2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение18.06.2014, 10:25 
Скорее даже Смирнов, чем Фихтенгольц. Эта книжка, видимо, вообще сильное влияние оказала. Что интересно: у В.-П. интеграл Лебега появляется прежде интеграла Римана. А сетей я там что-то не нашел

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение18.06.2014, 14:15 
g______d в сообщении #875841 писал(а):
Рудин, кстати, тоже сначала определяет по Дарбу. Мне такой подход очень нравится,

Мне тоже. Но я не имею на него права.

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение26.06.2014, 16:18 
У Лорана Шварца ("Анализ") интеграл Римана строится следующим образом.

1) Пусть имеется неотрицательная функция $f:I\to\mathbb{R},\quad I=[a,b]$. Определим верхний интеграл от $f$ :
$$\int^*f=\inf\Big\{\int \psi\mid \psi\ge f,\quad \psi-\mbox{ступенчатая функция}\Big\}$$
Ступенчатые функции строятся по конечным разбиениям отрезка $I$ на подотрезки.

2) Рассмотрим отображение отрезка в банахово пространство $g:I\to X$. Предположим, существует такая последовательность ступенчатых функций, $g_n:I\to X$, что
$$\int^*\|g-g_n\|_X\to 0,\quad n\to\infty\qquad (*)$$
Тогда интеграл Римана от $g$ по определению равен пределу последовательности $\int g_n,\quad n\to \infty$
(Теорема. Данный предел существует и не зависит от выбора последовательности, удовлетворяющей (*))
Если к этому добавить требование ограниченности функции $g$ то получится стандартный интеграл Римана.

Интересно, что если в этом определениии заменить отрезок $I$ на пространство с мерой и сигма алгеброй (мера всего пространства конечна), а ступенчатые функции на простые , то получится определение интеграла Лебега , причем сразу для функций со значениями в банаховом пространстве. Еще интересно, что в этом определении не фигурирует понятие измеримости функции.

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение26.06.2014, 20:09 
Аватара пользователя
Аксакалы мех-мата рассказывали мне, что как-то курс мат.анализа на 1-2-м курсе взялся прочесть Е.Б. Дынкин. Так вот, в 3-м семестре он умудрился сначала прочесть интегралы Римана-Стилтьеса, ,Лебега и т.п., а затем за одну лекцию "получил" все основные теоремы теории рядов как простые следствия интеграла по дискретной мере. Вот только экзамен потом большинство студентов пересдавало раза по 3.
Интересно, что будет, если кто-либо прочтет лекции по мат. анализу, руководствуясь учебником Л. Шварца?

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение26.06.2014, 20:22 
я думаю, что такие курсы надо читать аспирантам, я вообще думаю, что в аспирантуре должны продолжаться регулярные занятия по основным дисциплинам, а не только кафедральные спецкурсы.

-- Чт июн 26, 2014 20:23:03 --

Brukvalub в сообщении #880437 писал(а):
Е.Б. Дынкин. Так вот, в 3-м семестре он умудрился сначала прочесть интегралы Римана-Стилтьеса, ,Лебега и т.п., а затем за одну лекцию "получил" все основные теоремы теории рядов как простые следствия интеграла по дискретной мере. Вот только экзамен потом большинство студентов пересдавало раза по 3.

что-то подобное я слышал про курс механики Арнольда

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 07:36 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Это знаменитая история! С.П. Новиков пригласил Арнольда прочесть курс теоретической механики в своем экспериментальном потоке, после чего по результатам сессии Ученый совет мех-мата вынужден был собраться и, чтобы хоть как-то спасти ситуацию, исключил из учебного плана этого потока курс теормеха. :D

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 09:07 

(Оффтоп)

Когда Арнольд впервые читал свой курс в 1966-1968 гг, то страдали и преподаватели с кафедры теоретической механики.
Ходил анекдот. Мне экзамен принимать, а я ещё про когомологии не выучил.

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 11:04 
Brukvalub в сообщении #880638 писал(а):

(Оффтоп)

Это знаменитая история! С.П. Новиков пригласил Арнольда прочесть курс теоретической механики в своем экспериментальном потоке, после чего по результатам сессии Ученый совет мех-мата вынужден был собраться и, чтобы хоть как-то спасти ситуацию, исключил из учебного плана этого потока курс теормеха. :D

Эксперименты должны делаться в другом месте :-)

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 16:01 
просматривается некоторый теоретио-функциональный способ описания пространства интегрируемых по Риману функций. Введем в пространстве ограниченных на отрезке $[a,b]$ функций полунорму
$$\|f\|=\int^*|f|$$ Через $B$ обозначим факторпространство по ядру этой полунормы. Через $S\subset B$ обозначим пространство ступенчатых функций (ступеньки строятся на интервалах, на которые отрезок разбивается конечным числом точек) факторизованное тем же отношением эквивалентности. Тогда $\overline S=\mathcal R[a,b]$. Чертой обозначено замыкание.

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 18:47 
Так получится интеграл Лебега и пространство абсолютно интегрируемых функций. Вообще же есть критерий Лебега о том, что функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она почти всюду непрерывна (Шилов и Гуревич, Интеграл, Мера и Производная, гл. 1 параграф 7).

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение27.06.2014, 19:59 
а Вы разницу между замыканием и пополнением понимаете? :wink:

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение28.06.2014, 09:20 
Да, где-то что-то когда-то слышал :-( С другой стороны, ступенчатые функции плотны в пространстве абсолютно интегрируемых, так что не совсем понятно, что в данном случае это разные вещи.

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение28.06.2014, 10:54 
Немного вульгарное объясненение

Норма $\|\cdot\|$ совпадает с $\|\cdot\|_{L^1[a,b]}$ на пространстве $S$, но вообще-то это разные нормы. (На самом деле, как полунормы они задают даже разные классы эквивалентности функций)

Рассмотрим функцию Дирихле $D(x)=1,\quad x\in\mathbb{Q}$ и $D(x)=0$ для остальных чисел $x$. Покажем, что она не принадлежит $\overline S$. Предположим противное: найдется последовательность $f_n\in S$ такая, что $\|f_n-D\|\to 0$
заметим, что $\|f_n-D\|_{L^1[a,b]}\le \|f_n-D\|\to 0$
Поскольку $\|D\|_{L^1[a,b]}=0$ имеем $\|f_n\|=\|f_n\|_{L^1[a,b]}\to 0$
Тогда $\|f_n-D\|$ не стремится к нулю: $\|f_n-D\|\ge\|D\|-\|f_n\|$, и можете проверить, что $\|D\|=b-a$
Противоречие

-- Сб июн 28, 2014 11:47:16 --

(Оффтоп)

там кстати несколькими поставми выше слово "подотрезки" надо заменить на интервалы\полуинтервалы

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение28.06.2014, 13:15 
Спасибо, понятно теперь, просто $\int^*$ у Шварца -- это верхний интеграл Дарбу, так что действительно всё срастается. Хорошо, не буду больше мешать. :-)

 
 
 
 Re: интеграл Римана
Сообщение28.06.2014, 22:49 
ewert в сообщении #876749 писал(а):
g______d в сообщении #875841 писал(а):
Рудин, кстати, тоже сначала определяет по Дарбу. Мне такой подход очень нравится,

Мне тоже. Но я не имею на него права.
А почему? Это шутка или в самом деле?

 
 
 [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group