2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Примитивно рекурсивная функция
Сообщение14.10.2014, 21:49 
Привет!)
Народ, помогите доказать, что функция $[ e^x ]$ - примитивно рекурсивная;
Квадратные скобки - операция взятия целой части числа.

Если разобраться с применением оператора примитивной рекурсии/суперпозиции для элементарных функций ещё можно, но вот с квадратными скобками что делать не ясно. :roll:
$[ e^0 ] = 1$
$f(x+1) = h(x, f(x)) = h(x, y)$
$I_1^2(x,y) = x$
$I_2^2(x,y) = y$
$I_1^2(x,y) \cdot I_2^2(x,y) = x\cdot y$
И тупик из-за "целой части".
В учебнике подсказывают, что нужно использовать разложение $e^x$ в ряд.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение16.10.2014, 17:30 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

pepe
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

pepe, доллары надо ставить исключительно по краям формулы, причём всегда. Тег math писать не надо - он ставится сам автоматически.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение16.10.2014, 17:48 
Deggial, спасибо!

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение16.10.2014, 17:50 
pepe в сообщении #918997 писал(а):
В учебнике подсказывают, что нужно использовать разложение $e^x$ в ряд.
Ну вот возьмите разложение в ряд. Скомбинируйте его с целой частью и посмотрите, что можно сделать. Обе функции можно "убрать" и получится в итоге вполне себе рекурсивная функция.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение16.10.2014, 21:05 
$\sum_{n=0}^\infty = \frac{x^n}{n!}$

Вроде бы так, а как их можно скомбинировать?
$[ \sum_{n=0}^\infty ] = $

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение16.10.2014, 21:38 
pepe в сообщении #919701 писал(а):
$\sum_{n=0}^\infty = \frac{x^n}{n!}$
:shock: что это?

Вы умеете вычислять $e^x$ через задающий его ряд? Каким свойством обладают члены ряда, который задает функцию?

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение16.10.2014, 22:00 
Sonic86 в сообщении #919717 писал(а):
Вы умеете вычислять $e^x$ через задающий его ряд? Каким свойством обладают члены ряда, который задает функцию?


Неа, не помню практически ничего :-( . А какие свойства нужны?

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение17.10.2014, 01:18 
В тетрадке обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$, к которой можно суперпозицией привести уже известные ПРФ степень и факториал.
Осталось разобраться со свойствами членов ряда.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение17.10.2014, 09:34 
pepe в сообщении #919782 писал(а):
В тетрадке обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$, к которой можно суперпозицией привести уже известные ПРФ степень и факториал.
Осталось разобраться со свойствами членов ряда.
Не-а.
У Вас в тетрадке наверняка обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$ при $x,y \in \mathbb{N}$, а $e^x$ - это иррациональное число при $x\in\mathbb{N}$.

pepe в сообщении #919735 писал(а):
Неа, не помню практически ничего :-( . А какие свойства нужны?
Вы сами должны понять. Могу предложить вычислить $e^3$ руками, ручкой в тетрадке (ни в коем случае не в компе, иначе не поймете ничего) - тогда Вы можете увидеть то, что нужно.
Ну или такой вопрос: задает ли ряд $0! + 1!x+2!x^2+3!x^3+...$ функцию хоть на каком-нибудь интервале? А почему? А что аналогичного насчет ряда для $e^x$? А почему? (вопросы умышленно сформулированны так, что для ответа на следующего необходим правильный ответ на предыдущий)

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 13:06 
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} = \frac{x^n}{n!}$ Так правильнее.
Я имел ввиду $[ \frac{x}{y} ]$ для члена ряда Тейлора, где $x, n \in \mathbb{N}$
А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.

Sonic86 в сообщении #919826 писал(а):
Вы сами должны понять. Могу предложить вычислить $e^3$ руками, ручкой в тетрадке (ни в коем случае не в компе, иначе не поймете ничего) - тогда Вы можете увидеть то, что нужно.
Ну или такой вопрос: задает ли ряд $0! + 1!x+2!x^2+3!x^3+...$ функцию хоть на каком-нибудь интервале? А почему? А что аналогичного насчет ряда для $e^x$? А почему? (вопросы умышленно сформулированны так, что для ответа на следующего необходим правильный ответ на предыдущий)

Думаю, задаёт. Каждый член ряда задан рекуррентно и мы можем вычислить их сумму. И аналогично для $e^x$, хотя я не уверен, что рассуждаю в правильном направлении

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 14:24 
pepe в сообщении #921185 писал(а):
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} = \frac{x^n}{n!}$ Так правильнее.
Нет, это неправда, и это то же самое, что Вы сначала писали. Правильно $e^x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

pepe в сообщении #921185 писал(а):
Я имел ввиду $[ \frac{x}{y} ]$ для члена ряда Тейлора, где $x, n \in \mathbb{N}$
А, хорошо, но у Вас ведь целая часть берется не от каждого слагаемого ряда, а от всего ряда. Соответственно, это Вам не поможет.

pepe в сообщении #921185 писал(а):
Думаю, задаёт.
Нет. Вычислите его для $x=1/2$, я с интересом посмотрю, что у Вас полчится
pepe в сообщении #921185 писал(а):
дальше значения стали слишком малы.
Вот! Суть в том, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то что можно сказать о $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$? А что можно сказать о $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?А чему равно $[z+0,0001]$ при целом $z$?

Это уже очень жирные подсказки. Дальше сами.

pepe в сообщении #921185 писал(а):
Каждый член ряда задан рекуррентно
:shock: ничего подобного, $n$-ый член ряда задан не рекуррентно, а явно.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 18:28 
Sonic86 в сообщении #921199 писал(а):
Вот! Суть в том, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то что можно сказать о $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$? А что можно сказать о $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?А чему равно $[z+0,0001]$ при целом $z$?



$a_n$ стремится к 0, а $[z+0,0001] = z$. То бишь рано или поздно суммирование остановится, потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1. Как бы выразиться-то по-русски? :lol:

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 18:48 
pepe в сообщении #921286 писал(а):
потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1.
Этого мало. «Недостающие» частичные суммы могут стать больше 1 даже в таком случае и при сходящемся ряде. Но вы почти объяснили.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 19:09 
Ну вот, еще немного осталось.

pepe в сообщении #921286 писал(а):
То бишь рано или поздно суммирование остановится, потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1.
А что насчет $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?

pepe в сообщении #921185 писал(а):
А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.
Вспоминайте, как Вы тут вычислили целую часть?

Собирайте элементы в цельную картину, осталось немного.

 
 
 
 Re: Примитивно рекурсивная функция
Сообщение20.10.2014, 22:53 
Sonic86 в сообщении #921301 писал(а):
А что насчет $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?

Ну вот, "почти всё" и тупик. Вроде то же самое, только начинается не с 1, а с некоторого r. Ну и сумма должна быть меньше.

Sonic86 в сообщении #921301 писал(а):
pepe в сообщении #921185 писал(а):
А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.
Вспоминайте, как Вы тут вычислили целую часть?

Я её не вычислял, я складывал члены, а потом, когда они стали достаточно малы, округлил до 20 :-(

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group