подразделы алгебраической.

То, что рассказывают в популярных книжках про ленту Мёбиуса и бутылку Клейна - это алгебраическая топология. Обычно именно после этого людям интересно, а что это за топология вообще, и хочется её почитать.

А "по сути специализированная теория множеств" - это общая топология.

Общая топология как курс идёт перед алгебраической. Но некоторые вещи, если вы понимаете их "на пальцах" (например, что означает "не рвать и не склеивать", и наоборот, "склеить"), можно просто пропустить, и читать сразу алг. топологию. Лучше всего "книжку с картинками", где побольше наглядных пояснений.

Если не пропускать, то можно "утонуть" в общей топологии, и так и не добраться до желанной алгебраической.
arseniiv в сообщении #1180817 писал(а):
Munin
Я вас удивлю, но иногда желанна общая топология. Впрочем, статистика, видимо, не на моей стороне.
Mikhail_K в сообщении #1180863 писал(а):
Расскажите подробнее.
Чем именно привлекала общая топология в этих не столь частых случаях.
Потому что общая топология - это действительно не такая "яркая" вещь, как алгебраическая. И тем ценнее каждая возможность её преподнести в интересном и привлекательном виде.

Предлагаю людям, которые пришли к чтению учебников по общей топологии самостоятельно (т.е. топология не была обязательным предметом там, где они учились), поделиться здесь опытом: что же их на это сподвигло?

Что до меня, со мной все просто. Я начал с "я не понимаю, чем кривая отличается от поверхности". Хорошо, размерностью, а что такое размерность? В детских книжках говорилось, что $n$-мерность - это когда чтобы задать точку нужны $n$ координат. Увы, я к тому времени уже слышал имя вождя и учителя Кантора и знал, что отрезок равномощен квадрату. Наглядные книжки по топологии читать не стал, поскольку по складу мышления (жаль, что не по таланту к доказательству теорем) я въедливый математик, и, если я вижу в рассуждении логическую брешь, прослеживать его дальше мне становится физиологически некомфортно. Еще один фактор - читая в Ильине и Позняке про все эти пределы и окрестности, я не мог отделаться от ощущения, что "все это частный случай чего-то большого и важного". Видимо, частично это ощущение было индуцировано долетающим из далекого далека эхом богослужений в церкви Настояшшшей Математики (настоятель о. М. Вербицкий). А я вообще люблю фундаментальность и общность, мне интересно изучать структуры, лежащие в основе всего. Конец немного предсказуем: я взял учебник общей топологии и влюбился.

Правда, сбылся и прогноз Munin: до понятия многообразия я не добрался до сих пор. Все время возникают какие-то вопросы "а верно ли, что...", "а существует ли такое пространство, что...", "а вот у Энгелькинга интересное слово упоминается, что оно означает?". У Энгелькинга про фильтры написано всего ничего, а я несколько страниц исписал, самостоятельно доказывая разные их свойства.

Дошел до того, что собственные велосипеды выдумываю. Ага, направленность - это функция в топологическое пространство из направленного множества. Тогда пусть пунктир - это функция из множества со слабым порядком, нить - функция из частично упорядоченного множества, а лента - функция из линейно упорядоченного множества (не обязательно счетного, так что последовательность - лишь частный случай). Какие теоремы останутся справедливы, если направленность или нить заменить на пунктир, последовательность на ленту, ленту на нить? Какие будут опровергнуты, какими контрпримерами? Еще один велосипед - "псевдотопология". Это когда пересечение замкнутых множеств замкнуто, но конечное объединение - не обязательно. Такого рода структуры постоянно возникают в алгебре - например, любое пересечение подгрупп есть подгруппа, а объединение - не всегда. Какие теоремы топологии справедливы для псевдотопологии?

Я бы мог, конечно, выбраться из всего этого волевым усилием. Но я не хочу:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение29.12.2016, 22:24 


11/12/16
88
Я начал интересоваться общей топологией самостоятельно после того как прочитал в одной книжке про математику (к сожалению не помню в какой), что общая топология является маст-хэв "языком" современной математики и пронизывает практические все её существенные разделы, которые необходимо знать современному математику. К тому же язык на мой взгляд достаточно привлекательный, чтобы можно было получать самонаслаждение и очаровывать собеседников, противоположный пол :-) Ну а так как я хочу стать математиком решил с этой наукой заранее начать знакомиться. Почему бы и нет? Не зная язык навряд ли будет успешно изучение других разделов и математики вообще! К тому же я хочу поступить на математическое отделение университета (задумываюсь, выбираю!), думаю что там уж точно не помешает! Общая топология - это можно так сказать международный букварь (словарь) современной математики, ну или существенной её части!

К тому же в книге Комацу Мацуи Многообразие геометрии которую я недавно прочитал много места отводится именно топологии и её разным направлениям - комбинаторная, алгебраическая, дифференциальная, геометрическая топология. Почти половина книги. Стало просто еще и любопытно, а что же это за действительно такая наука которой уделяется так много внимания!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение29.12.2016, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63227
Anton_Peplov в сообщении #1180894 писал(а):
Кто и как пришел к изучению общей топологии

Я так и не пришёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение29.12.2016, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20177
Уфа
Anton_Peplov в сообщении #1180894 писал(а):
Предлагаю людям, которые пришли к чтению учебников по общей топологии самостоятельно (т.е. топология не была обязательным предметом там, где они учились), поделиться здесь опытом: что же их на это сподвигло?
Если что, я говорил не очень от своего имени, просто понятие топологии достаточно общее, чтобы применяться не только там, где, на первый взгляд, может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
Если смотреть широко, понятие топологического пространства обобщает три конструкции: спектр кольца, многообразие и моды сходимости (что отвечает алгебре, геометрии и анализу). Как аппарат, нужный для обобщения только этих конструкций в общей топологии избыточно много лишнего, и, к тому же она "общая" не в том направлении (некоторые моды сходимости не топологизируемы, а схемы естественнее рассматривать не над топ. пространством, а над сайтом) и очень мало связей со всем другим миром "прямо из коробки", поэтому мне кажется, формализм не совсем удачный.
Всё собираюсь освоить формализм локалей и фреймов (в котором, якобы, "прямо из коробки" теорема Хана-Банаха идёт, например), но никак с духом не соберусь. В общем, о чём это я? О том, что общую топологию учить нужно в самом минимальном объеме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 04:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63227
kp9r4d
А где и под какими названиями почитать то, о чём вы упоминаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 05:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
Munin
Pointless topology, locale, frame.

ncatlab:
https://ncatlab.org/nlab/show/pointless+topology
https://ncatlab.org/nlab/show/frame
https://ncatlab.org/nlab/show/locale
MO:
http://mathoverflow.net/questions/80581 ... l-topology
http://mathoverflow.net/questions/53929 ... d-topology

А первый абзац - то моя очередная шиза. Я вот ещё пару тем нагуглил:
http://math.stackexchange.com/questions ... g-to-study
http://mathoverflow.net/questions/52032 ... ble-spaces
и вспомнил ещё один очень важный пример: категория унитальных $C^*$-алгебр антиэквивалентна категории хаусдорфовых компактов (двойственность Гельфанда-Наймарка). Поэтому хаусдорфовы компакты - тоже естественные объекты, (что неудивительно, т.к. хаусдорфовы компакты - это чисто алгебраические объекты - это алгебры над монадой над эндофунктором, поднимающим отображение множеств до отображения над ультрафильтрами множеств). Что, конечно же, не оправдывает point-set топологию, а даже наоборот ^^

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63227
Я как раз про первый абзац: спектр кольца, схема, сайт, мода сходимости - всё незнакомые мне слова. И кстати, а какой минимальный аппарат был бы достаточен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1356
Москва
Не могу сказать, что я общую топологию именно так серьёзно и подробно изучал, но погружаться доводилось, скажем так. Для меня это погружение началось с дифференциальной геометрии. Когда то тут, то там в связи с многообразиями начали возникать разные "компактности", "хаусдорфовы пространства" и тому подобные вещи. Пришлось разбираться. Однако, въедливым читателем я не был. Ставилась конкретная цель: принципиально понять ту или иную конструкцию. Почему она построена именно так, как это используется в дальнейшем. В результате галопом я посмотрел много на что, получился своего рода скелет, на который теперь я могу по собственному желанию и усмотрению наращивать недостающий/интересующий материал. Вполне вероятно, что со временем займусь этим скелетом вплотную. Но это явно случится не в ближайшем году.

Резюмируя, пока что к общей топологии я обращался тогда, когда мне из неё чего-то не хватало для других разделов. Но сам предмет мне очень даже симпатичен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение30.12.2016, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
Munin
Схема (Scheme) и спектр кольца (афинная схема) - это базовые объекты изучения алгебраической геометрии. Сайт (Site) - это категорификация топ. пространства, а мод сходимости - это то, что "converge space". Прямо по этим словам и гуглится.

-- 30.12.2016, 14:16 --

Munin в сообщении #1180991 писал(а):
И кстати, а какой минимальный аппарат был бы достаточен?

Не знаю, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение01.01.2017, 17:14 


18/01/15
116
Да много разных причин было.

Прежде всего, ее ведь в курс матана немного входит.

Потом, позже, была необходимость изучать алгебраическую топологию, точнее основы ее, а потом алгебраическую геометрию. В книжке Спеньера используются пространства петель и отображений, в Постникове "Основы теории гомотопий" --- экспоненциальный закон для пространств отображений. Это нечто, относящееся именно к общей топологии. То, что там написано, меня, помню, как-то не вполне удовлетворило, стал читать П.С.Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию". Вроде все понятно, но в голове мало осталось, все как сквозь пальцы ушло.

А значительно позже понял, что мои знания основ АГ недостаточны (в целом, и в частности для работы, которой в то время занимался), решил их улучшить. Заглянул в Бурбаки "Коммутативная алгебра", а там в третьей главе масса
ссылок на главу 3 из "Общей топологии". Поэтому и стал ее читать. Мне пришло в голову следующее соображение:
поскольку ведущие члены Бурбаков --- Дьедонне, Картан, Вейль, Серр, --- выдающиеся ученые именно в области АГ, то вероятно, материал в начале трактата Бурбаков явно или неявно заточен под будущее изучение АГ. Поэтому его и надо изучать, хоть с разбором, но без больших сомнений типа "а нужно ли мне это". Ну и стал изучать, три главы изучил. Т.е., самостоятельно доказал почти все утверждения, прорешал задачи. Этот опыт был намного более удачным, в голове явно намного больше осталось.

Хочу еще добавить, что есть два русских издания "Общей топологии" Бурбаков, конца 1950х и конца 1960х, и они местами довольно различны, особенно в 1-й главе. Второе, по мне, гораздо лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение03.01.2017, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1295
Хотел немного свой пост прокомментировать (в прошлый раз писал наспех с поезда, поэтому не совсем точно передал свою мысль).
Во-первых мод сходимости (convergence mode) это скорее общая идея о том, что придать смысл фразе "последовательность функций $f_n$ стремится к $f$" можно по-разному (почти всюду, поточечно, равномерно, в $L^p$ смысле и т.д.) а "convergence space" - это попытка в общетопологическом духе формализовать эту идею - не самая популярная и не самая, на мой взгляд, удачная.
Во-вторых на сайт как на категорификацию понятия "топ. пространства" смотреть, наверное, не стоит.
В-третьих тут упомянули всякие гомотопические конструкции "пространство путей, пространство петель и т.д.", этот пример, мне кажется, не совсем удачный. Потому что всем как бы понятно, что общетополоический язык для гомотопий не очень чтобы удачен и все пытаются как раз всё это дело концептуализировать и алгебраизовать - откуда всякие формализмы модельных, DG, триангулированных и прочих категорий. Другое дело, что пока, что получается не шибко, чтобы очень, но направление в котором идут-то понятно.
То есть общая топология вроде как и обобщает там многообразия, спектры кольца, моды сходимости, хаусдорфовы компакты, дискретные объекты и гомотопические конструкции - но никаких инструментов для работы и связки одних концептов с другими не предлагает. Поэтому я, конечно же, за тотальную революцию и переосмысление языка. А то не дело ведь совершенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение03.01.2017, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
527
МО
Мне всегда казалось, что общая топология формализует общее представление о сходимости, делает это вполне себе успешно, и вроде как ни на что иное и не претендует.
Разговор о применении общей топологии к гомотопиям минимум странен. Похоже на анекдот про студента, выучившего только раздел о блохах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение03.01.2017, 13:05 


18/01/15
116
kp9r4d
Пространства петель, путей и отображений --- это не гомотопические конструкции. Они используются в алгебраической топологии, но сами по себе требуют только понятий из общей топологии. Вы, наверное, забыли или не знали их определений. Или спутали их, может быть, с классами гомотопных петель или еще с чем-либо подобным.
См. Постников, "Основы теории гомотопий", стр. 29--37, ("Добавление" к гл.1), а также стр. 149, определение 5. Я имел в виду сказать, что для изучения алгебраической топологии нужно знать некоторое количество общей. Как, собственно, и делает Постников в упомянутом "Добавлении", напоминая кое-что из общей топологии.

пианист
Ну, не совсем. Претендовать не претендует, но иногда помогает. Например, когда алгебраические многообразия склеиваются
из локальных кусков, там происходит склейка по топологии Зарисского, (и знание общей топологии помогает этот процесс
понять, мне лично помогло, что я Бурбаков начитался), а в топологии Зарисского же никакой сходимости нет, она совершенно не хаусдорфова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто и как пришел к изучению общей топологии
Сообщение03.01.2017, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63227
пианист в сообщении #1181654 писал(а):
Мне всегда казалось, что общая топология формализует общее представление о сходимости, делает это вполне себе успешно, и вроде как ни на что иное и не претендует.

А нужен ли для этого столь мощный и тяжеловесный аппарат? Энгелькинг - 750 страниц.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group