Принцип неразличимости тождественных частиц

[fizeg]

studentmk_32
Если взять $\psi=\delta(x-x_0)$, то чему будет равно $\int_{-\infty}^{+\infty}dx|\psi(x)|^2$?

[studentmk_32]

amon

amon в сообщении #917980 писал(а):

А $\exp(ipx-i\omega t)$ нормируется? И эта функция ведет себя также.

Нет (это как я понимаю волна де Бройля). Но какой у нее физический смысл?
Прошу прощения за может глупые вопросы. КМ я только начал изучать.

fizeg
Честно - черт знает. Не знаю как считается (и считается ли?) такая штука.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #917987 писал(а):

Часто упоминается высказывание Дирака о том, что-де фотон интерферирует только с самим собой.

Оно верно. Но поскольку фотон при этом тождественен с любым другим фотоном, то он и с любым другим интерферирует - как с самим собой.

chislo_avogadro в сообщении #917987 писал(а):

Впрочем, оно оспаривается (видел в УФН).

Вот этого лучше не читать.

По крайней мере, до тех пор, пока умение делать квантовые расчёты для тождественных частиц - не будет от зубов отлетать.

chislo_avogadro в сообщении #917987 писал(а):

Любопытно, можно ли это высказывание отнести также и к электронам, или же интерференция "частей" разных электронов установлена?

Да, можно и к электронам.

Red_Herring в сообщении #917990 писал(а):

Суперанализ—это анализ, в котором наряду с коммутирующими есть антикоммутирующие аргументы
К нестандартному анализу отношения не имеет.

Да, конечно. Я просто упоминал доп. информацию об авторе.

[Red_Herring]

Собственным значениям соответствуют собственные функции, которые принадлежат данному гильбертовому пространству. А вот точкам непрерывного спектра отвечают обобщенные собственные функции, которые хотя и не совсем плохие, но данному гильбертову пространству уже не принадлежат. Но по таким осф удобно раскладывать элементы пространства.

Можно посмотреть здесь http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

Так вот $\delta (x-x_0)$ и $e^{i\hbar^{-1}(p-p_0)\cdot x}$ это осф оператора координаты и импульса соответственно (в размерности $n>1$ следует говорить о системах $n$ коммутирующих операторов. Волновыми функциями оне сами не являются, но по ним вф раскладывать удобно.

[Cos(x-pi/2)]

studentmk_32

Принцип неопредлённости траекторий и принцип неразличимости тождественных частиц, несмотря на простоту их словесной формулировки, это очень глубокие и далеко не простые для понимания утверждения в квантовой теории. Позвольте, тоже дам кое-какие советы.

1) Почему в ЛЛ "написано так, а не иначе" это отдельный вопрос, местами тоже не простой; поэтому советую отложить разбор непонятных вам фраз в ЛЛ на "потом" (и упорно изучать в ЛЛ, то что вам более-менее удаётся изучать).

2) Про вашу задачку: чтобы избежать непоняток, начните не с дельта-функции, а, как тут уже упоминали, с "размазанной дельта-функции". Тогда в ваших руках будет параметр - начальная ширина распределения для $x$, - играя которым, вы сами легко разберёте в разных случаях, что и как себя ведёт. Удобнее всего "гауссовская" размазка, тогда всё считается и анализируется элементарно. Ниже написал подробнее, но сначала про принцип неразличимости:

3) Принцип неразличимости тождественных частиц хитро связан с понятием "спин". Существует интуитивно привлекательное (но не претендующее на 100%-ю доказательность) рассуждение, показывающее, почему проявления тождественности частиц зависят от их спина, т.е. почему частицы с полуцелом спином - фермионы, а с целым - бозоны. Кстати, ярким примером служит факт, что электроны имеют спин 1/2 и при этом как раз являются фермионами (подчиняются запрету Паули; и даже страшно представить себе, что стало бы с химическими элементами в противном случае, и как бы мы тогда все выглядели ). Рассуждение основано на свойстве спиноров менять свой знак при поворотах на $2\pi$; оно излагалось в коротком замечании в конце одной из лекций Фейнмана. Всё это стоит изучать, но, может быть, не в самую первую очередь.

Теперь вернёмся к вашей дельта-функции. Откажитесь от неё и возьмите начальную волновую функцию в виде (для краткости записи положим $\hbar=1$; с массой частицы можно поступить так же):

$\psi(x,\,t=0)\,=\,A \, e^{i p_0 x -\frac{(x-x_0)^2}{2a^2}}$

Задача: нормировав эту в.ф., и считая, что частица свободная ($U(x)=0$), выписать волновую функцию для произвольного момента времени $t>0$, найти распределения вероятностей для координаты $x$ и импульса $p$, найти их неопределённости, и осмыслить, как всё это меняется (или не меняется) со временем. Переходите там к разным предельным случаям: с $p_0=0$ и с $p_0 \gg1/a$. Рассмотрите и $a\rightarrow 0$ - тут вы увидете, за счёт чего результат можно связать с дельта-функцией.

Интегралы в такой задачке все сходящиеся "гауссовские", достаточно пользоваться одной формулой:

${\int\limits_{-\infty}^\infty \, ds \, e^{-B{s^2}+Cs}} \, \, = \sqrt{\frac{\pi}{B}} \, e^\frac{C^2}{4B}$$ , где $\operatorname{Re}B>0$

Громоздкости результата не пугайтесь. Спокойно выделите в показателе вещественную и мнимую часть, выделите модуль волновой функции и фазовый множитель; продумайте, что и как быстро там меняется с расстоянием (что есть "волна", и что есть её "огибающая").

Короче, увидите, что это интересная игрушка - движущийся (если $p_0 \neq 0$ ) и со временем расплывающийся (по координате, но не по импульсу) волновой пакет; притом вся картина существенно зависит от соотношений между параметрами. Если не будет получаться, подсмотрите решение в "Задачнике Галицкого, Карнакова, Когана" (задача 6.2 в издании 1992 года); или тут поможем.

P.S.
В волновом уравнении Шрёдингера минус не пишите, его там нет:
$i\hbar\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(x,t)$

[studentmk_32]

Cos(x-pi/2)
Большое Вам спасибо.
О результат отпишусь сюда.

Р.S.
Отдельно спасибо за статью Фейнмана - всегда интересовал этот вопрос.
Да, с минусом всегда путаюсь. :)

[amon]

В теор. физике стандартный трюк при работе с функциями типа $\delta(x-x_0)$ или $e^{ipx}$ ("собственные функции" операторов координаты и импульса соответственно), не одобряемый математиками, состоит в следующем. Сосчитаем нормировочный интеграл для $e^{ipx}$: $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-ipx}e^{ipx}dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}1\cdot dx=L$ (объем системы). Значит, "нормированная" функция будет $\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ipx}$. На это можно навести некий математический марафет, не сильно меняющий результат. Тоже самое будет и с $\delta$-функцией. Можно либо рассмотреть оператор координаты в импульсном представлении, и тогда все будет как для импульса, либо считать, что $\delta(0)=L$ (объем системы). "Основанием" (только не надо считать это доказательством!) для этого может служить следующая "правдоподобная цепочка":
$\delta(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{ipx}dx$, значит $\delta(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx=L$

[Munin]

Это та же самая лекция, что в книжке
Фейнман, Вайнберг. Элементарные частицы и законы физики.
?

[Cos(x-pi/2)]

Munin
Да, та же. (Имхо, некоторые книгоиздатели в те времена так выживали: переиздавали готовые переводы без ссылок на источник).

amon
Да, в физике частенько можно с дельта-функцией не особо церемониться; во всяком случае, если результат получается подходящий по физ.смыслу. Таким путём иной раз дельта-функцию в квадрат возводят . А у топик-стартера волновая функция локализованого в точке электрона должна быть как бы корнем квадратным из дельта-функции.

Но лучше всё-таки с уширенным распределением упражняться: оно и физичнее и шириной поиграться можно.

(Оффтоп)

P.S. Извиняюсь за кое-где грамматические ошибки, зрение подводит. Да ещё, оказывается, тут кнопка "правка" через какое-то время исчезает...

[Munin]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2) в сообщении #918244 писал(а):

(Имхо, некоторые книгоиздатели в те времена так выживали: переиздавали готовые переводы без ссылок на источник).

Все ссылки в книге там есть, а книгоиздателю я благодарен, поскольку то, что это вообще было издано широким тиражом - замечательно.

[fizeg]

amon
По-нормальному это делается через регуляризацию - понимаете обобщенную функцию как предел регулярного функционала. Так вы можете (и часто это приходится делать) много каких чисто формальных комбинаций символов доопределить до нормальных объектов. Но при этом нужно не забывать, что не всегда это можно сделать независимым от конкретной регуляризации способом.

И это не то что бы очень необычная ситуация. Как аналогия: интеграл определяется через конечные суммы и вообще говоря выбирая способ суммирования можно приписать ему разные значения. В таком случае мы правда говорим, что интеграл просто не существует.

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #918244 писал(а):

А у топик-стартера волновая функция локализованого в точке электрона должна быть как бы корнем квадратным из дельта-функции.

Не-а! То, что написано - "собственная функция" оператора координаты, т.е. $\hat{x}\Psi=x_0\Psi$. В $X$-представлении оператор $\hat{x}$ это просто умножение на $x$. Значит, уравнение "на собственные значения" (которые вовсе не собственные значения, а, если мне память не изменяет, дефекты резольвенты) будет $(x-x_0)\Psi(x)=0$. Соболев с кем-то из французов учат нас, что тогда $\Psi(x)=C\delta(x-x_0)$, где $C$-произвольная константа.

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Munin
Ну отлично. Просто мне припомнилось, что где-то в начале 90-х книжку с таким названием на каком-то лотке я увидал вообще без всяких опознавательных знаков. И оттиск был какой-то смазанный, самопальный. В те времена попадалась даже вообще халтура: с пустыми страницами в середине книжек, или с перевёрнутым текстом, или с повтором одних и тех же страниц без продолжения...

Но, конечно, это не важно. Мы же не копирасты какие-нибудь. Действительно, хорошо, что так ли сяк ли, но книги издавались и издаются.

amon
Дык, я без всякой премудрости имел ввиду только, что если квадрат модуля волновой функции (распределение вероятностей) должен быть какой-то функцией, то сам модуль - корень из неё.

А от дельта-функции можно ещё совсем по-простецки отделаться, рассматривая координаты как дискретные индексы. Тогда будем иметь дельта-символы Кронекера, и уж тут точно один фиг - что символ Кронекера, что его квадрат или другая положительная степень (говорю о модуле). Но для физики всё это, пожалуй, ненужный оффтоп... (говорю о простой КМ; не имею ввиду КТП).

[studentmk_32]

amon

Спасибо за справку. Я уже натыкался на выражения типа $\frac{1}{\sqrt{V}}\exp{\bf{p} \cdot r}$ и не понимал откуда объем в знаменателе.
А существует ли строгое (с математической точки зрения) изложение КМ? Я видел только книжки фон Неймана и Фаддеева, но не знаю на сколько там все строго.

[fizeg]

Cos(x-pi/2) в сообщении #918263 писал(а):

Но для физики всё это, пожалуй, ненужный оффтоп...

Да ладно! Только и делаем, что кладем систему в ящик, да на решетки сажаем (все равно на больших и маленьких расстояниях простенькая наша модель уже не будет работать для реальной системы)

-- 13.10.2014, 00:33 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #918263 писал(а):

(говорю о простой КМ; не имею ввиду КТП)

Здесь тоже самое - от кучи проблем можно избавиться поместив в ящик и превратив непрерывный спектр в дискретный