2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 12:03 
Аватара пользователя


31/07/14
476
Я понял, но не врубился.
Skeptic в сообщении #1075389 писал(а):
Ракеты взлетят на одинаковую высоту.
Подсмотрено в учебнике физики для 8 класса.
Более "животворящего пенделя" невозможно себе представить!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 12:58 


20/08/14
2521
Россия, Москва
Вероятно в учебнике для 8-го класса не учитывают уменьшение полной массы ракет из-за выработки топлива (на тот момент кажется ещё не знают ни логарифмы ни интегралы). А с таким условием решение становится простейшим из энергетических соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 16:35 


01/12/11
983
Munin в сообщении #1075423 писал(а):
Тогда уж и точную ссылку давайте.

Munin, мне за вас даже как-то неудобно: у вас на книжной полке нет школьных учебников?, и вы не знаете, что в них написано?
А.В.Пёрышкин, В.В.Крауклис. Курс физики. Часть I. Учпедгиз - 1957 г.
Страницу сами найдёте, или подсказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 16:49 


24/01/09
525
Украина, Днепропетровск
Skeptic в сообщении #1075389 писал(а):
Ракеты взлетят на одинаковую высоту.
Подсмотрено в учебнике физики для 8 класса.

(Оффтоп)

Учебник новый? Высота небесной тверди?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 16:59 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
10604
Кронштадт
 ! 
Skeptic в сообщении #1075472 писал(а):
Munin, мне за вас даже как-то неудобно: у вас на книжной полке нет школьных учебников?, и вы не знаете, что в них написано?
А.В.Пёрышкин, В.В.Крауклис. Курс физики. Часть I. Учпедгиз - 1957 г.
Страницу сами найдёте, или подсказать?
Skeptic - замечание за демагогию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63017
Skeptic в сообщении #1075472 писал(а):
Munin, мне за вас даже как-то неудобно: у вас на книжной полке нет школьных учебников?, и вы не знаете, что в них написано?

У меня их слишком много, и я не знаю, что в них написано во всех.

Skeptic в сообщении #1075472 писал(а):
Страницу сами найдёте, или подсказать?

Раз я спросил точную ссылку, то и давайте точную ссылку. Не заставляйте всех окружающих пролистывать учебник от корки до корки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 18:27 


26/05/14
379
Dmitriy40 в сообщении #1075435 писал(а):
Вероятно в учебнике для 8-го класса не учитывают уменьшение полной массы ракет из-за выработки топлива (на тот момент кажется ещё не знают ни логарифмы ни интегралы). А с таким условием решение становится простейшим из энергетических соображений.

Вы ошибаетесь, задача решается одинаково при любой динамике ракет. Это кинематическая задача.

Пример: пусть ускорение свободного падения $g = 10$. Не будем учитывать изменение массы ракет (мы в восьмом классе), реактивное ускорение примем постоянным $a = 20$. Глубина обрыва 15 метров. Время работы двигателей 3 секунды.

Считаем по секундам (время, скорость и высота первой ракеты, скорость и высота второй ракеты):
Код:
t  v1 h1   v2  h2
0   0  0    0   0
1  10  5  -30 -15
1  10  5   30 -15 (момент отскока, скорость второй ракеты изменила знак)
2  20 20   40  20
3  30 45   50  65

На третьей секунде вторая ракета выше и движется быстрее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 22:05 


05/02/11
971
Москва
Мне захотелось понять, что приходит на смену интегралу энергии, когда и масса ракеты меняется, и её двигатель работает.
Пусть $u(t), s(t)$ - это, соответственно, та скорость и то перемещение, которое были бы у ракеты в условиях невесомости. Это - её заданные исходные характеристики.
Тогда, как нетрудно показать, исходное уравнение её движения в дифференциалах таково:$$d(v-u)+gdt=0$$
Его интеграл $$v-u+gt=C$$ Здесь $v$ - скорость ракеты в поле тяготения. За плюс принято направление вверх. Величина С зависит от начальных условий.
Умножим исходное ДУ на $v-u$; при этом учтём, что $vdt=dy, udt=ds$, где $y(t)$ - высота ракеты:$$(v-u)d(v-u)+g(dy-ds)=0$$ То есть $$d\left[\frac{(v-u)^2}2+g(y-s)\right]=0$$ Таким образом, получаем эквивалент того самого "энергетического" интеграла движения $$\frac{(v-u)^2}2+g(y-s)=C$$
В дальнейшем простоты ради будем считать, что ракета достигает максимальной высоты $y_m$, когда её двигатель уже не работает, а "реактивная скорость" $u$ принимает своё максимальное значение $u_m$.
Итак, 1-я ракета, стартующая сразу вверх.
Она достигает максимальной высоты в некоторый момент $t_1$, когда $v=0$. Заметим, что в интеграле для скорости, очевидно, С=0. Положив в нём $v=0, u=u_m$ получим, что момент достижения наивысшей точки равен $$t_1=\frac{u_m}{g}$$ В интеграле движения первой ракеты константа C, как нетрудно видеть, также равна нулю. Отсюда получаем максимальную высоту для неё$$y_{1m}=s(t_1)-\frac{u_m^2}{2g}$$ Теперь - 2-я ракета.
В качестве независимого параметра удобнее принять не высоту обрыва $H$, а $t_0$ - то время, которое ракета летит вниз.
Нетрудно видеть, что в момент удара внизу она успевает набрать скорость $$v_0=u(t_0)+gt_0$$ При этом глубина равна $$H=s(t_0)+g\frac{t_0^2}2$$
Для $t\ge t_0$ интеграл для скорости имеет вид $$v-u+gt=2gt_0$$ Отсюда, полагая $v=0, u=u_m$, получим, что наивысшая точка достигается второй ракетой в момент $$t_2=2t_0+\frac{u_m}{g}$$
То есть $$t_2=t_1+2t_0$$ Интеграл движения (для $t>t_0$) имеет вид $$\frac{(v-u)^2}2+g(y-s)=-2gs(t_0)$$Это нетрудно проверить, положив $v=v_0, y=-H$. Снова полагая $v=0, u=u_m$, получим, что наибольшая высота полёта второй ракеты равна$$y_{2m}=s(t_2)-2s(t_0)-\frac{u_m^2}{2g}$$ Разность наибольших высот 2й и 1й ракет равна $$\Delta y=y_{2m}-y_{1m}=s(t_1+2t_0)-2s(t_0)-s(t_1)$$ Проанализируем. Легко видеть, что при $t_0=0$ будем иметь  $\Delta y=0$, как и должно быть (учитываем, что $s(0)=0$). Возьмём производную от этой разности по $t_0$:$$\frac{d\Delta y}{dt}=2[u(t_1+2t_0)-u(t_0)]=2[u_m-u(t_0)]$$ Она, очевидно, неотрицательна; она строго положительна, если $u(t_0)<u_m$. $$\Delta y=2\int_0^{t_0}[u_m-u(t)]dt>0$$
Таким образом, $\Delta y(t_0)$ есть строго возрастающая функция при достаточно малых $t_0$, а далее она выходит на константу (естественно, положительную).
Подозреваю, что тот же результат ( т.е. $y_{2m}>y_{1m}$) будет верен вообще при всех физически осуществимых режимах полёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 22:41 


26/05/14
379
dovlato в сообщении #1075538 писал(а):
Мне захотелось понять, что приходит на смену интегралу энергии, когда и масса ракеты меняется, и её двигатель работает.

Согласен с вашим решением. Но одно замечание: вы избегаете энергии так как боитесь криков беотийцев? Если это единственная причина, тогда вы не обязаны рассматривать энергию всей ракеты. Рассмотрите как меняется энергия заклёпки в корпусе ракеты (полезного груза, всего корпуса ракеты и т.п.) под воздействием внешних сил. Для неё/него действует закон сохранения энергии, можно вычислить работу внешних сил и показать что к заклёпке второй ракеты всегда подводится большая мощность, а значит и взлетит эта заклёпка выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 22:50 


05/02/11
971
Москва
slavav в сообщении #1075546 писал(а):
dovlato в сообщении #1075538 писал(а):
Мне захотелось понять, что приходит на смену интегралу энергии, когда и масса ракеты меняется, и её двигатель работает.

Согласен с вашим решением. Но одно замечание: вы избегаете энергии так как боитесь криков беотийцев? Если это единственная причина, тогда вы не обязаны рассматривать энергию всей ракеты. Рассмотрите как меняется энергия заклёпки в корпусе ракеты (полезного груза, всего корпуса ракеты и т.п.) под воздействием внешних сил. Для неё/него действует закон сохранения энергии, можно вычислить работу внешних сил и показать что к заклёпке второй ракеты всегда подводится большая мощность, а значит и взлетит эта заклёпка выше.

Нет, здесь нет беотийцев)). Любопытства ради, можете заглянуть на форум "Вашего репетитора", с которым я длительное время плодотворно сотрудничаю.
Но зато если заглянете в тамошний политический раздел - получите такую "освежающую" струю..
А здесь я сам для себя захотел исследовать, насколько далеко удастся продвинуться, оставаясь в строгих формальных рамках.
С заклёпкой - думаю так же, как Вы говорите. А что, ведь хорошая задача!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 22:59 


26/05/14
379
dovlato в сообщении #1075547 писал(а):
А что, ведь хорошая задача!
+1

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение21.11.2015, 23:15 
Заслуженный участник


07/07/09
4855
Чтобы развеять таинственность, надо бы упомянуть , что энергия топлива переходит в энергию корпуса ракеты и в энергию газов. Рассматриваемый маневр меняет соотношение этих энергий.
Туман наводит U образный отражатель, с космическим маневром заморочек было бы меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение22.11.2015, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Xey в сообщении #1075554 писал(а):
Туман наводит U образный отражатель, с космическим маневром заморочек было бы меньше.

По сути это и есть гравитационный манёвр. Туман наводит неумение мыслить космически. Не научились ещё (с)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение22.11.2015, 02:09 
Аватара пользователя


07/02/12
1029
Питер
slavav в сообщении #1075546 писал(а):
заклёпки в корпусе ракеты (полезного груза, всего корпуса ракеты и т.п.)

(Оффтоп)

я обозвал это болванкой. но если заклепкой вам нравится больше, не возражаю =)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ракеты
Сообщение25.02.2016, 23:45 
Аватара пользователя


12/08/15
64
Стокгольм
Вторая ракета, которая делает U-образный маневр, взлетит выше, ответ очевидный и без массы формул.
Утундрий в сообщении #1075563 писал(а):
По сути это и есть гравитационный манёвр.

Читал тему и думал, кто вспомнит про гравитационный маневр? Тратить рабочее тело для ракеты выгоднее в потенциальной яме, чем глубже, тем выгоднее - у отработанного рабочего тела останеться меньше энергии, зато больше достанется ракете. Наибольшую выгоду вторая ракета получит, если истратить все рабочее тело коротким импульсом в нижней части U-образной связки (замаскированный перицентр орбиты в задаче).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 125 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group