2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение23.06.2014, 20:49 
Добрый день.

Пусть $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2x_3x_4$. Докажите, что множество $G_f = \{ \sigma \in S_4 | f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}, x_{\sigma(4)}) = f(x_1, x_2, x_3, x_4)\}$ является группой.

Я так понимаю, что элементами этой группы будут произведения вида $x_1x_2x_3x_4$, где индексы находятся в $S_4$
Но не могу понять, что означает эта строка:
$ f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}, x_{\sigma(4)}) = f(x_1, x_2, x_3, x_4)$

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение23.06.2014, 20:54 
$S_4$ - это группа подстановок 4-й степени. Каждая подстановка действует на многочлене переставляя переменные. Например, если $g(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2x_3$ и $\sigma = (12)$, то $g(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}) = x_2 + x_1x_3$.

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение23.06.2014, 21:06 
Т.е. у меня будет группа подстановок из элементов $x_1x_2x_3x_4$?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение23.06.2014, 22:19 
Аватара пользователя
Хрень какая-то, например. Множество (не только это, а любое) не может являться группой, примерно как гипсовый бюст Ленина не может являться группой, просто потому, что это объект другой природы. Группа - это не множество. Группа - это множество-с-операцией. А какая тут операция? А?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 05:51 
Я чет ниче не понимаю:
Дано: $G_f= \{ \sigma \in S_4 | ...$
Тогда почему
Цитата:
элементами этой группы будут произведения вида...

???
Ну все, ихмо, ясно написано, какие у этой группы элементы. Или я туплю?
Да и в качестве $f$ тут даден симметрический многочлен...
(что намекает на то, что определение $f$ видимо вообще из другой задачи, ибо кмк, задача решается "для любого многочлена $f$")

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 17:42 
ИСН
Да, конечно же множество, а не группа.
ET
Нет, в данном случае это отдельная задача.

А не могли бы Вы намекнуть, какая тут может быть групповая операция?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 17:50 
Аватара пользователя
nosochego
Вам уже дана группа подстановок $S_4.$ В ней, разумеется, есть и элементы, и операция, хорошо известные.

Теперь вам задают вопрос: если взять подмножество элементов этой группы, то оно будет образовывать подгруппу, или нет? Относительно той же самой операции, разумеется.

Какое именно подмножество - такое, которое сохраняет многочлен.

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 19:43 
Аватара пользователя
Если многочлен - это произведение всех четырёх переменных, то его любая перестановка сохраняет.
Но вообще я понял: имелся в виду не этот многочлен, а какой-то вообще. Да, теперь это делает смысл.

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 21:45 
Аватара пользователя
Это могло быть типовое задание, которое раздали всем одинаковое, а индивидуализировали только конкретные многочлены.

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 23:26 
Я так понял, что здесь вся группа $S_4$ будет входить в это множества. Я прав?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 23:35 
Аватара пользователя
Здесь да :-) А если бы многочлен был $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=-x_3x_4$?

-- 25.06.2014 00:36:09 --

И ещё вопрос (не многочлен, они же не обязательно многочлены): $f(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1x_2x_3(\sqrt{x_4})^2.$

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 23:43 
Аватара пользователя
$-x_3x_4$ - это фигня. А вот что, если бы там было $x_1x_2-x_3x_4$?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение24.06.2014, 23:49 
Аватара пользователя
ИСН
Не палите.

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение25.06.2014, 00:15 
Сильно сомневаюсь, но:
а)Только те подстановки, которые меняют местами 3 и 4 элементы? 1 и 2 тоже могут меняться, но только между собой.
б)Те подстановки, где 4 элемент остается на месте?

 
 
 
 Re: Доказательство того, что множество - группа.
Сообщение25.06.2014, 01:20 
Аватара пользователя
Оба ответа правильны.

-- 25.06.2014 02:20:45 --

Кстати, подмножества-то вы нашли, а вот являются ли они подгруппами?

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group