Гравитация

[Munin]

epros в сообщении #879734 писал(а):

Если измерять ускорение свободного падения с помощью местных часов и линеек, а не каким-то неправильным, координатно зависимым способом

Проблема в том, что с помощью местных часов и линеек - тоже неправильный способ.

Правильного вообще нет.

А координатные величины тоже хороши - в своём смысле.

epros в сообщении #879734 писал(а):

Если бы в ОТО это было не так, то она не была бы теорией, применимой на практике.

Однако вот парадокс: в ОТО это не так, но она теория, применимая на практике!

epros в сообщении #879734 писал(а):

Употребление слов про четырёхмерие ни в коей мере не отменяет понятие систем отсчёта

Которых никто и не предлагал отменять.

epros в сообщении #879734 писал(а):

систем отсчёта, относительно которых Земля никуда не ускоряется

А есть ещё системы отсчёта, относительно которых Земля ускоряется вверх. И что теперь?

Кажется, вы не понимаете, что ОТО - это теория всё-таки относительности.

[epros]

Munin в сообщении #879736 писал(а):

epros в сообщении #879734 писал(а):

Если измерять ускорение свободного падения с помощью местных часов и линеек, а не каким-то неправильным, координатно зависимым способом

Проблема в том, что с помощью местных часов и линеек - тоже неправильный способ.

Правильного вообще нет.

Да ну? И что же неправильно? По Вашему сейчас выйдет, что расстояния и промежутки времени вообще неопределимы, так что нам остаётся только медитировать над четырёхмерием.

Munin в сообщении #879736 писал(а):

А координатные величины тоже хороши - в своём смысле.

Координатные величины столь же произвольны, как и сами координаты. И в этом смысле они плохи.

Munin в сообщении #879736 писал(а):

epros в сообщении #879734 писал(а):

Если бы в ОТО это было не так, то она не была бы теорией, применимой на практике.

Однако вот парадокс: в ОТО это не так, но она теория, применимая на практике!

Вам померещилось, сплюньте от греха.

Munin в сообщении #879736 писал(а):

Кажется, вы не понимаете, что ОТО - это теория всё-таки относительности.

Ба, да я-то как раз понимаю. А вот Вы, похоже, держите её за какую-то теорию абсолюта: Что не инвариантно, то смысла не имеет. Т.е. я не имею уже права говорить о чём-то, опеделённом только в рамках конкретной выбранной СО.

[Arkhipov]

Еще один момент остался невыясненным. С высоты h падает стержень (или как уже обсуждалось 2 частицы).
Когда он пролетает мимо меня я засекаю время пролета. Неужели полученная таким образом длина не будет согласована с "мифическим релятивистским сокращением"?

[Munin]

epros в сообщении #879771 писал(а):

По Вашему сейчас выйдет, что расстояния и промежутки времени вообще неопределимы

Нет, никогда так не выйдет. Потому что я не путаю расстояния и промежутки времени с координатами и другими средствами описания.

epros в сообщении #879771 писал(а):

Вам померещилось, сплюньте от греха.

Мне померещилось, что ОТО применима на практике?

epros в сообщении #879771 писал(а):

Ба, да я-то как раз понимаю.

Тогда должны и понимать, что ваш взгляд на Землю как на "нечто целостное и практически даже почти твёрдое" - тоже относительный.

А вы пока утверждаете противоположное.

epros в сообщении #879771 писал(а):

Т.е. я не имею уже права говорить о чём-то, опеделённом только в рамках конкретной выбранной СО.

Да это вы мне в таком праве отказываете :-) заявляя, что я не могу считать Землю ускоряющейся вверх во всех точках её поверхности.

Arkhipov в сообщении #879781 писал(а):

Еще один момент остался невыясненным. С высоты h падает стержень (или как уже обсуждалось 2 частицы).
Когда он пролетает мимо меня я засекаю время пролета. Неужели полученная таким образом длина не будет согласована с "мифическим релятивистским сокращением"?

Рассчитайте, и во всём разберётесь.

Про "мифическое" - мне кажется, Someone перегнул палку, либо придирался к невнятной словесной формулировке.

[Someone]

Munin в сообщении #879796 писал(а):

Про "мифическое" - мне кажется, Someone перегнул палку, либо придирался к невнятной словесной формулировке.

Где-то раньше в этой теме было сказано, что относительное движение свободно падающих в "лифте Эйнштейна" тел объясняется "релятивистским сокращением длин". По-моему, оно объясняется гравитационным замедлением времени. Именно в этом смысле употреблялось слово "мифическое".

Arkhipov в сообщении #879781 писал(а):

Еще один момент остался невыясненным. С высоты h падает стержень (или как уже обсуждалось 2 частицы).
Когда он пролетает мимо меня я засекаю время пролета. Неужели полученная таким образом длина не будет согласована с "мифическим релятивистским сокращением"?

Вообще-то, стержень и две частицы — не одно и то же. Частицы падают с разными ускорениями, а в стержне будут возникать внутренние напряжения, и он не будет падать так же, как одна частица. Задача о движении стержня мне кажется существенно более сложной.
Что касается падения двух частиц, то всё в том же сообщении http://dxdy.ru/post541454.html#p541454 задача о движении частицы решена, и явно выписана зависимость координат и скорости от времени.

Пусть частицы падают по одной вертикали, начальные скорости частиц (в момент $t=0$) нулевые, первая частица в начальный момент находится на высоте $z_0>0$, вторая — на высоте $z_1>z_0$. Расстояние между частицами в метрике (6) равно просто $l_0=z_1-z_0$. Используя формулы (15) и (13), легко получить зависимость этого расстояния от времени:

$$l(t)=\frac{l_0}{\ch\frac{gt}c}.$$

Поскольку скорость первой частицы, согласно последней из формул (14), равна

$$v_z=-c\left(1+\frac{gz_0}{c^2}\right)\frac{\sh\frac{gt}c}{\ch^2\frac{gt}c},$$

а скорость второй частицы получается заменой $z_0$ на $z_1$, я не вижу, как можно было бы представить выражение $\frac{l_0}{\ch\frac{gt}c}$ в виде $l_0\sqrt{1-\frac{v_z^2}{c^2}}$.

[Munin]

Someone в сообщении #880073 писал(а):

Где-то раньше в этой теме было сказано, что относительное движение свободно падающих в "лифте Эйнштейна" тел объясняется "релятивистским сокращением длин". По-моему, оно объясняется гравитационным замедлением времени.

Ну да, конечно.

Someone в сообщении #880073 писал(а):

Именно в этом смысле употреблялось слово "мифическое".

Но мифическое здесь только "объяснение".

Someone в сообщении #880073 писал(а):

Вообще-то, стержень и две частицы — не одно и то же.

Это всё второстепенно. Для начала, пускай сам считать учится. Не водите его за ручку.

[Someone]

Munin в сообщении #880083 писал(а):

Но мифическое здесь только "объяснение".

А я о чём говорю? Об объяснении.

Munin в сообщении #879712 писал(а):

Можете для справки привести символы Кристоффеля в Шварцшильде?

Могу, наверное. Если не ошибусь в наборе.
Метрика:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_g}r\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}r}-r^2(\sin^2\theta\,d\varphi^2+d\theta^2).$$

Символы Кристоффеля:

$$\Gamma^0_{01}=\Gamma^0_{10}=\frac{r_g}{2r(r-r_g)},$$

$$\Gamma^1_{00}=\frac{c^2r_g(r-r_g)}{2r^3},\quad\Gamma^1_{11}=-\frac{r_g}{2r(r-r_g)},\quad\Gamma^1_{22}=-(r-r_g)\sin^2\theta,\quad\Gamma^1_{33}=-r+r_g,$$

$$\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac 1r,\quad\Gamma^2_{23}=\Gamma^2_{32}=\ctg\theta,$$

$$\Gamma^3_{22}=-\cos\theta\sin\theta,\quad\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac 1r.$$

[Arkhipov]

Someone, спасибо. Не понятно только, что значит в "лифте Эйнштейна? Я писал "относительно земного наблюдателя".
Попытаюсь осмыслить приведенный Вами результат. Я действительно полагал, что выражения для относительного положения должны совпасть. Когда получится, обязательно напишу.
P.S. Тем не менее, у меня пока остается ощущение, что если не учитывать очень слабое внутреннее напряжение стержня, обусловленное небольшой разницей ускорения свободного падения на разных высотах, то длина стержня должна сократится ровно в $\gamma$ раз. Буду очень признателен всем, кто приведет другие механизмы изменения этой величины.

-- 26.06.2014, 06:30 --

Может быть, все проще:
Из Вашей формулы (12) можно заключить, что:
$1+\frac{gz_0}{c^2}=\ch\left(\frac{gt}{c}\right)$
И тогда все выполняется точно.

-- 26.06.2014, 06:41 --

Да, теперь я уверен, что как уже говорил,
1) никакого внутреннего напряжения не будет вследствие отсутствия кривизны и, следовательно, приливных сил
2) единственный эффект сближения в системе отсчета неподвижного наблюдателя, связан с релятивистским сокращением длины

[epros]

Arkhipov в сообщении #880105 писал(а):

Да, теперь я уверен, что как уже говорил,
1) никакого внутреннего напряжения не будет вследствие отсутствия кривизны и, следовательно, приливных сил
2) единственный эффект сближения в системе отсчета неподвижного наблюдателя, связан с релятивистским сокращением длины

Опять непонятно о какой именно задаче Вы говорите и в результате опять могут возникнуть возражения.

- Если Вы разгоняете все точки стержня с одинаковыми ускорениями, то напряжения непременно возникнут.
Но:
- Стержень можно разгонять, сохраняя расстояния между его точками в сопутствующей СО, тогда напряжений не возникнет.

- Непонятно кто с кем сближается и в какой СО. Правильно ли я понял, что у нас есть пространство Минковского, «неподвижный наблюдатель» находится в ускоренном лифте, а глядит он на расстояние между двумя свободно падающими из изначально неподвижного состояния объектами?

[Arkhipov]

Я ничего не разгоняю. Я стою на описанном Вами блине и наблюдаю, как две точки, изначально зависшие на некоторой высоте (например отпущенные с вертолета) начинают падение в однородном поле. Изначальное расстояние между точками $l_0$. По мере приближения ко мне это расстояние уменьшается. В момент, когда они пролетают мимо меня, я засекаю время их пролета и вычисляю расстояние между ними. Это расстояние меньше в $\gamma$ раз исходного.
При этом, если я сделал тот же эксперимент в кабине падающего лифта, я не вижу причин для того, чтобы расстояние изменялось. Более того, если в этой самой кабине я вдруг обнаружу, что точки сдвинулись друг относительно друга, я скажу - поле неоднородно, есть приливные силы, есть по-видимому гравитация. Тогда я не смогу спокойно заменить Ваш блин, разгоняющейся каменюкой.

[epros]

Arkhipov в сообщении #880184 писал(а):

При этом, если я сделал тот же эксперимент в кабине падающего лифта, я не вижу причин для того, чтобы расстояние изменялось.

СО жёсткого равноускоренного лифта полностью эквивалентна статической СО над блином. Вы будете наблюдать точно такое же изменение расстояний между объектами.

Arkhipov в сообщении #880184 писал(а):

Более того, если в этой самой кабине я вдруг обнаружу, что точки сдвинулись друг относительно друга, я скажу - поле неоднородно, есть приливные силы, есть по-видимому гравитация.

Поле неоднородно, но это не означает наличия приливных сил (упругий стержень будет падать без деформаций).

Гравитация есть, потому что ускорение СО относительно свободно падающего объекта — это и есть гравитация (принцип эквивалентности).

[Arkhipov]

Опять оговорился. Я уже признавал, по Вашему точному замечанию, что поле неоднородно . Лучше сказать, что кривизна поля равна 0.
Не понял только о жестком равноускоренном лифте. Я имел ввиду свободно падающий лифт, а не лифт с ракетным двигателем.
Как, Вы считаете, после всего сказанного, задача поставлена достаточно корректно, чтобы однозначно ответить:

epros в сообщении #880208 писал(а):

упругий стержень будет падать без деформаций.

?

Спасибо.

[Someone]

Arkhipov в сообщении #880105 писал(а):

Из Вашей формулы (12) можно заключить, что:
$1+\frac{gz_0}{c^2}=\ch\left(\frac{gt}{c}\right)$

Это бред. $z_0$ — начальное значение координаты. То есть, просто некоторое число. Оно не может быть функцией времени.

Arkhipov в сообщении #880105 писал(а):

Не понятно только, что значит в "лифте Эйнштейна? Я писал "относительно земного наблюдателя".

Может быть, я невнимательно отнёсся к вашему вопросу. Мне в данный момент некогда заниматься расчётами, но уверяю Вас, что для двух свободно падающих частиц ничего похожего на "релятивистское сокращение длин" не будет.

Вероятно, можно подобрать условия, когда стержень, падая в гравитационном поле Земли, сохраняет длину в собственной системе отсчёта (ещё надо суметь понять, что это такое). Тогда, может быть, изменение его длины можно будет с хорошей точностью описать этим самым "релятивистским сокращением длины". Но в этом случае по меньшей мере один из концов стержня будет двигаться не по геодезической, то есть, указанное сокращение не имеет отношения к девиации геодезических и вообще к гравитационным эффектам. Речь же шла о "разглядывании гравитационного поля в мелкоскоп".

Кстати, ведь в том самом сообщении http://dxdy.ru/post541454.html#p541454 стержень в собственной системе отсчёта движется по инерции в пространстве-времени Минковского (что это не так, стержень "узнает" только в момент столкновения с гравитирующей плоскостью). Однако с точки зрения наблюдателя, расположенного на этой плоскости, длина стержня изменяется совсем не так, как должна изменяться при релятивистском сокращении длин.

Arkhipov в сообщении #880214 писал(а):

Я имел ввиду свободно падающий лифт

А в "лифте", свободно падающем в гравитационном поле Земли, расстояние между двумя также свободно падающими частицами будет не сокращаться, а расти. (Речь идёт именно о падающем, а не о взлетающем "лифте".)

[Arkhipov]

Нет, прошу прощения у модераторов, бред это вот это:

Someone в сообщении #879629 писал(а):

Не понял. Две частицы на разной высоте ускоряются по-разному потому, что на разной высоте напряжённость поля разная (в ньютоновской теории) или кривизна пространства-времени разная (в ОТО). Причём тут "релятивистское сокращение длины"? Вы вообще знаете, о чём говорите? Можете сформулировать, что такое это "сокращение"?

Кривизна пространства-времени может быть одинаковой, при этом две соседние геодезические будут либо сближаться, либо удаляться.

По поводу формулы, я подставил туда конечное значение координаты z, поэтому время Однозначно определено, это время падения до поверхности.

Мне снова непонятно почему Вы ставите диагнозы не имея времени разобраться.

[epros]

Arkhipov в сообщении #880214 писал(а):

Не понял только о жестком равноускоренном лифте. Я имел ввиду свободно падающий лифт, а не лифт с ракетным двигателем.

Непонятно зачем Вам свободно падающий лифт, если Вы сравниваете его не с ИСО в пространстве Минковского, а с СО, в которой есть тяготение. Разумеется это разные вещи.

Свободно падающий на тяготеющий блин лифт внутренне будет неотличим (в рамках ОТО) от ИСО в пространстве Минковского.