Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.

[Jiggy]

И снова я со своими вопросами)
Попался мне несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{ \sin(x^3)}{(\ln(x))^p} dx $
Что мне сразу пришло в голову. Здесь, как я понимаю 2 особые точки. 0 и 1. Поэтому интеграл разбивается на 4 интеграла по следующим промежуткам.
$\int\limits_{0}^{1/2}$ $\int\limits_{1/2}^{1}$ $\int\limits_{1}^{2}$ $\int\limits_{2}^{\infty}$
Что ж, а как дальше исследовать не очень понятно. Есть вариант ограничить сверху, но не с логарифмом что делать, не знаю((
Подскажите, народ.

[provincialka]

1. При каких $p$ будет особенность в 0?
2. Зачем разбивать область точкой 1? Логарифм слева и справа от нее ведет себя одинаково (а как?)
3. В бесконечности наверное, лучше сделать замену $x^3=t$

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932055 писал(а):

1. При каких $p$ будет особенность в 0?
2. Зачем разбивать область точкой 1? Логарифм слева и справа от нее ведет себя одинаково (а как?)
3. В бесконечности наверное, лучше сделать замену $x^3=t$

1. Так ноль в любом случае особая точка вроде, т.к. x>0 под логарифмом.
2. Справа и слева от 1 логарифм возрастает. Я просто думал, что точка особая, т.к. деление на 0 получается.
3. Получается на какие интегралы надо разбить?
$\int\limits_{0}^{1/2}$
$\int\limits_{1/2}^{\inf}$
Или как-то по-другому?

[provincialka]

1. Особая точка интеграла не то же самое, что особая точка функции.
2. Возрастает - это мало. Эквивалентен чему?
3. У интеграла от 2 до 3 особенностей (в зависимости от $p$). Значит, надо разбить на 3-4 интеграла. Просто в единице интегралы слева и справа исследуются одинаково.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932349 писал(а):

1. Особая точка интеграла не то же самое, что особая точка функции.
2. Возрастает - это мало. Эквивалентен чему?
3. У интеграла от 2 до 3 особенностей (в зависимости от $p$). Значит, надо разбить на 3-4 интеграла. Просто в единице интегралы слева и справа исследуются одинаково.

Особые точки - это вроде точки, в которых функция не ограничена. Здесь функция не ограничена в $x=0$ при $p<0$ и в $x=1$ при $p>0$.
$\ln(x) $ при $x \to 1$ эквивалентен $x-1$, а вот в нуле не знаю.
Ну еще в бесконечности тоже особенность при $p<0$. Верно?

[provincialka]

Верно, но несколько сумбурно. Вы выделили три "проблемные" точки? Вот и исследуйте их по-одной. Начните, например, с бесконечности.

Jiggy в сообщении #932357 писал(а):

Ну еще в бесконечности тоже особенность при p<0.

В бесконечности особенность всегда, потому что это бесконечность.
Каков знак подынтегральной функции при больших $x$? Какой признак можно использовать? И сделайте-таки замену.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Jiggy
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932363 писал(а):

Верно, но несколько сумбурно. Вы выделили три "проблемные" точки? Вот и исследуйте их по-одной. Начните, например, с бесконечности.

Jiggy в сообщении #932357 писал(а):

Ну еще в бесконечности тоже особенность при p<0.

В бесконечности особенность всегда, потому что это бесконечность.
Каков знак подынтегральной функции при больших $x$? Какой признак можно использовать? И сделайте-таки замену.

При больших $x$ знак подынтегральной функции зависит от синуса же. разве нет? И все таки, на какие интегралы разбить?)

[provincialka]

Разбивайте, как хотели сначала, не суть важно. Ну, разбили вы. Дальше что?

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932688 писал(а):

Разбивайте, как хотели сначала, не суть важно. Ну, разбили вы. Дальше что?

В нуле по идее можно $\sin(x^3) \Leftrightarrow x^3$, $\ln^p(x) \Leftrightarrow ?$
В единице $\ln^p(x) \Leftrightarrow (x-1)^p$
В бесконечности можно сверху ограничить, но что с логарифмом делать не знаю. Никак все довести не могу...

[provincialka]

Логарифм в 0 и в бесконечности растет медленнее, чем любая степень $x$. Оценивать синус сверху не надо, даже для абсолютной сходимости. Посмотрие примеры применения признака Дирихле.
И вообще, исследуйте уже хоть одну особую точку. Не ждите, что мы за вас это сделаем!

[Terraniux]

Условно сходится при $p<1$.
Не сходится абсолютно при любом $p$.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932697 писал(а):

Логарифм в 0 и в бесконечности растет медленнее, чем любая степень $x$. Оценивать синус сверху не надо, даже для абсолютной сходимости. Посмотрие примеры применения признака Дирихле.
И вообще, исследуйте уже хоть одну особую точку. Не ждите, что мы за вас это сделаем!

Сделал замену на бесконечности $t = x^3$. По признаку Дирихле получил, что при $p > 0$ интеграл сходится по идее абсолютно. Имеется в виду интеграл на бесконечности. При $p = 0$ Вообще весь интеграл сходится абсолютно. Пока вот, что сумел сделать)

[Terraniux]

Jiggy в сообщении #932702 писал(а):

При $p = 0$ Вообще весь интеграл сходится абсолютно. Пока вот, что сумел сделать)

Предположим, интеграл $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ сходится. Поскольку имеет место оценка $|\sin x^3| \geqslant \sin^2 x^3$, то из сходимости $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ следует сходимость $ \int\limits_{x_0}^{\infty}\sin^2x^3dx $. Из сходммости последнего интеграла следует сходимость интеграла $\int\limits_{x_0}^{\infty}\cos ^2x^3dx $. Тогда сходится м их сумма, равная $\int\limits_{x_0}^{\infty} dx$, который расходится. Противоречие, следовательно, Исх интеграл расходится.