Доказательство того, что множество - группа.

[ET]

А вот вызывает антирес, а есть ли такой многочлен $f$, что группа $G_f$ имеет порядок 3?

[Mitrius_Math]

ИСН в сообщении #878929 писал(а):

Группа - это множество-с-операцией.

А бинарная операция разве не есть множество упорядоченных пар?

[ET]

Mitrius_Math в сообщении #879516 писал(а):

ИСН в сообщении #878929 писал(а):

Группа - это множество-с-операцией.

А бинарная операция разве не есть множество упорядоченных пар?

Долго думал, а птом понял, что бинарное отношение вроде как этим и является, а вот операция - вряд ли

[ИСН]

ET в сообщении #879511 писал(а):

А вот вызывает антирес, а есть ли такой многочлен $f$, что группа $G_f$ имеет порядок 3?

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$, нет?

[ET]

ИСН в сообщении #879560 писал(а):

ET в сообщении #879511 писал(а):

А вот вызывает антирес, а есть ли такой многочлен $f$, что группа $G_f$ имеет порядок 3?

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$, нет?

А тут порядок разве не 6? Тут же вроде вся $S_3$

[ИСН]

Чёрт, да. Я не то имел в виду.
$x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1$, нет?

[ET]

Да! Оно! Спасибо! Просто вчера подумалось, а примера не придумалось

[arseniiv]

ET в сообщении #879524 писал(а):

Долго думал, а птом понял, что бинарное отношение вроде как этим и является, а вот операция - вряд ли

Практически — является. Только обычно функцию определяют не как функциональное отношение, а как тройку из такого отношения, области определения и области значений. Группа при таком определении будет выглядеть как $(A, (*, A\times A, A))$ — целых две лишних $A$ (по $A\times A$ можно восстановить $A$). Если брать голое отношение, будет $(A, *)$, и одной только $*$ в общем случае для восстановления $(A, *)$ будет недоставать, хотя в случае группы хватит. Только вот то или другое теоретико-множественное выражение ничего нового не даёт.

[nosochego]

Munin
Если не ошибаюсь, то являются.

[Munin]

nosochego в сообщении #879887 писал(а):

Если не ошибаюсь, то являются.

Отлично. Теперь самое интересное: докажите, что не ошибаетесь.

[nosochego]

1. Замкнутость групповой операции.
Мы умножаем подстановку на подстановку с такой же цикловой структурой и получаем третью подстановку с такой же цикловой структурой.
2. Единичным элементом остается тождественная подстановка.
3. Ассоциативность умножения наследуется от ассоциативности умножения подстановок.

[Munin]

nosochego в сообщении #880042 писал(а):

Мы умножаем подстановку на подстановку с такой же цикловой структурой и получаем третью подстановку с такой же цикловой структурой.

"Мамой клянусь"?