Путаница в понимании понятия время

[provincialka]

arseniiv в сообщении #937189 писал(а):

Хм, а до так вроде вообще про собственное время не говорят.

То есть собственное время на мировых линиях "индуцируется" по правилам преобразований Лоренца? Есть просто координаты на прямой (мировой линии), а уж время по ним рассчитывается однозначно (ну, с точностью до сдвига начала отсчета). Тогда понятно.

[Munin]

provincialka в сообщении #937226 писал(а):

То есть собственное время на мировых линиях "индуцируется" по правилам преобразований Лоренца?

Нет, по псевдометрике. И преобразования Лоренца "индуцируются" по ней же - это ровно такие, которые её сохраняют.

[provincialka]

Хм. То есть, что ли, в разных координатах (разных СО) интервал между двумя событиями совпадает? Если это так, это было бы для меня самое простое в понимании.
Извините, что вдруг взялась спрашивать, вместо того, чтобы почитать книги.

(Оффтоп)

Сижу, проверяю писания студентов на предмет "Анализа данных"... волосы на голове шевелятся, сердце бьется, и вообще потряхивает слегка. Чувствую, получат они от меня на орехи. Вот, для восстановления душевного спокойствия и унеслась в абстракции.

[warlock66613]

provincialka в сообщении #937236 писал(а):

То есть, что ли, в разных координатах (разных СО) интервал между двумя событиями совпадает?

Это главное свойство интервала.

[provincialka]

А, ну, хорошо. Теперь понятно. Спасибо всем. Может, и нашим "заклятым друзьям" что-то из нашей дискуссии пригодится.

[Cos(x-pi/2)]

provincialka
Хорошо всё понимаете и хорошо всё объясняете.

На мой взгляд, в этой ветке форума, где некоторым участникам абстрагирование даётся с большим скрипом, не стоит сразу переходить к таким обобщениям, как произвольные системы координат в пространстве-времени и общие преобразования между ними. Мне думается, что здесь хорошо было бы объяснить ребятам хотя бы минимум основных понятий из СТО, причём, по возможности, наглядно. (К ним необходимо привыкнуть, тогда и дальнейшие обобщения будут понятнее).

Поэтому я в своих начальных пояснениях здесь стараюсь избегать терминов, смысл которых выходит за рамки обыденного. Позже мы введём в дело, - с необходимыми пояснениями, - и векторную алгебру, и дифференцирование по времени, и поясним термин "метрика", получим и преобразования Лоренца, а в перспективе мне видится даже возможность "почти элементарного" изложения связи между картиной мировых линий пробных тел и свойствами ЭМ-сил на языке 4-векторов и тензора ЭМ-поля. Но это всё потом.

А пока предлагаю осваиваться с самыми простыми примерами. Поэтому пусть у нас "объектами" будут всё-таки не абстрактные точки в абстрактном пространстве-времени, а обычные тела - зайцы, волки, их наручные часы, - их мы будем считать "маленькими" и называть "материальными точками"; когда потребуется, мы вспомним, что у каждого из них есть масса. Течение их собственного времени можно понимать буквально, как старение тела, как совокупность разных необратимых процессов (химических реакций, диффузии, и т.п.), которые так или иначе, бытро или медленно, но всегда идут в любом материальном объекте.

Ход часов, прикреплённых к телу, можно рассматривать просто как один из таких собственных для данного тела процессов, потому что между состоянием процессов в объекте и показанием часов имеется соответствие. Это один из главных экспериментальных фактов физики: мы способны изучить и описать разные процессы (реакции, диффузию и т.п.) в объекте как функции времени, отсчитанного по рядом лежащим эталонным часам. Все учебники физики этому посвящены: в них полно графиков для всяких разных явлений, как функций времени. Вот и всё. В дальнейших рассуждениях нам просто удобнее сразу говорить о таких локальных собственных часах, надетых на тело, чем каждый раз повторять все эти слова про взаимно однозначное соответствие между показанием собственных часов тела и его внутренним состоянием.

Кроме того, в наших рассуждениях будут обычные школьные линейки - у них есть размер, длина, и поэтому их мы не называем "материальными точками"; но любой маленький кусочек линейки (любая "риска") это материальня точка - объект со своим собственным временем. Для простоты рассуждений будем считать линейки достаточно лёгкими, т.е. влиянием их массы на что либо будем пренебрегать. А длина между разными рисками - это важное свойство линейки.

Само существование таких достаточно твёрдых протяжённых тел, как линейка, пригодных для измерения всяких других расстояний, есть ещё один важнейший факт экспериментальной физики. В теории он будет выражен понятием собственная длина линейки (или отрезка линейки между той или иной парой рисок). Собственная длина линейки это её длина "в системе покоя этой линейки", в условиях отсутствия всяких внешних сил и ускорения. Теоретическое понятие "интервал в пространстве-времени", которое мы будем обсуждать потом, охватывает ("улавливает", отражает, включает) оба упомянутых фундаметальных понятия экспериментальной физики - собственное время тел и собственную длину протяжённых объектов вроде линеек, твёрдых стержней и т.п.

Plotnik и Yodine
Мне видится, что ваши вопросы связаны с отсутствием тренировки применять хотя бы простейшие школьные знания к количественному анализу явлений, как того требует наука Физика. Здесь вам уже правильно подсказывали: мировые линии в наших примерах это просто немножко иначе начерченные графики движения. Поэтому, прежде, чем я смогу в ответах вам стронуться с мёртвой точки, сделайте всё-таки сами простейшее домашнее задание: изобразите хоть как нибудь, лишь бы правильно, графики двух движений - равномерного прямолинейного движения материальных точек с двумя разными скоростями, а именно изобразите графики таких двух функций:

$x(t) = 5t$

и

$x(t)=4+t$.

А затем постройте их же на нашем прежнем листке из тетради в клеточку (на "карте событий"). Тем самым это будут два примера мировых линий. Опишите хотя бы словами, что у вас получается.

(P.S. до свидания, до выходных :)

[Munin]

provincialka в сообщении #937236 писал(а):

Извините, что вдруг взялась спрашивать, вместо того, чтобы почитать книги. :oops:

Вам-то можно.

provincialka в сообщении #937236 писал(а):

Вот, для восстановления душевного спокойствия и унеслась в абстракции.

А интереснее всего то, что это никакие не абстракции, а самый что ни на есть грубый зримый мир вокруг нас. Просто в повседневной жизни мы его воспринимаем глубоко в области $v\ll c,$ так что $(v/c)^2<10^{-10},$ и все отклонения от классической физики "проходят ниже радаров". Но на самом деле - они есть. На самом деле, пока вы дышите и думаете, пока бьётся ваше сердце, пока идут химические реакции в клетках, пока шевелятся мысли в голове - все они измеряют тот самый интервал. Больше ничего другого они измерять не могут: других подходящих величин, одинаковых в разных СО, нет.

[epros]

provincialka в сообщении #937236 писал(а):

Хм. То есть, что ли, в разных координатах (разных СО) интервал между двумя событиями совпадает?

Вводя понятие интервала, Вы как раз и вводите понятие псевдометрики. Ибо метрический тензор это что? То, что определяет длины векторов.

provincialka в сообщении #937113 писал(а):

Мне хотелось понять, что можно сказать о преобразовании координат до псевдометрики и до Лоренца. Ведь собственное время одного объекта (мировой линии) не определяется собственным временем другой.

«До» псевдометрики можно говорить об аффинно-связном (но не обязательно метрическом) пространстве-времени. Это такое пространство-время, в котором определено понятие параллельного переноса. Т.е. часы в нём уже можно переносить и смотреть, что получится.

Почему не обязательно метрическое? А представьте себе, что у нас есть двое одинаковых эталонных часов, изначально расположенных рядом. Потом одни из них отправляются путешествовать в одну сторону, а другие — в другую. Потом часы возвращаются и снова встречаются. Вопрос на засыпку таков: Есть ли у нас гарантия, что часы после этого останутся одинаковыми, т.е. отсчёт одной секунды на одних будет в точности равен отсчёту одной секунды на других? Если Вы отвечаете: «Да, у нас есть такая гарантия; ибо путешествие не может изменить природу часов, так что они останутся одинаково эталонными», — то этим Вы и утверждаете, что пространство-время — псевдометрическое.

Математически это утверждение означает, что перенос вектора по замкнутому контуру не меняет его длину. Это позволяет для данного аффинно-связного пространства определить согласованный со связностью метрический тензор. Если же вышеуказанное условие не выполнено, то это невозможно.

[Munin]

Ну это несколько неправда. Перенос часов по замкнутому контуру в пространстве-времени - не то же самое, что их путешествие по замкнутой линии в пространстве. Отличий два: замкнутый контур в пространстве-времени должен вернуться в ту же точку во времени - это можно обойти, если взять пару часов. И второе, более существенное, что движение с ненулевой скоростью "наклоняет" мировую линию часов, и заставляет их отмерять другое время. Часы - это не реперный вектор, а мерная линейка, прикладываемая к времениподобной мировой линии, и наклоняющаяся вместе с ней. Поэтому законам параллельного переноса векторов они не подчиняются.

[epros]

Munin в сообщении #937431 писал(а):

Ну это несколько неправда. Перенос часов по замкнутому контуру в пространстве-времени - не то же самое, что их путешествие по замкнутой линии в пространстве.

Совершенно верно. Речь о пространстве-времени, а не о пространстве без времени.

Munin в сообщении #937431 писал(а):

Отличий два: замкнутый контур в пространстве-времени должен вернуться в ту же точку во времени - это можно обойти, если взять пару часов.

Совершенно верно, именно так и обойдено в примере выше.

Munin в сообщении #937431 писал(а):

И второе, более существенное, что движение с ненулевой скоростью "наклоняет" мировую линию часов, и заставляет их отмерять другое время. Часы - это не реперный вектор, а мерная линейка, прикладываемая к времениподобной мировой линии, и наклоняющаяся вместе с ней

Длина единичного деления «линейки» (секунда) плюс направление вдоль мировой линии — уже вектор.

[provincialka]

Вот с "секундой"-то мне и непонятно. Каким образом я могу откладывать одну и ту же мерку на разных мировых линиях? Точнее, в разных системах отсчета?

Вот есть СО, связанная с мат. точкой $A$. В этой СО ее мировая линия - это ось $Ot$. Для мат. точки $B$ мировая линия - скажем, прямая. Ее время (промежуток времени между двумя событиями, связанными с $B$) можно измерить как разность значений координат $t$ "начала" и "конца" соотв. отрезка мировой линии.

Но если мы перейдем в СО, связанную с $B$, то там будет другая ось времени и, соответственно, другой эталон. Как его связать с предыдущим? Мне кажется, если не ввести ограничение на возможное преобразование координат (а именно, сохранение интервала), то я ничего про эту новую "секунду" сказать и не смогу...

[NT2000]

provincialka в сообщении #937563 писал(а):

Вот с "секундой"-то мне и непонятно. Каким образом я могу откладывать одну и ту же мерку на разных мировых линиях? Точнее, в разных системах отсчета?
...
я ничего про эту новую "секунду" сказать и не смогу...

Я могу сказать, что "новая секунда" привязана к часам движущего обьекта и отчитывается в ИСО связанным с этим обьектом.
Tочно так же как мы в нeподвижной системе отчитываем секунды по "линейкинам" часам.
Вопрос - как они между собой соотносятся? Пока открытый.
Об этом ничего пока сказать не могу.
Подспудно угадывается какая-то связь со скоростью движущего обьекта.
Скажем такая: $ t(x)=k_v\tau(x')$
В каждой системе имеются свои локальные/собственные часы.
Поэтому для ввода "одной и той же мерки на разных мировых линиях" необходимо будет принимать постулат. Нет?
Жду продолжения лекции ...

[Plotnik]

Cos(x-pi/2) в сообщении #937243 писал(а):

Здесь вам уже правильно подсказывали: мировые линии в наших примерах это просто немножко иначе начерченные графики движения.

Да, согласен, мировая линия зайца совпадает с его осью времени при его равномерном движении. Теперь помогите разобраться с уменьшением длины стержня и замедлением времени. http://www.physics.ru/courses/op25part2/content/chapter4/section/paragraph4/theory.html#.VHjCmzGsWjd

Поместим наблюдателя в точку вспышки В. Он будет измерять длину стержня, посылая импульс света к его концам и измеряя время до прихода обратного, отражённого от конца, импульса. Потом делить на два(путь импульса туда и обратно), умножать на "с" и складывать две части стержня. В случае (а) левая и правая половинки одинаковы и из них получается сумма. В случае (b) половинки разные, но сумма их такая же, и поэтому длина стержня в неподвижной СО "К" получается такая же. То есть относительности длины стержня не получается. В чём ошибка?

[rustot]

Plotnik в сообщении #937619 писал(а):

То есть относительности длины стержня не получается. В чём ошибка?

в том что вы пытаетесь обнаружить какой то кажущийся эффект, обман зрения, а он реально короче. вы в "дано" поместили утверждение что он имеет ту же длину, естественно любые корректные измерения эту длину и покажут

[Munin]

epros в сообщении #937468 писал(а):

Длина единичного деления «линейки» (секунда) плюс направление вдоль мировой линии — уже вектор.

Вот только при обходе контура этот вектор не переносится параллельно, а поворачивается вместе с мировой линией. Иногда даже негладко.

Вы бы всё-таки подучили матчасть, а то некрасиво выглядите со столь детскими ошибками и уверенным видом.

provincialka в сообщении #937563 писал(а):

Вот с "секундой"-то мне и непонятно. Каким образом я могу откладывать одну и ту же мерку на разных мировых линиях? Точнее, в разных системах отсчета?

При помощи метрики. Точно так же метрика позволяет откладывать одни и те же сантиметры на разных линиях (в том числе кривых) на обычной евклидовой плоскости или искривлённой поверхности в евклидовом пространстве. Если линия кривая - то вместо линейки берут мерную нить, а аналитически - метрику в дифференциальном виде, $ds=\ldots(dx,dy,...).$

provincialka в сообщении #937563 писал(а):

Но если мы перейдем в СО, связанную с $B$, то там будет другая ось времени и, соответственно, другой эталон. Как его связать с предыдущим?

Эталон там будет тот же - это важно понимать. То есть, часы, построенные по той же конструкции. Эталон тот же, только "повёрнут" в пространстве-времени иначе. Точно так же мы обычную линейку поворачиваем, прикладывая к разным линиям.

provincialka в сообщении #937563 писал(а):

Мне кажется, если не ввести ограничение на возможное преобразование координат (а именно, сохранение интервала), то я ничего про эту новую "секунду" сказать и не смогу...

Да, разумеется, именно это ограничение и вводят. И сразу получается, что все возможные преобразования координат - это ровно преобразования Лоренца (в широком смысле, то есть включая пространственные повороты и всевозможные композиции; даже, ещё точнее, группа Пуанкаре - ещё и со сдвигами).