2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Циклоида.
Сообщение23.10.2015, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки $A $ плоскости производящего круга радиуса $R$ , катящегося без скольжения по прямой. . Если эта точка $A$ вне круга, то эта циклоида удлиненная; если точка $A $ внутри круга, то укороченная; если точка $A$ на границе круга, то обыкновенная.
Уравнения параметрические :
$x=at - R \sin (t) $
$y=a-R \cos(t)  $

при $ a< R $ эта циклоида удлиненная.
при $ a> R $ эта циклоида укороченная.
при $ a= R $ эта циклоида обыкновенная.
Вопрос следующий.
Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?
Может ли она быть инвариантна относительно дробно-линейных преобразований (преобразований Мебиуса ) ?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.10.2015, 22:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

PSP
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.03.2016, 22:03 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вернул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 08:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PSP в сообщении #1065847 писал(а):
Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?

В каком смысле инвариантна?

Если как кривая, то, очевидно, относительно сдвигов на период.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
ewert в сообщении #1109472 писал(а):
PSP в сообщении #1065847 писал(а):
Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?

В каком смысле инвариантна?

Если как кривая, то, очевидно, относительно сдвигов на период.

Вы правы.Похоже,других преобразований нет.Разве что преобразования подобия,в результате коих появляется циклоида других размеров.Но это скорее не инвариантность,а оставление в классе..

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 17:59 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
А отражение (симметрия относительно вертикальной оси) не считается отдельным преобразованием? К сдвигу оно не сводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 18:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Таких преобразований пруд пруди, потому что нет никаких ограничений.
Например: возьмём полосу $y_1<y<y_2$, содержащую циклоиду. Пусть преобразование переводит точки полосы в себя, а точки вне полосы — в точки вне полосы. Циклоида переходит в циклоиду.
Или: преобразование, которое сдвигает точки на циклоиде вдоль циклоиды. Пусть координата $x$ точки на циклоиде увеличивается на единицу, а $y$ меняется так, чтобы точка оставалась на циклоиде. Такое преобразование легко расширить на всю плоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
svv в сообщении #1109604 писал(а):
Таких преобразований пруд пруди, потому что нет никаких ограничений.
Например: возьмём полосу $y_1<y<y_2$, содержащую циклоиду. Пусть преобразование переводит точки полосы в себя, а точки вне полосы — в точки вне полосы. Циклоида переходит в циклоиду.
Или: преобразование, которое сдвигает точки на циклоиде вдоль циклоиды. Пусть координата $x$ точки на циклоиде увеличивается на единицу, а $y$ меняется так, чтобы точка оставалась на циклоиде. Такое преобразование легко расширить на всю плоскость.

Интересно.Сия задача возникла вот из чего.Интересуюсь преобразованиями,относительно коих обыкновенная винтовая линия (ОВЛ) остаётся обыкновенной винтовой линией (ОВЛ). А любая проекция ОВЛ на плоскость - это и есть циклоида.Хотелось бы выяснить, есть ли среди искомых преобразований дробно-линейные.Вот поэтому и заинтересовался циклоидой.Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 23:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
PSP в сообщении #1109691 писал(а):
А любая проекция ОВЛ на плоскость - это и есть циклоида.
Я думал, когда солнце в зените, тень от пружинки, лежащей на бумаге — синусоида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение27.03.2016, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
PSP в сообщении #1109691 писал(а):
Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?
Дробно-линейные преобразования переводят окружность в окружность. Для того, что бы циклоида осталась циклоидой надо, что бы определяющая прямая осталась прямой. Для этого надо, что бы бесконечно удаленная точка осталась на месте. Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

-- 28.03.2016, 00:03 --

Не, соврал. Надо, что бы полюс знаменателя лежал на определяющей прямой, тогда, вроде, циклоида останется циклоидой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение28.03.2016, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
amon в сообщении #1109698 писал(а):
PSP в сообщении #1109691 писал(а):
Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?
Дробно-линейные преобразования переводят окружность в окружность. Для того, что бы циклоида осталась циклоидой надо, что бы определяющая прямая осталась прямой. Для этого надо, что бы бесконечно удаленная точка осталась на месте. Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

-- 28.03.2016, 00:03 --

Не, соврал. Надо, что бы полюс знаменателя лежал на определяющей прямой, тогда, вроде, циклоида останется циклоидой.

Будьте любезны, можете эти требования выразить в формульном виде ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение28.03.2016, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Я поторопился. Пока, беру свои слова про существование такого преобразования назад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение28.03.2016, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
amon в сообщении #1109711 писал(а):
Я поторопился. Пока, беру свои слова про существование такого преобразования назад.

Хорошо.Надеюсь,вы обдумаете эту задачу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение28.03.2016, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
amon в сообщении #1109698 писал(а):
Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

Нет: дело в том что у катящейся окружности будет меняться радиус в процессе качения http://dxdy.ru/post1106530.html#p1106530

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклоида.
Сообщение28.03.2016, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Да, я это потом сообразил, и сдал назад.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group