Примитивно рекурсивная функция

[pepe]

Привет!)
Народ, помогите доказать, что функция $[ e^x ]$ - примитивно рекурсивная;
Квадратные скобки - операция взятия целой части числа.

Если разобраться с применением оператора примитивной рекурсии/суперпозиции для элементарных функций ещё можно, но вот с квадратными скобками что делать не ясно.
$[ e^0 ] = 1$
$f(x+1) = h(x, f(x)) = h(x, y)$
$I_1^2(x,y) = x$
$I_2^2(x,y) = y$
$I_1^2(x,y) \cdot I_2^2(x,y) = x\cdot y$
И тупик из-за "целой части".
В учебнике подсказывают, что нужно использовать разложение $e^x$ в ряд.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

pepe
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

pepe, доллары надо ставить исключительно по краям формулы, причём всегда. Тег math писать не надо - он ставится сам автоматически.

[pepe]

Deggial, спасибо!

[Sonic86]

pepe в сообщении #918997 писал(а):

В учебнике подсказывают, что нужно использовать разложение $e^x$ в ряд.

Ну вот возьмите разложение в ряд. Скомбинируйте его с целой частью и посмотрите, что можно сделать. Обе функции можно "убрать" и получится в итоге вполне себе рекурсивная функция.

[pepe]

$\sum_{n=0}^\infty = \frac{x^n}{n!}$

Вроде бы так, а как их можно скомбинировать?
$[ \sum_{n=0}^\infty ] = $

[Sonic86]

pepe в сообщении #919701 писал(а):

$\sum_{n=0}^\infty = \frac{x^n}{n!}$

что это?

Вы умеете вычислять $e^x$ через задающий его ряд? Каким свойством обладают члены ряда, который задает функцию?

[pepe]

Sonic86 в сообщении #919717 писал(а):

Вы умеете вычислять $e^x$ через задающий его ряд? Каким свойством обладают члены ряда, который задает функцию?

Неа, не помню практически ничего . А какие свойства нужны?

[pepe]

В тетрадке обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$, к которой можно суперпозицией привести уже известные ПРФ степень и факториал.
Осталось разобраться со свойствами членов ряда.

[Sonic86]

pepe в сообщении #919782 писал(а):

В тетрадке обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$, к которой можно суперпозицией привести уже известные ПРФ степень и факториал.
Осталось разобраться со свойствами членов ряда.

Не-а.
У Вас в тетрадке наверняка обнаружилось док-во для $[\frac{x}{y}]$ при $x,y \in \mathbb{N}$, а $e^x$ - это иррациональное число при $x\in\mathbb{N}$.

pepe в сообщении #919735 писал(а):

Неа, не помню практически ничего . А какие свойства нужны?

Вы сами должны понять. Могу предложить вычислить $e^3$ руками, ручкой в тетрадке (ни в коем случае не в компе, иначе не поймете ничего) - тогда Вы можете увидеть то, что нужно.
Ну или такой вопрос: задает ли ряд $0! + 1!x+2!x^2+3!x^3+...$ функцию хоть на каком-нибудь интервале? А почему? А что аналогичного насчет ряда для $e^x$? А почему? (вопросы умышленно сформулированны так, что для ответа на следующего необходим правильный ответ на предыдущий)

[pepe]

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} = \frac{x^n}{n!}$ Так правильнее.
Я имел ввиду $[ \frac{x}{y} ]$ для члена ряда Тейлора, где $x, n \in \mathbb{N}$
А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.

Sonic86 в сообщении #919826 писал(а):

Вы сами должны понять. Могу предложить вычислить $e^3$ руками, ручкой в тетрадке (ни в коем случае не в компе, иначе не поймете ничего) - тогда Вы можете увидеть то, что нужно.
Ну или такой вопрос: задает ли ряд $0! + 1!x+2!x^2+3!x^3+...$ функцию хоть на каком-нибудь интервале? А почему? А что аналогичного насчет ряда для $e^x$? А почему? (вопросы умышленно сформулированны так, что для ответа на следующего необходим правильный ответ на предыдущий)

Думаю, задаёт. Каждый член ряда задан рекуррентно и мы можем вычислить их сумму. И аналогично для $e^x$, хотя я не уверен, что рассуждаю в правильном направлении

[Sonic86]

pepe в сообщении #921185 писал(а):

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} = \frac{x^n}{n!}$ Так правильнее.

Нет, это неправда, и это то же самое, что Вы сначала писали. Правильно $e^x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

pepe в сообщении #921185 писал(а):

Я имел ввиду $[ \frac{x}{y} ]$ для члена ряда Тейлора, где $x, n \in \mathbb{N}$

А, хорошо, но у Вас ведь целая часть берется не от каждого слагаемого ряда, а от всего ряда. Соответственно, это Вам не поможет.

pepe в сообщении #921185 писал(а):

Думаю, задаёт.

Нет. Вычислите его для $x=1/2$, я с интересом посмотрю, что у Вас полчится

pepe в сообщении #921185 писал(а):

дальше значения стали слишком малы.

Вот! Суть в том, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то что можно сказать о $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$? А что можно сказать о $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?А чему равно $[z+0,0001]$ при целом $z$?

Это уже очень жирные подсказки. Дальше сами.

pepe в сообщении #921185 писал(а):

Каждый член ряда задан рекуррентно

ничего подобного, $n$-ый член ряда задан не рекуррентно, а явно.

[pepe]

Sonic86 в сообщении #921199 писал(а):

Вот! Суть в том, что если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то что можно сказать о $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$? А что можно сказать о $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?А чему равно $[z+0,0001]$ при целом $z$?

$a_n$ стремится к 0, а $[z+0,0001] = z$. То бишь рано или поздно суммирование остановится, потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1. Как бы выразиться-то по-русски?

[arseniiv]

pepe в сообщении #921286 писал(а):

потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1.

Этого мало. «Недостающие» частичные суммы могут стать больше 1 даже в таком случае и при сходящемся ряде. Но вы почти объяснили.

[Sonic86]

Ну вот, еще немного осталось.

pepe в сообщении #921286 писал(а):

То бишь рано или поздно суммирование остановится, потому что "недостающие слагаемые" будут меньше 1.

А что насчет $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?

pepe в сообщении #921185 писал(а):

А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.

Вспоминайте, как Вы тут вычислили целую часть?

Собирайте элементы в цельную картину, осталось немного.

[pepe]

Sonic86 в сообщении #921301 писал(а):

А что насчет $\sum\limits_{n=r}^{\infty} a_n$?

Ну вот, "почти всё" и тупик. Вроде то же самое, только начинается не с 1, а с некоторого r. Ну и сумма должна быть меньше.

Sonic86 в сообщении #921301 писал(а):

pepe в сообщении #921185 писал(а):

А $e^3$, за 7-8 сложений получилось чуть больше 20, дальше значения стали слишком малы.

Вспоминайте, как Вы тут вычислили целую часть?

Я её не вычислял, я складывал члены, а потом, когда они стали достаточно малы, округлил до 20