Исследование интеграла на абсолютную и условную сходимость.

[Jiggy]

Terraniux в сообщении #932708 писал(а):

Jiggy в сообщении #932702 писал(а):

При $p = 0$ Вообще весь интеграл сходится абсолютно. Пока вот, что сумел сделать)

Предположим, интеграл $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ сходится. Поскольку имеет место оценка $|\sin x^3| \geqslant \sin^2 x^3$, то из сходимости $\int\limits_{x_0}^{\infty}|\sin x^3|dx$ следует сходимость $ \int\limits_{x_0}^{\infty}\sin^2x^3dx $. Из сходммости последнего интеграла следует сходимость интеграла $\int\limits_{x_0}^{\infty}\cos ^2x^3dx $. Тогда сходится м их сумма, равная $\int\limits_{x_0}^{\infty} dx$, который расходится. Противоречие, следовательно, Исх интеграл расходится.

Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

[Terraniux]

Jiggy в сообщении #932709 писал(а):

Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

Так ответ уже дан на задачу. При $p \geqslant 1$ сходимости нет, остальное - см. выше.

[Jiggy]

Terraniux в сообщении #932712 писал(а):

Jiggy в сообщении #932709 писал(а):

Да, вы мне очевидно все провернули. Я уже закипаю))

Так ответ уже дан на задачу. Абсолютной сходимости нет, остальное - см. выше.

Так это только при $p = 0$

[Terraniux]

Jiggy в сообщении #932713 писал(а):

ак это только при $p = 0$

При $p>0$ сравните ч интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty}(\sin x^3 )/x^3 dx$.
При $p<0$ сравните ( при исследовании на абсолютную сходимость) с интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3|dx$.

[Jiggy]

Terraniux в сообщении #932714 писал(а):

Jiggy в сообщении #932713 писал(а):

ак это только при $p = 0$

При $p<0$ сравните ч интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty}(\sin x^3 )/x^3 dx$.

А как мы от логарифма ушли?

[Terraniux]

Jiggy в сообщении #932715 писал(а):

А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.

[Jiggy]

Terraniux в сообщении #932716 писал(а):

Jiggy в сообщении #932715 писал(а):

А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.

МОжет быть я совсем тупой, но все равно не понял как ушли от логарифма...

[Terraniux]

Jiggy в сообщении #932717 писал(а):

Terraniux в сообщении #932716 писал(а):

Jiggy в сообщении #932715 писал(а):

А как мы от логарифма ушли

См. правленую версию.

МОжет быть я совсем тупой, но все равно не понял как ушли от логарифма...

Вы на условную сходимость исследовали? Исследовали. Теперь исследуемого на абсолютную сходимость.

При p<0:
Сравниваемых с интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3|dx$.
$ |\ln^{-p} x\cdot \sin x^3| > |\sin x^3|$.

При p>0.
Сравниваем с интегралом $ \int\limits_{x_0}^{\infty} |\sin x^3/x^3|dx $.
$ |\sin x^3/ \ln^p x| > |\sin x^3/x^3| $ - это адовый бред.
(За опечатки сорян, пишу с телефона).

[Lia]

Terraniux
Не надо решать задачу за ТС. Во-первых, Вы делаете это неверно. А во-вторых, нарушаете Правила форума, и Вам это известно.

[Terraniux]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #932721 писал(а):

Во-первых, Вы делаете это неверно

Где неправильно?! :oops:
Отпишите, плиз, можно в личку - я с телефона.

-- 18.11.2014, 03:40 --

Ну, или если рассуждения выше неверны, то можно сделать проще:
Замена$ t = x^3 \Rightarrow x= t^{1/3}, dx=1/3t^{-2/3}dt $. Приходим к интегралу $1/9 \int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2/3}\ln^p t} dt$. Который уже легко исследовать и получить ответ.
(Интегал вблизи нуля сходится при любом p, вблизи единицы - при p < 1, на бесконечности - при любом p, только условно (по Абелю-Дирихде). Абсолютной сходимости нет.)

[Jiggy]

Terraniux в сообщении #932723 писал(а):

(Оффтоп)

Lia в сообщении #932721 писал(а):

Во-первых, Вы делаете это неверно

Где неправильно?!
Отпишите, плиз, можно в личку - я с телефона.

-- 18.11.2014, 03:40 --

Ну, или если рассуждения выше неверны, то можно сделать проще:
Замена$ t = x^3 \Rightarrow x= t^{1/3}, dx=1/3t^{-2/3}dt $. Приходим к интегралу $1/9 \int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2/3}\ln^p t} dt$. Который уже легко исследовать и получить ответ.
(Интегал вблизи нуля сходится при любом p, вблизи единицы - при p < 1, на бесконечности - при любом p, только условно (по Абелю-Дирихде). Абсолютной сходимости нет.)

Спасибо большое! В некоторых вещах с вами не согласен, но это я уже сам исправлю. Я все понял. Проблема в том, что я не мог исследовать в точке сходимость. Теперь проблем нет)

[provincialka]

Jiggy, чтобы "бороться" с логарифмом, используйте неравенство: $1 < \ln x < x^\varepsilon$ для любого $\varepsilon>0$ и достаточно больших $x$