Доказательство того, что множество - группа.

[nosochego]

Добрый день.

Пусть $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2x_3x_4$. Докажите, что множество $G_f = \{ \sigma \in S_4 | f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}, x_{\sigma(4)}) = f(x_1, x_2, x_3, x_4)\}$ является группой.

Я так понимаю, что элементами этой группы будут произведения вида $x_1x_2x_3x_4$, где индексы находятся в $S_4$
Но не могу понять, что означает эта строка:
$ f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}, x_{\sigma(4)}) = f(x_1, x_2, x_3, x_4)$

[AV_77]

$S_4$ - это группа подстановок 4-й степени. Каждая подстановка действует на многочлене переставляя переменные. Например, если $g(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2x_3$ и $\sigma = (12)$, то $g(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}) = x_2 + x_1x_3$.

[nosochego]

Т.е. у меня будет группа подстановок из элементов $x_1x_2x_3x_4$?

[ИСН]

Хрень какая-то, например. Множество (не только это, а любое) не может являться группой, примерно как гипсовый бюст Ленина не может являться группой, просто потому, что это объект другой природы. Группа - это не множество. Группа - это множество-с-операцией. А какая тут операция? А?

[ET]

Я чет ниче не понимаю:
Дано: $G_f= \{ \sigma \in S_4 | ...$
Тогда почему

Цитата:

элементами этой группы будут произведения вида...

???
Ну все, ихмо, ясно написано, какие у этой группы элементы. Или я туплю?
Да и в качестве $f$ тут даден симметрический многочлен...
(что намекает на то, что определение $f$ видимо вообще из другой задачи, ибо кмк, задача решается "для любого многочлена $f$")

[nosochego]

ИСН
Да, конечно же множество, а не группа.
ET
Нет, в данном случае это отдельная задача.

А не могли бы Вы намекнуть, какая тут может быть групповая операция?

[Munin]

nosochego
Вам уже дана группа подстановок $S_4.$ В ней, разумеется, есть и элементы, и операция, хорошо известные.

Теперь вам задают вопрос: если взять подмножество элементов этой группы, то оно будет образовывать подгруппу, или нет? Относительно той же самой операции, разумеется.

Какое именно подмножество - такое, которое сохраняет многочлен.

[ИСН]

Если многочлен - это произведение всех четырёх переменных, то его любая перестановка сохраняет.
Но вообще я понял: имелся в виду не этот многочлен, а какой-то вообще. Да, теперь это делает смысл.

[Munin]

Это могло быть типовое задание, которое раздали всем одинаковое, а индивидуализировали только конкретные многочлены.

[nosochego]

Я так понял, что здесь вся группа $S_4$ будет входить в это множества. Я прав?

[Munin]

Здесь да :-) А если бы многочлен был $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-x_3x_4$?

-- 25.06.2014 00:36:09 --

И ещё вопрос (не многочлен, они же не обязательно многочлены): $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2x_3(\sqrt{x_4})^2.$

[ИСН]

$-x_3x_4$ - это фигня. А вот что, если бы там было $x_1x_2-x_3x_4$?

[Munin]

ИСН
Не палите.

[nosochego]

Сильно сомневаюсь, но:
а)Только те подстановки, которые меняют местами 3 и 4 элементы? 1 и 2 тоже могут меняться, но только между собой.
б)Те подстановки, где 4 элемент остается на месте?

[Munin]

Оба ответа правильны.

-- 25.06.2014 02:20:45 --

Кстати, подмножества-то вы нашли, а вот являются ли они подгруппами?