Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Наименьший ассоциативный квадрат 12-го порядка из различных простых чисел:

241 1061 11 307 523 317 1429 809 719 1021 1291 1091
1277 1237 487 1039 37 1427 659 181 1049 503 277 647
541 587 727 907 1187 163 499 1013 1399 643 1051 103
31 877 1297 1069 797 1451 761 461 829 211 683 353
439 191 1231 701 149 1303 1097 1123 857 853 607 269
1381 17 839 1087 1373 151 367 479 257 1361 61 1447
23 1409 109 1213 991 1103 1319 97 383 631 1453 89
1201 863 617 613 347 373 167 1321 769 239 1279 1031
1117 787 1259 641 1009 709 19 673 401 173 593 1439
1367 419 827 71 457 971 1307 283 563 743 883 929
823 1193 967 421 1289 811 43 1433 431 983 233 193
379 179 449 751 661 41 1153 947 1163 1459 409 1229

$K=1470, S=8820$

Построен тем же самым методом точных ортогональных покрытий массива.
Решение находится примерно за 5 секунд.

-- Ср мар 11, 2015 14:27:00 --

Кстати, покажу на примере этого ассоциативного квадрата работу преобразования 3-х квадрантов, о котором рассказано чуть выше. Элементарно превращаем с помощью этого преобразования полученный ассоциативный квадрат 12-го порядка в пандиагональный квадрат:

241 1061 11 307 523 317 1091 1291 1021 719 809 1429
1277 1237 487 1039 37 1427 647 277 503 1049 181 659
541 587 727 907 1187 163 103 1051 643 1399 1013 499
31 877 1297 1069 797 1451 353 683 211 829 461 761
439 191 1231 701 149 1303 269 607 853 857 1123 1097
1381 17 839 1087 1373 151 1447 61 1361 257 479 367
379 179 449 751 661 41 1229 409 1459 1163 947 1153
823 1193 967 421 1289 811 193 233 983 431 1433 43
1367 419 827 71 457 971 929 883 743 563 283 1307
1117 787 1259 641 1009 709 1439 593 173 401 673 19
1201 863 617 613 347 373 1031 1279 239 769 1321 167
23 1409 109 1213 991 1103 89 1453 631 383 97 1319

$S=8820$
Но в классе пандиагональных квадратов 12-го порядка из различных простых чисел этот квадрат не минимальный.

И дальше в перспективе - квадрат 14-го порядка. Построение пандиагонального квадрата данного порядка из различных простых чисел для меня оказалось очень трудной задачей. Только уже в ходе конкурса по пандиагональным квадратам из простых чисел мне удалось построить такой квадрат, но с очень большой магической константой. Построила я его методом решёток Россера.
У Jarek свои алгоритмы построения пандиагональных квадратов. Он нашёл и решение для порядка 14 без проблем.
Если удастся так же легко построить ассоциативный квадрат 14-го порядка из простых чисел, из него элементарно получим пандиагональный квадрат.

[Nataly-Mak]

Покажу эти результаты, сравнить интересно.

Это мой пандиагональный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел, построенный по решёткам Россера:

6247 6091 14621 359 29669 59399 72623 61001 5101 269 18427 967 34667 53269
6857 18461 503 659 44257 50387 69431 56671 307 397 887 2927 59113 51853
68443 60887 9901 409 13913 829 40351 59119 2657 251 20627 14627 25463 45233
69197 56437 607 1697 593 1663 65707 69941 317 419 12347 24317 32587 26881
36761 53279 8663 14519 16421 461 21283 45119 73243 61027 5387 271 19597 6679
59167 51899 12161 24077 677 811 32353 26647 69497 57737 313 433 7187 19751
26083 45259 68729 60889 11071 6121 16007 839 42767 67547 4457 353 12241 347
32653 27947 69203 56473 6907 18521 647 1709 71011 75557 491 571 443 577
22013 15107 38561 53381 277 239 17041 487 21569 45121 74413 66739 7481 281
12491 25367 59341 52051 257 337 743 1877 32359 26683 75797 74561 367 479
12527 349 27253 50971 70823 60899 13487 14549 17807 941 34381 53267 5077 379
449 613 38953 44771 69257 56519 12211 24137 821 1861 59107 51817 557 1637
9281 383 13627 827 39181 53407 563 241 18211 6199 23663 45131 76829 75167
541 631 587 1627 59407 53117 263 373 7043 18701 32413 26729 81101 80177

$S=362710$

А это лучшее, известное на сегодня, решение для данного порядка, его нашёл в конкурсе Jarek:

(7,503,719,229,127,199,1567,353,29,593,809,1039,1327,1669), (647,521,31,251,571,761,811,373,1381,283,197,673,947,1723), (877,1163,1499,659,179,709,457,1129,367,653,293,19,547,619), (1291,103,1367,13,17,1093,467,641,1051,941,181,1151,211,643), (67,859,577,443,1259,1429,37,409,757,383,1289,233,599,829), (151,1811,1321,1031,601,823,1021,523,317,163,827,43,347,191), (727,109,967,587,929,53,149,769,1087,1459,853,743,239,499), (167,463,857,613,47,101,661,461,331,1571,1531,1153,991,223), (449,379,157,1249,907,113,479,739,1237,139,937,1193,419,773), (241,881,631,1489,1171,313,677,883,137,1063,821,41,541,281), (1949,1009,277,1069,787,683,269,83,89,439,97,1279,1117,23), (887,733,107,701,1621,71,691,401,61,433,421,1213,797,1033), (509,563,389,349,397,1399,1627,1103,1019,919,307,79,337,173), (1201,73,271,487,557,1423,257,1303,1307,131,607,311,751,491)

$S=9170$

См. http://trdb.org/Contest/PandiagonalMagi ... inalReport

Разница магических констант огромная.
Если удастся построить наименьший ассоциативный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел с магической константой 16170, мы получим пандиагональный квадрат с такой же магической константой с помощью преобразования 3-х квадрантов.
Вот так просто, оказывается, можно строить пандиагональные квадраты (из простых чисел) чётных порядков, хотя и не минимальные.

[Nataly-Mak]

Всё получилось!
Наименьший ассоциативный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел:

43 173 1481 1423 827 1801 787 1193 911 1861 859 2273 359 2179
641 2027 167 179 439 1381 2203 1249 1637 1741 1499 1931 199 877
2003 229 563 1277 397 271 1877 2113 2083 857 1993 41 2129 337
1619 991 1217 823 617 2239 97 1129 1109 761 1571 499 1889 1609
211 601 1021 1373 2287 1823 1901 1627 1097 157 331 881 653 2207
751 1187 1327 821 2243 1733 1051 1009 1867 1879 1567 89 587 59
2017 1471 647 1997 757 1753 1831 1427 2297 311 73 709 863 17
2293 1447 1601 2237 1999 13 883 479 557 1553 313 1663 839 293
2251 1723 2221 743 431 443 1301 1259 577 67 1489 983 1123 1559
103 1657 1429 1979 2153 1213 683 409 487 23 937 1289 1709 2099
701 421 1811 739 1549 1201 1181 2213 71 1693 1487 1093 1319 691
1973 181 2269 317 1453 227 197 433 2039 1913 1033 1747 2081 307
1433 2111 379 811 569 673 1061 107 929 1871 2131 2143 283 1669
131 1951 37 1451 449 1399 1117 1523 509 1483 887 829 2137 2267

$K=2310, S=16170$

И полученный из него преобразованием 3-х квадрантов пандиагональный квадрат 14-го порядка из различных простых чисел:

43 173 1481 1423 827 1801 787 2179 359 2273 859 1861 911 1193
641 2027 167 179 439 1381 2203 877 199 1931 1499 1741 1637 1249
2003 229 563 1277 397 271 1877 337 2129 41 1993 857 2083 2113
1619 991 1217 823 617 2239 97 1609 1889 499 1571 761 1109 1129
211 601 1021 1373 2287 1823 1901 2207 653 881 331 157 1097 1627
751 1187 1327 821 2243 1733 1051 59 587 89 1567 1879 1867 1009
2017 1471 647 1997 757 1753 1831 17 863 709 73 311 2297 1427
131 1951 37 1451 449 1399 1117 2267 2137 829 887 1483 509 1523
1433 2111 379 811 569 673 1061 1669 283 2143 2131 1871 929 107
1973 181 2269 317 1453 227 197 307 2081 1747 1033 1913 2039 433
701 421 1811 739 1549 1201 1181 691 1319 1093 1487 1693 71 2213
103 1657 1429 1979 2153 1213 683 2099 1709 1289 937 23 487 409
2251 1723 2221 743 431 443 1301 1559 1123 983 1489 67 577 1259
2293 1447 1601 2237 1999 13 883 293 839 1663 313 1553 557 479

$S=16170$

Пропустила пока построение наименьшего ассоциативного квадрата 13-го порядка: программа настроена на чётные порядки. Ещё попробую построить наименьший ассоциативный квадрат 16-го порядка, на этом остановлюсь (в конкурсе по идеальным квадратам требуется строить квадраты до порядка 16 включительно). Потом вернусь к ассоциативным квадратам 13-го и 15-го порядков.

[Nataly-Mak]

С первым потенциальным массивом для ассоциативного квадрата 16-го порядка из простых чисел постигла неудача. Массив состоит точно из 128 комплементарных пар, константа комплементаности 2730:

(Оффтоп)

11  17  19  23  31  37  41  43  47  53  59  67  71  73  83  97  109  113  137  139  151  173  179  181  191  
199  227  257  263  271  283  293  307  313  331  337  347  349  353  359  373  379  383  389  397  419  421  
433  443  449  457  461  463  479  487  491  509  523  569  577  587  593  599  601  617  619  631  641  643  
647  661  677  691  701  719  727  733  743  751  757  797  823  829  853  857  859  863  883  907  919  929  
941  947  953  971  977  983  997  1009  1021  1031  1033  1061  1063  1093  1103  1109  1117  1123  1129  
1151  1163  1171  1181  1187  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1291  1297  1301  1303  1307  1321  
1409  1423  1427  1429  1433  1439  1447  1451  1453  1471  1481  1493  1499  1543  1549  1559  1567  1579  
1601  1607  1613  1621  1627  1637  1667  1669  1697  1699  1709  1721  1733  1747  1753  1759  1777  1783  
1789  1801  1811  1823  1847  1867  1871  1873  1877  1901  1907  1933  1973  1979  1987  1997  2003  2011  
2029  2039  2053  2069  2083  2087  2089  2099  2111  2113  2129  2131  2137  2143  2153  2161  2207  2221  
2239  2243  2251  2267  2269  2273  2281  2287  2297  2309  2311  2333  2341  2347  2351  2357  2371  2377  
2381  2383  2393  2399  2417  2423  2437  2447  2459  2467  2473  2503  2531  2539  2549  2551  2557  2579  
2591  2593  2617  2621  2633  2647  2657  2659  2663  2671  2677  2683  2687  2689  2693  2699  2707  2711  
2713  2719 

Удивительно: не удалось сгенерировать первое точное покрытие массива! Билась очень долго. 14 строк генерируются легко, а две последние никак не хотят. Так и бросила. Ничего не могу сказать: невозможно сгенерировать или я просто не смогла.

Тогда взяла следующий потенциальный массив с константой комплементарности 3150. Этот массив состоит из 138 комплементарных пар. Тут всё получилось легко.

Ассоциативный квадрат:

1087 619 2089 607 1249 677 397 2659 2857 2213 1543 151 2053 3001 2797 1201
1481 1063 421 2801 271 2843 773 1549 2027 313 1013 2593 2731 2767 1697 857
179 1997 3121 2099 683 3019 1483 2221 907 601 223 2741 1571 2749 1163 443
2953 3089 2551 863 2557 1597 181 1367 1627 1409 109 1823 1723 113 461 2777
2267 1777 1933 1493 1721 101 2477 479 769 2719 2081 233 1019 839 2609 2683
193 3119 127 1913 2297 1873 751 139 709 971 881 3083 1831 1871 2503 2939
2711 1283 1289 1583 2803 947 997 1151 1789 241 3137 2887 811 89 2791 691
761 2693 2239 463 2663 1009 2579 2423 1303 1171 3079 733 83 2341 1619 41
3109 1531 809 3067 2417 71 1979 1847 727 571 2141 487 2687 911 457 2389
2459 359 3061 2339 263 13 2909 1361 1999 2153 2203 347 1567 1861 1867 439
211 647 1279 1319 67 2269 2179 2441 3011 2399 1277 853 1237 3023 31 2957
467 541 2311 2131 2917 1069 431 2381 2671 673 3049 1429 1657 1217 1373 883
373 2689 3037 1427 1327 3041 1741 1523 1783 2969 1553 593 2287 599 61 197
2707 1987 401 1579 409 2927 2549 2243 929 1667 131 2467 1051 29 1153 2971
2293 1453 383 419 557 2137 2837 1123 1601 2377 307 2879 349 2729 2087 1669
1949 353 149 1097 2999 1607 937 293 491 2753 2473 1901 2543 1061 2531 2063

$K=3150, S=25200$

Полученный из этого квадрата с помощью преобразования 3-х квадрантов пандиагональный квадрат:

1087 619 2089 607 1249 677 397 2659 1201 2797 3001 2053 151 1543 2213 2857
1481 1063 421 2801 271 2843 773 1549 857 1697 2767 2731 2593 1013 313 2027
179 1997 3121 2099 683 3019 1483 2221 443 1163 2749 1571 2741 223 601 907
2953 3089 2551 863 2557 1597 181 1367 2777 461 113 1723 1823 109 1409 1627
2267 1777 1933 1493 1721 101 2477 479 2683 2609 839 1019 233 2081 2719 769
193 3119 127 1913 2297 1873 751 139 2939 2503 1871 1831 3083 881 971 709
2711 1283 1289 1583 2803 947 997 1151 691 2791 89 811 2887 3137 241 1789
761 2693 2239 463 2663 1009 2579 2423 41 1619 2341 83 733 3079 1171 1303
1949 353 149 1097 2999 1607 937 293 2063 2531 1061 2543 1901 2473 2753 491
2293 1453 383 419 557 2137 2837 1123 1669 2087 2729 349 2879 307 2377 1601
2707 1987 401 1579 409 2927 2549 2243 2971 1153 29 1051 2467 131 1667 929
373 2689 3037 1427 1327 3041 1741 1523 197 61 599 2287 593 1553 2969 1783
467 541 2311 2131 2917 1069 431 2381 883 1373 1217 1657 1429 3049 673 2671
211 647 1279 1319 67 2269 2179 2441 2957 31 3023 1237 853 1277 2399 3011
2459 359 3061 2339 263 13 2909 1361 439 1867 1861 1567 347 2203 2153 1999
3109 1531 809 3067 2417 71 1979 1847 2389 457 911 2687 487 2141 571 727

$S=25200$

Всё, с чётными порядками закончила. Теперь ещё построю пропущенные ассоциативные квадраты порядков 13 и 15.
А потом надо подумать, как из ассоциативных квадратов получить идеальные. Нельзя ли продолжить метод точных ортогональных покрытий массива дальше
Интересно: вы видите здесь ассоциативный и пандиагональный квадраты 16-го порядка из различных простых чисел с магической константой 25200. Теперь надо получить ассоциативность и пандиагональность в одном квадрате (тогда будет идеальный квадрат). Как объединить эти свойства в одном квадрате
Красивая задача! Ещё более красивой она будет после того, как найдётся её решение.

[Nataly-Mak]

Уф! 13 это и есть 13 Замучилась с этим порядком.
Пришлось пропустить две потенциальные магические константы (49439 и 49829): не генерируется второе точное покрытие массива ортогональное первому, хоть застрелись.
Поскольку у меня случайная генерация, ничего не могу сказать о существовании/несуществовании решения в этих случаях.
Для следующей потенциальной магической константы 50453 всё получилось с ходу.

Ассоциативный квадрат 13-го порядка из различных простых чисел:

5 7673 1409 5939 659 7193 5861 2789 7589 1061 5153 179 4943
5099 59 7283 5021 3533 3083 683 6263 5519 4391 1979 431 7109
3911 71 6581 5231 113 6899 5009 6599 743 2969 5693 3011 3623
3089 2411 6269 1559 1913 4919 2381 7499 641 4001 5813 6659 3299
7001 3389 5651 2459 6389 1193 3833 6311 929 3413 4271 4643 971
5051 281 719 6053 5171 7253 4091 4721 4799 7529 1433 1733 1619
1289 6653 311 983 6323 7523 3881 239 1439 6779 7451 1109 6473
6143 6029 6329 233 2963 3041 3671 509 2591 1709 7043 7481 2711
6791 3119 3491 4349 6833 1451 3929 6569 1373 5303 2111 4373 761
4463 1103 1949 3761 7121 263 5381 2843 5849 6203 1493 5351 4673
4139 4751 2069 4793 7019 1163 2753 863 7649 2531 1181 7691 3851
653 7331 5783 3371 2243 1499 7079 4679 4229 2741 479 7703 2663
2819 7583 2609 6701 173 4973 1901 569 7103 1823 6353 89 7757

$K=7762, S=50453$

Минимальный ли этот квадрат

[Nataly-Mak]

Для порядка 15 всё получилось сразу для первого потенциального массива, состоящего точно из 112 комплементарных пар с константой комплементарности 9946.

Наименьший ассоциативный квадрат 15-го порядка из различных простых чисел:

6983 9137 1277 5807 5273 2357 7109 2153 8573 9437 5309 107 1559 7487 2027
8963 773 359 6779 4133 9497 3557 947 7523 4289 4049 5939 4253 3593 9941
3083 5573 653 5399 8753 5717 2039 7529 1997 2069 9923 9629 5867 2447 3917
9203 8837 2063 2693 1163 977 8423 6857 6977 3833 7193 719 3617 4937 7103
3623 3119 8849 5297 9059 2243 2399 2339 479 8363 9857 4943 3659 3677 6689
1709 569 9719 2903 9929 7247 3209 1877 3347 1283 8933 5147 4793 8447 5483
9677 467 8537 2129 9689 179 8627 2999 2927 3803 59 7673 8039 2663 7127
4019 9749 5303 8123 2297 9833 1433 4973 8513 113 7649 1823 4643 197 5927
2819 7283 1907 2273 9887 6143 7019 6947 1319 9767 257 7817 1409 9479 269
4463 1499 5153 4799 1013 8663 6599 8069 6737 2699 17 7043 227 9377 8237
3257 6269 6287 5003 89 1583 9467 7607 7547 7703 887 4649 1097 6827 6323
2843 5009 6329 9227 2753 6113 2969 3089 1523 8969 8783 7253 7883 1109 743
6029 7499 4079 317 23 7877 7949 2417 7907 4229 1193 4547 9293 4373 6863
5 6353 5693 4007 5897 5657 2423 8999 6389 449 5813 3167 9587 9173 983
7919 2459 8387 9839 4637 509 1373 7793 2837 7589 4673 4139 8669 809 2963

$K=9946, S=74595$

[Nataly-Mak]

Подведу итоги.
Я нашла несколько следующих членов для последовательности наименьших магических констант ассоциативных квадратов из простых чисел в OEIS - A188537.
К сожалению, для порядков 10, 13 и 16 мне не удалось доказать минимальность найденных мной решений.
Вот что у меня получилось:

n=9, S=12249 (min)
n=10, S=4950 (?)
n=11, S=26521 (min)
n=12, S=8820 (min)
n=13, S=50453 (?)
n=14, S=16170 (min)
n=15, S=74595 (min)
n=16, S=25200 (?)

Собираюсь добавить решения в последовательность.
Вопрос к maxal (паче чаяния он тему читает):
можно ли ввести найденные члены последовательности так:

12249, 4950 (?), 26521, 8820, 50453 (?), 16170, 74595, 25200 (?)

Хм... сейчас заглянула в последовательность, а там уже решение для $n=9$ добавлено.
Кому сказать спасибо?

maxal
Наверное, вам

Так что делать с остальными решениями? Может быть, дать оценку для всех решений $n>9$? (если нельзя ввести решения с вопросом).

[Nataly-Mak]

Чтобы подумать вместе с коллегами о продолжении метода точных ортогональных покрытий для поиска идеального квадрата, расскажу подробнее, как я строила первые два точных ортогональных покрытия массива для ассоциативного квадрата 9-го порядка.

Задан массив, состоящий точно из 40 комплементарных пар с константой комплементарности 2722:

11  23  29  59  89  101  113  131  173  179  191  263  281  311  383  389  449  479  509  569  593  641  653  659  683  719  743  773  809  821  911  1013  1103  1109  1151  1163  1223  1229  1283  1289  1433  1439  1493  1499  1559  1571  1613  1619  1709  1811  1901  1913  1949  1979  2003  2039  2063  2069  2081  2129  2153  2213  2243  2273  2333  2339  2411  2441  2459  2531  2543  2549  2591  2609  2621  2633  2663  2693  2699  2711

С помощью случайной генерации составляем первое точное покрытие заданного массива; это будут цепочки-строки. При этом составляем симметричные строки, как требуется в ассоциативном квадрате.
Такое у меня сгенерировалось первое точное покрытие массива:

1289 2213 2039 1163 1571 311 1283 1811 569
383 2243 1619 2693 2063 593 773 653 1229
2003 1499 641 1979 821 809 89 1709 2699
131 263 1613 173 2333 2531 2441 2663 101
11 113 179 449 1361 2273 2543 2609 2711
2621 59 281 191 389 2549 1109 2459 2591
23 1013 2633 1913 1901 743 2081 1223 719
1493 2069 1949 2129 659 29 1103 479 2339
2153 911 1439 2411 1151 1559 683 509 1433

Теперь надо составить второе точное покрытие массива ортогональное первому; это будут цепочки-столбцы.
Первая цепочка-столбец уже готова, это центральный столбец, он получается автоматически при генерации симметричных цепочек-строк.
Выбрасываю этот столбец и составляю цепочки-столбцы из 9 цепочек-строк, в каждой из которых имеется 8 элементов.
Ну, как сделать, чтобы покрытие было ортогонально первому точному покрытию, понятно из определения ортогональных покрытий.
Напомню определение:

два точных покрытия массива называются ортогональными, если каждая цепочка одного покрытия имеет точно один общий элемент с каждой цепочкой второго покрытия.

Это второе точное покрытие массива ортогональное приведённому выше первому:

1283 311 1811 2213 1571 569 2039 1163 1289
773 653 2243 1619 2063 593 2693 383 1229
1979 1499 2699 641 821 89 809 2003 1709
1613 2531 101 131 2333 2441 2663 263 173
113 179 2711 449 1361 2273 11 2543 2609
2549 2459 59 281 389 2591 2621 191 1109
1013 719 1913 2633 1901 2081 23 1223 743
1493 2339 29 2129 659 1103 479 2069 1949
1433 1559 683 2153 1151 509 911 2411 1439

И это уже готовое решение – ассоциативный квадрат! Главные диагонали в ассоциативном квадрате получаются автоматически именно из-за свойства ассоциативности.

Теперь надо составить ещё два точных покрытия массива ортогональные друг другу и первым двум точным покрытиям. Одно покрытие будет цепочки-диагонали прямые, а другое – цепочки-диагонали обратные.
Как это будет выглядеть для идеального квадрата? Интересная задача!
Для пандиагональных квадратов 7-го порядка удалось установить (с помощью whitefox), что не любые 4 точных попарно ортогональных покрытия массива дают пандиагональный квадрат.
Будет ли это верно для идеальных квадратов
Насколько сложно найти 4 точных попарно ортогональных покрытия, например, для идеального квадрата 9-го порядка с показанным потенциальным массивом или с другими потенциальными массивами?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #990075 писал(а):

Вопрос к maxal (паче чаяния он тему читает):
можно ли ввести найденные члены последовательности так:

12249, 4950 (?), 26521, 8820, 50453 (?), 16170, 74595, 25200 (?)

Нельзя. Можно добавить комментарий типа:
a(10) <= 4950, a(11) = 26521 и т.д.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #990324 писал(а):

Нельзя. Можно добавить комментарий типа:
a(10) <= 4950, a(11) = 26521 и т.д.

Добавила (в раздел "Комментарии"). Посмотрите, пожалуйста, так годится?
Спасибо.

Приглашаю вас к доказательству минимальности решений для порядков 10, 13, 16.
А также и всех других коллег.

Интересна, на мой взгляд, и задача об идеальных квадратах. Ассоциативные квадраты из различных простых чисел имеем, пандиагональные - имеем, а вот чтобы оба свойства в одном квадрате - этого мне пока достичь не удаётся для $n>9$.
А ведь должен же быть какой-нибудь эффективный алгоритм!
И конкурс организовала с той же целью: найти решение этой сложной задачи. Однако, похоже, никто задачу не решает

[Nataly-Mak]

Покажу весьма интересный комплект квадратов 8-го порядка из различных простых чисел с одинаковой магической константой 2520.

№ 1
пандиагональный квадрат:

7 5 673 557 661 509 37 71
547 643 79 43 73 97 461 577
47 211 353 367 467 433 269 373
659 419 83 347 59 239 421 293
23 67 653 499 677 571 17 13
503 587 109 113 29 41 491 647
103 257 307 311 523 479 223 317
631 331 263 283 31 151 601 229

$S=2520$

Квадрат построен по алгоритму с применением псевдокомплементарных пар
(см. http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr2.htm рис. 31)

(Обратите внимание: этому пандиагональному квадрату не соответствует ассоциативный квадрат.)

Далее следуют квадраты, составленные из чисел массива, состоящего из 41 комплементарной пары простых чисел с константой комплементарности 630:

11  13  17  23  29  31  37  43  53  59  61  67  73  83  89  107  109  127  131  139  151  163  167  173  181  
191  197  199  211  229  233  241  251  257  263  271  277  281  283  293  313  317  337  347  349  353  359  
367  373  379  389  397  401  419  431  433  439  449  457  463  467  479  491  499  503  521  523  541  547  
557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613  617  619 

№ 2
ассоциативный квадрат:

281 151 107 613 367 131 491 379
463 431 11 89 593 439 211 283
241 293 233 607 373 31 569 173
13 577 359 571 547 109 181 163
467 449 521 83 59 271 53 617
457 61 599 257 23 397 337 389
347 419 191 37 541 619 199 167
251 139 499 263 17 523 479 349

$K=630, S=2520$

Квадрат построен методом точных ортогональных покрытий массива.

№ 3
пандиагональный квадрат, полученный из ассоциативного квадрата (№ 2) преобразованием 3-х квадрантов:

281 151 107 613 379 491 131 367
463 431 11 89 283 211 439 593
241 293 233 607 173 569 31 373
13 577 359 571 163 181 109 547
251 139 499 263 349 479 523 17
347 419 191 37 167 199 619 541
457 61 599 257 389 337 397 23
467 449 521 83 617 53 271 59

$S=2520$

№ 4
идеальный квадрат

Пока не показываю этот квадрат, решение представлено на конкурс.
Это решение найдено по частной формуле идеальных квадратов 8-го порядка (формула даёт группу идеальных квадратов с дополнительными свойствами).

[Deggial]

Сообщение GoldKing отделено в Карантин.

[Lia]

GoldKing
Замечание за дублирование сообщения из Карантина. Дубль удален.

При попытке продублировать еще раз Вы будете заблокированы.

[Nataly-Mak]

У меня есть хорошие новости, спешу поделиться.

1. На новостной странице сайта Christian Boyer (Франция) за март текущего года отмечены результаты maxal и Jarek
(с моей подачи).
Это пандиагональные квадраты 4-го порядка из последовательных простых чисел.
Квадрат maxal минимальный, квадрат Jarek наибольший из известных на сегодня.

2. Я нашла первый идеальный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел
Такой квадрат начала искать в 2008 году, как только alexBlack нашёл первые идеальные квадраты 7-го и 9-го порядков (идеальный квадрат 8-го порядка был найден мной). Но в тот момент найти решение не представлялось возможным. Кроме общей формулы у меня в арсенале не было больше никаких эвристик.
Могу подробно рассказать, каким методом мне удалось сейчас найти решение, но вряд ли это кому-то интересно. Если интересно, скажите, я расскажу.
Сам квадрат пока не показываю, решение представлено на конкурс.
(Кстати, в конкурсе за месяц появилось 0 участников. Сама организовала, сама и участвую Ну, а что же делать остаётся? А не умеет никто, наверное, идеальные квадраты строить из простых чисел А ежели умеют, но не хочется, это печально )

Далее немного о страницах, где представляются результаты по магическим квадратам/кубам, найденные в мировом сообществе.
О сайте Christian Boyer я уже сказала. Хороший сайт. Но... представлять, например, мои результаты по магическим кубам из простых чисел автор на своём сайте не желает.
Я попросила его сделать это, дала ссылки на OEIS, где опубликованы мои результаты по магическим кубам порядков 3 и 4 из простых чисел, а также на сайт S. Tognon (ice00), где опубликованы результаты организованного мной конкурса по магическим кубам из простых чисел. Дала и ссылку на свою статью о магических кубах 4-го порядка.
Зря старалась! В ответ получила:

Цитата:

Thanks Natalia, but sorry, I do not plan in the near future to write a page on magic cubes of primes.
But I am ready to start a page on bimagic cubes of primes!
Or on perfect magic cubes of primes…

Очень интересно! Ещё никто не нашёл ни одного обычного магического куба (simple magic cube) 5-го или 7-го порядка из простых чисел (я такие кубы нашла), а он уже хочет бимагические кубы из простых чисел
Мечтать полезно.
Ответила ему, что ещё рано говорить о бимагических кубах из простых чисел, надо сначала найти обычные магические кубы. Например, не найден ассоциативный куб 7-го порядка из простых чисел.
Ну, да ладно, не хочет так и не надо. Обойдёмся

Второй сайт
The Magic Encyclopedia (Aale de Winkel)
http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia/

То же самое. Писала автору сайта о своих магических кубах из простых чисел, просила внести их в Энциклопедию. Увы!
Не найдёте вы в этой Энциклопедии и результата maxal, о котором сказано выше (я не нашла; может, плохо искала?).
Ну, зато есть сайт с громким названием - Магическая Энциклопедия.

В связи с этим у меня созрел новый проект - создать свою Энциклопедию "Магические квадраты и кубы из простых чисел". Но мне нужен помощник для реализации этого проекта. Кто желает попробовать, пишите в личку.

[Nataly-Mak]

Цитата:

Такой квадрат начала искать в 2008 году...

Извините, ошиблась, правильно:
"Такой квадрат начала искать в 2011 году..."