Задача о четырехугольнике

[Aritaborian]

Vitalius в сообщении #888828 писал(а):

AspectRatio->1 не помогает

Так нужно выставлять AspectRatio -> Automatic, а не единицу.

[Vitalius]

Хорошо, вот картинка с автоматическим AspectRatio:



Кажется красная кривая в этом вырожденном случае, является окружностью с центром в точке $(-4,0)$. Продолжения сторон $PQ$ и $RS$ четырёхугольника $PQRS$ проходят через центр красной окружности. "Распавшиеся" синяя кривая, похоже сделала это в сторону двух окружностей. При том одна из них описана вокруг четырёхугольника $PQRS$. Напоминаю, что решения систему квадратичных форм в данном случае таковы:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$; $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$; $(x_{R},y_{R})=(2,2)$; $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$;

$(x_{A},y_{A})=(-\frac{16}{15},\frac{8}{15})$; $(x_{B},y_{B})=(\frac{3}{5},-\frac{3}{10})$; $(x_{C},y_{C})=(\frac{13}{5},\frac{6}{5})$; $(x_{D},y_{D})=(-\frac{2}{5},\frac{26}{5})$; $(x_{K},y_{K})=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$.

[_Ivana]

Vitalius не думаете, что на задворках вселенной вашего последнего чертежа есть второй красный эллипс? В случае с прямоугольником исходных точек - по паре прямая+окружность на каждое ГМТ.

ЗЫ если и дальше планируете вставлять по десятку полноразмерных картинок на страницу темы вместо маленьких превьюшек - прячьте их в оффтоп что-ли, пожалейте обладателей небольших экранов...

[mishafromusa]

Похоже на то... Случай явно вырожденный, т.к. окружность не описывается около произвольного четырёхугольника.Описанная окружность -- сиреневого цвета, т.е. красное наложено на синее. Надо пошевелить данные точки и посмотреть что получится.

[Vitalius]

mishafromusa в сообщении #888835 писал(а):

Похоже на то... Случай явно вырожденный, т.к. окружность не описывается около произвольного четырёхугольника.

Надо доказать, что вокруг четырёхугольника $PQRS$, где $(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,2)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$, описывается окружность. Но похоже, что Вы правы, т.е. когда вокруг четырёхугольника $PQRS$ описывается окружность, кривые ГМТ, которое мы рассматриваем - вырождаются.

_Ivana в сообщении #888833 писал(а):

...ЗЫ если и дальше планируете вставлять по десятку полноразмерных картинок на страницу темы вместо маленьких превьюшек - прячьте их в оффтоп что-ли, пожалейте обладателей небольших экранов...

Извините, что у меня экран большой, но разве Ваш браузер не уменьшает автоматично размер картинок когда резолюция экрана маленькая?

[mishafromusa]

У Вас же есть критерий, когда 4 точки лежат на окружности, определитель помните?

[Vitalius]

Да, помню.

Вот один красивый случай когда обе кривые находятся в узкой области:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,4)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$





Красная кривая задаётся уравнением $G_{PQRS}(x,y)=0$, а синяя - $G_{QRSP}(x,y)=0$

[_Ivana]

mishafromusa в сообщении #888835 писал(а):

Надо пошевелить данные точки и посмотреть что получится.

[0, 0; 1, 0; 1.8, 1.8; -1, 1]

- малое изменение начальных данных в данном случае приводит к малому изменению результата

[0.1, 0.1; 1, 0; 2, 2; -1, 1]

UPD а вот и я освоил contour plot в Матлабе, теперь нормально кривые выглядят. Полезная задача, на ней еще и символьные упрощения впервые попробовал. Может еще что-нибудь освоить с ее помощью?

[Vitalius]

Хорошо _Ivana. Интересно всё-таки, конкретно этот восьмипараметрический класс алгебраических крив 4 порядка на плоскости, до нас кто-то другой рассматривал или нет?

Кстати, видимо решение задачи ТС единственно для выпуклых четырёхугольников, ибо точка пересечения крив, которая находится внутри четырёхугольника $PQRS$, в этом случае одна единственная.

[mishafromusa]

Красивые картинки... А теперь нельзя ли добавить к ним все четыёхугольники, о которых спрашивалось в задаче, соответствующие всем пересечениям ГМТ? Каким (быть может вырожденным) четырёугольникам отвечают пересечения в данных в условиях задачи основаниях перпендикуляров?

-- 19.07.2014, 21:19 --

_Ivana в сообщении #888852 писал(а):

- малое изменение начальных данных в данном случае приводит к малому изменению результата

В данном случае -- да, т.к. все пересечения ГМТ трансверсальны, т.е. под ненулевыми углами, а сами ГМТ невырождены. А вот попробуйте сделать то же самое в вырожденном случае, когда все 4 заданные точки лежат на одной окружности и посмотрите что получится.

-- 19.07.2014, 21:23 --

Vitalius в сообщении #888856 писал(а):

Кстати, видимо решение задачи ТС единственно для выпуклых четырёхугольников, ибо точка пересечения крив, которая находится внутри четырёхугольника $PQRS$, в этом случае одна единственная.

Это более или менее понятно из геометрии пар касающихся окружностей, с которых мы начинали.

[mishafromusa]

Vitalius в сообщении #888847 писал(а):

Вот один красивый случай когда обе кривые находятся в узкой области:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$, $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$, $(x_{R},y_{R})=(2,4)$, $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$

Похоже, что пересечению ГМТ вне четырёхугольника $PQRS$ соответствует четырёхугольник с самопересечением.

-- 19.07.2014, 22:13 --

_Ivana в сообщении #888852 писал(а):

Полезная задача, на ней еще и символьные упрощения впервые попробовал. Может еще что-нибудь освоить с ее помощью?

Интересно было бы сделать игрушку, в которой данные точки можно таскать мышкой и смотреть как меняются ГМТ, пары касающихся окружностей и четырёхугольники, соответствующие точкам пересечения ГМТ. Это несложно сделать в Mathematica, и я уверен, что это будет интересным добавлением к их Demonstration Project, Вот пример, который я когда-то написал: http://demonstrations.wolfram.com/MonodromyOfZNBZ10/

[Skeptic]

Получил аналитическое выражение связи координат точек пересечения перпендикуляров и диагоналей в четырёхугольнике. Это система двух кубических уравнений.

[mishafromusa]

Vitalius в сообщении #888856 писал(а):

Хорошо _Ivana. Интересно всё-таки, конкретно этот восьмипараметрический класс алгебраических крив 4 порядка на плоскости, до нас кто-то другой рассматривал или нет?

Скорее да, чем нет, но я лично не знаю. 4 параметра, соответствующие евклидовым движениям и изменениям масштаба, можно сразу выкинуть, останется всего 4.

-- 20.07.2014, 00:44 --

Skeptic, и как оно выглядит, это выражение?

[Skeptic]

Выглядит это страшно: числитель - сумма восьми произведений трёх двучленов, знаменатель - сумма восьми произведений двух двучленов, каждое слагаемое двучлена содержит координату точек пересечения.

Vitalius, должны кривые в сообщении #888830 проходить через точку пересечения осей и перпендикуляров?

[_Ivana]

mishafromusa в сообщении #888861 писал(а):

А вот попробуйте сделать то же самое в вырожденном случае, когда все 4 заданные точки лежат на одной окружности и посмотрите что получится.

Именно это я и попробовал. Картинки - результат малых отклонений от четырех окружностей.

mishafromusa в сообщении #888863 писал(а):

Похоже, что пересечению ГМТ вне четырёхугольника $PQRS$ соответствует четырёхугольник с самопересечением.

Ну уж вне не исходного, а получающегося четырехугольника - точно:

mishafromusa в сообщении #888863 писал(а):

Интересно было бы сделать игрушку, в которой данные точки можно таскать мышкой и смотреть

Спасибо, интересная идея.

Вот пример вырожденного четырехугольника - правая нижняя вершина улетает в бесконечность:

Если исходные 4 точки лежат на одной окружности, то вся эта окружность является решением системы (обе кривые ГМТ ее содержат), но при этом результирующий четырехугольник вырождается в точку на этой окружности, диаметрально противоположную точке, выбранной в качестве решения.