Подмножества

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #882116 писал(а):

Bonaqua, вы студент? На каком факультете учитесь?

Да нет. 10 класс, вот, закончил.
И это не ДЗ, а собственная инициатива после 10 лет раздолбайства

[Aritaborian]

Стало быть, ещё один год в школе, так? А затем куда?

(Munin)

;-Þ

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #882080 писал(а):

Лучше не оффтопьте, а помогите
Тем более, лучше хоть как-то понимать, чем никак.

Вам нужно найти множество, получающееся после какого-то там препарирования, применения дуг, плюсиков, черточек и прочей ерунды.
Множество определяется элементами.
Давайте решим какой-нибудь из примеров. Вот этот $A_k=(0,\frac1k)$
У нас получится множество --- что в него может входить? Ну, наверное, это чиселки, чиселки где-то там возле нуля. Вот у нас эти $A_k$ --- там числа не больше единицы, так что и в результате наверное уж числа не больше единицы будут. И не меньше нуля --- ну откуда бы им взяться, там же пересечения.
Ладно. Чисел от нуля до единицы всё равно много --- все не перебрать. С другой стороны, какое число входит в пересечение множеств? То, которое есть в каждом множестве. ОК, тогда $1$ не подходит -- его в $A_1$ нет. Хм... А половинки нет в $A_2$. Хм!
А какое число есть во всех? Вот возьмём какое-нибудь положительное $g$ (просто буква хорошая). Вот если я возьму $k$ побольше, то уж где-то наверняка $A_k$ не будет $g$ в себя включать. Если быть точным (а неохота), то берем $1/g$, куда-то там округляем... получаем оценку на $k$...
Ну так вот, похоже, никакое положительное $g$ в $A$ не входит. И нуль не входит --- он вообще никуда не входит. Ну и прочие радости типа отрицательных чисел или надувных единорогов.
Как-то так, получаем $A=\varnothing$.

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #882103 писал(а):

Я просто-напросто еще не очень соображаю как правильно оформлять операторы

Да их, собственно, никак не надо оформлять. Вот простые правила:

Пусть есть какая-то операция $\otimes$. Запись $\bigotimes\limits_{i=m}^n a_i$ надо понимать как укороченную запись выражения $a_m\otimes a_{m+1}\otimes\ldots\otimes a_n$; запись $\bigotimes\limits_{i=m}^\infty a_i$ уже так естественно понимать не получится, потому что должно получиться бесконечное выражение, с которым в таком счётном случае работать было бы и можно, но обычно от такой мороки отказываются и воспринимают такую запись особенно, определяя дополнительно (а это не всегда возможно или делается по-разному). Вы пока можете принять, что она не для любой операции и набора $a_i$ может оказаться осмысленной (вот, например, $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$).

Записи $\bigotimes\limits_{i\in I} a_i$ просто «принимают» пронумерованные не обязательно целыми числами $a_i$. (Последовательности — это самые обычные функции, и запись $a_i$ — это просто синоним для $a(i)$, просто в иных случаях скобки только мешают, а нижний индекс — ничего так.) Если $I$ — бесконечное, смысла у записи опять может не оказаться (например, $\sum_{x\in\mathbb R} x$).

В случае объединения и пересечения всё с осмысленностью всех этих записей хорошо.

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #882123 писал(а):

Стало быть, ещё один год в школе, так? А затем куда?

Да, экзамены, а потом как получится. Иду по стезе финансового аналитика.Рассчитываю на МФЮА или РЭУ им. Плеханова. Так-то

-- 30.06.2014, 01:54 --

Nemiroff в сообщении #882124 писал(а):

Как-то так, получаем $A=\varnothing$.

Спасибо за столь объемное объяснение. Теперь, я так понимаю, мой ответ $0$ оправдал себя.

arseniiv в сообщении #882125 писал(а):

В случае объединения и пересечения всё с осмысленностью всех этих записей хорошо.

Значит в моем случае ошибки нет?

[Aritaborian]

Bonaqua в сообщении #882127 писал(а):

Иду по стезе финансового аналитика.Рассчитываю на МФЮА или РЭУ им. Плеханова.

Взаимоисключающие параграфы какие-то получаются. Вам бы на мехмат, с таким-то интересом к теории множеств. Подумайте.

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #882127 писал(а):

Значит в моем случае ошибки нет?

В каком?

-- Пн июн 30, 2014 04:11:09 --

Обычно про множества, функции, отношения и всякое такое довольно неплохо рассказывают учебники по дискретной математике, и при этом там множества и функции такие, что их просто «пощупать». Только мне порекомендовать нечего — может, кто-то предложит (или скажет, что их лучше не стоит)?

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #882133 писал(а):

Взаимоисключающие параграфы какие-то получаются. Вам бы на мехмат, с таким-то интересом к теории множеств. Подумайте.

Да нет, дело не в интересе, а в необходимости. Вот, я, например, не люблю спать, но без сна обойтись не могу; тут примерно то же самое. Не сказал бы, что теория множеств мне не симпатизирует, просто, не зная понятий множества, подмножества, связанных с ними операций, дальше можно вовсе не думать о математическом будущем. В принципе, кому я это рассказываю, вы то лучше меня это знаете

Да и дело не в институте, а в факультете и перспективах.

-- 30.06.2014, 02:21 --

arseniiv в сообщении #882134 писал(а):

Обычно про множества, функции, отношения и всякое такое довольно неплохо рассказывают учебники по дискретной математике, и при этом там множества и функции такие, что их просто «пощупать». Только мне порекомендовать нечего — может, кто-то предложит (или скажет, что их лучше не стоит)?

Я не стремлюсь по вертикали изучать теорию множеств: так, несколько моментов знаю и то, из-за веской необходимости. Мне бы практики побольше, да и все. У Никольского о теории множеств вообще пару станиц, пришлось Попова и Сотникова покупать, да только и здесь теории выше крыши, несколько примеров -- а практики по нулям. Потому то я здесь

-- 30.06.2014, 02:28 --

arseniiv в сообщении #882134 писал(а):

В каком?

$X \cup Y \Leftrightarrow \bigcup\limits_{i=1}^{7} A_{i}$

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #882137 писал(а):

Мне бы практики побольше, да и все.

Вот как раз учебник по дискретной математике — это и не учебник по теории множеств. Теория множеств пострашнее!

Bonaqua в сообщении #882137 писал(а):

Потому то я здесь

Посоветовав книжку, вас же не отлучат от форума.

Bonaqua в сообщении #882137 писал(а):

$X \cup Y \Leftrightarrow \bigcup\limits_{i=1}^{7} A_{i}$

А чему равны $A_i$? (Вместо $\Leftrightarrow$ читаю $=$. $\Leftrightarrow$ соединяет в высказывание высказывания, а $=$ — всё остальное.) Если $A_i = \{i\}$ или хотя бы $\{i\}\subset A_i$, сойдётся. Ну и в куче других случаев может сойтись (например, $A_1 = A_2 = A_3 = A_4 = A_6 = A_7 = \varnothing, A_5 = \{1,\ldots,7\}$).

[Bonaqua]

Если $X \cup Y = A =\left\{ 1, 2, ... , 7} \right\}$ , то для сокращения записи пишут $A_{i} = \left\{ a_{i} \right\} _{1}^{n}$. В нашем случае показатель индекса, я так понимаю, равен семи. Значит $A_{i} = \left\{ a_{7} \right\} \Leftrightarrow\bigcup\limits_{i=1}^{7} A_{i}$

[Sonic86]

Bonaqua в сообщении #882187 писал(а):

Если $X \cup Y = A =\left\{ 1, 2, ... , 7} \right\}$ , то для сокращения записи пишут $A_{i} = \left\{ a_{i} \right\} _{1}^{n}$.

Не-а. Найдите ошибку и исправьте ее. А 1-я посылка, кстати, лишняя.

Bonaqua в сообщении #882187 писал(а):

Значит $A_{i} = \left\{ a_{7} \right\} \Leftrightarrow\bigcup\limits_{i=1}^{7} A_{i}$

"У меня есть карман" равносильно "валенок". "Валенок" - это такое высказывание, наверное, с глубоким смыслом...
Кроме того, писать надо не $a_7$, а $a_i$.

[Someone]

Bonaqua в сообщении #882187 писал(а):

для сокращения записи пишут $A_{i} = \left\{ a_{i} \right\} _{1}^{n}$

Не помню, чтобы я когда-нибудь встречал такую запись. К тому же, непонятно, почему в левой части индекс $i$ свободный, а в правой — связанный. Для $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ я написал бы что-нибудь типа $A=\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant 7\}$ или $A=\{i:i\in\mathbb N\,\&\,1\leqslant i\leqslant 7\}$ (если бы меня обуяло стремление к аккуратности). А для ваших $A_i$ — просто $A_i=\{i\}$, $1\leqslant i\leqslant 7$. Зачем писать $a_i$, если $a_i=i$, тем более — "для сокращения"?

[Bonaqua]

Someone в сообщении #882213 писал(а):

Не помню, чтобы я когда-нибудь встречал такую запись. К тому же, непонятно, почему в левой части индекс $i$ свободный, а в правой — связанный. Для $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ я написал бы что-нибудь типа $A=\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant 7\}$ или $A=\{i:i\in\mathbb N\,\&\,1\leqslant i\leqslant 7\}$ (если бы меня обуяло стремление к аккуратности). А для ваших $A_i$ — просто $A_i=\{i\}$, $1\leqslant i\leqslant 7$. Зачем писать $a_i$, если $a_i=i$, тем более — "для сокращения"?

Все, понял ошибки, учту. Можете привести пример верного оформления оператора, исходя из моих условий, чтобы уж точно без вопросов

Значит, если у меня имеется последовательность $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, то я просто-напросто обозначаю ее как $a_i \in \{i | 1 \leqslant i \leqslant 7\}$?

[Someone]

Bonaqua в сообщении #882243 писал(а):

если у меня имеется последовательность $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

Это не последовательность, а (неупорядоченное) множество. А последовательность — это функция (отображение), которая каждому значению индекса $i\in\mathbb N$ ставит в соответствие некоторую "вещь" $a_i$. Если речь идёт о так называемой конечной последовательности, то вместо натурального ряда $\mathbb N$ берётся его конечный отрезок (начиная с наименьшего натурального числа, которым может быть $0$ или $1$ в зависимости от принимаемого определения натурального ряда).

-- Пн июн 30, 2014 14:27:25 --

Bonaqua в сообщении #882243 писал(а):

Можете привести пример верного оформления оператора

Какого "оператора"?

[Bonaqua]

Someone в сообщении #882249 писал(а):

Какого "оператора"?

оператор вида $\bigcup\limits_{a}^{b}$


--

Действительно ли то, что отрезок $\left[ 0; 1 \right]$ равен по мощности всем точкам координатной плоскости?