Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

V_I_Sushkov в сообщении #875181 писал(а):

Создать другой способ?
Но ведь этот создавали 300 лет!

Телеги строили тысячилетиями, но потом появился автомобиль.

[Munin]

Вот сейчас объяснял "на пальцах" понятие предела ( post875302.html#p875302 ), и вспомнил такую застарелую занозу.

$$\forall\varepsilon>0\quad\exists\;K\colon\quad\underline{\forall k>K}\quad|a_k-A|<\varepsilon$$

Моё недоумение касается подчёркнутого квантора ``$\forall k>K$'': неужели нам необходимо требовать именно строгого выполнения для всех $k$? Почему нельзя допустить редких выбросов? (Я понимаю, что в топологии можно сказать, чтобы $A$ было существующей и единственной точкой сгущения данной последовательности, но как это выразить на языке эпсилон-дельта?)

[Oleg Zubelevich]

если допускать "выбросы" то определение непрерывной функции в терминах последовательностей не будет эквивалентно определению в терминах окрестностей. Определение замкнутости множества в терминах последовательностей тоже разрушится. Понятие "предел последовательности" нужно, что бы переводить топологические понятия на язык последовательностей. Язык последовательностей проще , но не во всяком топологическом пространстве он достаточен.

-- Сб июн 14, 2014 14:23:10 --

Munin в сообщении #875307 писал(а):

понимаю, что в топологии можно сказать, чтобы $A$ было существующей и единственной точкой сгущения данной последовательности,

последоватеьность $x_{2k}=1/k,\quad x_{2k+1}=k,\quad k\in\mathbb{N}$ имеет единственную точку сгущения, но не имеет предела

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875307 писал(а):

Вот сейчас объяснял "на пальцах" понятие предела ( post875302.html#p875302 )

Да, кстати, всю теорию вещественных чисел и пределов последовательностей, включая полноту, можно довольно просто изложить в терминах бесконечных десятичных дробей и их округлений, и не морочить людям голову эпсилонами. У меня про это есть страничка: http://mathfoolery.com/Brochure/minimalistic_reals

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875324 писал(а):

последоватеьность $x_{2k}=1/k,\quad x_{2k+1}=k,\quad k\in\mathbb{N}$ имеет единственную точку сгущения, но не имеет предела

На расширенной числовой прямой - две. Дайте другой пример.

-- 14.06.2014 16:17:29 --

Oleg Zubelevich в сообщении #875324 писал(а):

если допускать "выбросы" то определение непрерывной функции в терминах последовательностей не будет эквивалентно определению в терминах окрестностей.

А не жалко. Почему бы и не сказать, что это два определения и два разных понятия?

Oleg Zubelevich в сообщении #875324 писал(а):

Язык последовательностей проще , но не во всяком топологическом пространстве он достаточен.

Ну вот и занятие для зануд*: очертить, где недостаточен. И для практиков - использовать что проще, а для зануд, опять же, - что требуется.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875337 писал(а):

Ну вот и занятие для зануд*: очертить, где недостаточен.

Это элементарно, Ватсон, если у каждой точки есть счётная база окрестностей, то последовательностей достаточно, а если нет -- то нет. Посмотрите в любом учебнике по общей тупологии или дубологии, не помню точно

[Munin]

mishafromusa в сообщении #875326 писал(а):

Да, кстати, всю теорию вещественных чисел и пределов последовательностей, включая полноту, можно довольно просто изложить в терминах бесконечных десятичных дробей и их округлений, и не морочить людям голову эпсилонами. У меня про это есть страничка: http://mathfoolery.com/Brochure/minimalistic_reals

К сожалению, вот этот пункт

Цитата:

4) For any fixed $n$ one of the sequences $[[a]_k+[b]_k]_n$ or $[[a]_k+[b]_k]_{n+1}$ stabilizes for $k>K(n),$ the same for $-,*$ and $/$ (if $b$ is not $0$) instead of $+.$ We take it as the definition of the arithmetical operations.

выглядит весьма мутно. Неясно, что считать $n$-й цифрой суммы.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #875337 писал(а):

На расширенной числовой прямой - две. Дайте другой пример.

Если последовательность в метрическом компакте имеет единственную точку накопления, то эта точка является пределом последовательности. На компакте примеров нет.

Munin в сообщении #875337 писал(а):

А не жалко. Почему бы и не сказать, что это два определения и два разных понятия?

вопрос ,зачем это надо? Если у Вас есть задачи, которы етребуют именно такого определения -- пожалуйста, табу тут нет. Кстати, понятие "предел" формуализуется в терминах фильтров, это вообще не связано с топологией. Аппарат очень гибкий, любые фильтры можете задавать , на какие только фантазии хватит.

-- Сб июн 14, 2014 16:05:26 --

Munin в сообщении #875337 писал(а):

Ну вот и занятие для зануд*
: очертить, где недостаточен. И для практиков - использовать что проще, а для зануд, опять же, - что требуется.

это все очень важно и очень по делу. например, для множества измеримых функций на отрезке очень естественно рассматривать поточечную сходимость поледовательностей, но топология поточечной сходимости в терминах последовательностей не описывается

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875351 писал(а):

Неясно, что считать $n$-й цифрой суммы.

То, на чём она стабилизируется, как в обычной жизни

-- 14.06.2014, 09:33 --

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #875352 писал(а):

На компакте примеров нет.

Ну вот и хорошо. Значит, берём.

Oleg Zubelevich в сообщении #875352 писал(а):

вопрос ,зачем это надо?

Прямо щас - низачем. Но хотелось бы иметь возможность про запас на будущее.

Знаете, в физике никогда не знаешь, чего подкинет Природа. Например, взяла, и подкинула неабсолютность одновременности. Как с таким быть? Пришлось группу Галилея заменять на группу Лоренца. Это, в общем, близкородственные математические конструкции. От уравнения Пуассона к уравнениям Максвелла тоже можно перейти по понятным математическим вешкам. И т. п. примеры. Поэтому, для каждой теории физику хочется иметь возможность отступить от неё на шаг в сторону.

Oleg Zubelevich в сообщении #875352 писал(а):

например, для множества измеримых функций на отрезке очень естественно рассматривать поточечную сходимость поледовательностей, но топология поточечной сходимости в терминах последовательностей не описывается

Спасибо. Надо подумать. Здесь "на отрезке" мне не очень кажется "в струю" с идеей.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #874776 писал(а):

mishafromusa
Вот почему, когда вам задают конкретные вопросы, вы в ответ говорите общие слова?

И про полный курс (хотя бы схему, программу), и про целевую аудиторию.

Такое впечатление, что у вас ещё ничего толком не выношено и не сформулировано.

Вот программа: http://www.mathfoolery.com/Brochure/tab ... ontent_new Весь нестандартный материал написан, но пока не собран воедино, Целевая аудитория -- интересующиеся школьники. Есть несколько домашних работ. Вместо гипервещественного подхода можно рассказать про 2 переменные и теорему о неявной функции, дифференцирование под знаком интеграла; для нескольких переменных нужно немножко линейной алгебры.

[ewert]

Munin в сообщении #875307 писал(а):

: неужели нам необходимо требовать именно строгого выполнения для всех $k$?

Это элементарно, Ватсон. Если Вы понимаете, что строгость тут не при чём -- то и флаг Вам в руки. Если же не понимаете -- то и плывите дальше, к чему Вам (и вам) математика.

[mishafromusa]

Ни при чём причём при чём http://newslab.ru/blog/518568

[Munin]

ewert
Когда мне хочется послушать хамство - у меня есть к кому обратиться, спасибо...

-- 15.06.2014 02:12:52 --

mishafromusa
Это как вы длину окружности ищете методом исчерпания? И почему у вас Архимед "эврика" кричит не по тому поводу?

Первое впечатление: если вначале дать chapter 0, то потом всё можно читать по стандартной программе.

-- 15.06.2014 02:16:53 --

В целом забавно, но нигде нет интеграла по Риману.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #875544 писал(а):

mishafromusa
Это как вы длину окружности ищете методом исчерпания?

При помощи чайной ложки.

-- 14.06.2014, 18:44 --

Munin в сообщении #875544 писал(а):

И почему у вас Архимед "эврика" кричит не по тому поводу?

Не помню, наверное он был под шафэ.

-- 14.06.2014, 18:46 --

Munin в сообщении #875544 писал(а):

Первое впечатление: если вначале дать chapter 0, то потом всё можно читать по стандартной программе.

Первое впечатление часто бывает верным.

-- 14.06.2014, 18:49 --

Munin в сообщении #875544 писал(а):

В целом забавно, но нигде нет интеграла по Риману.

Для непрерывных функций -- по Риману или не по Риману -- одно и то же. Вы спрашивали -- я Вам показал, если не интересно, то значит так тому и быть.