Функан, оператор умножения на функцию

[bahad]

Задача. Пусть $\mu$ - ограниченная борелевская мера на прямой и $\varphi$ - ограниченная $\mu$-измеримая функция. Когда оператор $A_{\varphi}$ умножения на $\varphi$ в $L^2(\mu)$ имеет замкнутый образ?

Подскажите, с чего тут можно начать, идей нормальных нет, попытался по определению сделать, заступорился на месте, может нужно тут помухлевать с помощью проективных мер или поиграться со множеством точек, на которых функция отлична от нуля и рассмотреть ограничение меры на это множество или на множество существенных значений этой функции (это спектр данного оператора)...

[ewert]

Предположим, что оператор имеет нулевое ядро, т.е. взаимно однозначен (что, конечно, не обязательно, однако пока что -- предположим). Что для такого оператора означает замкнутость образа?...

[bahad]

ewert
Это означает, что оператор $A_{\varphi}$ непрерывен

[ewert]

bahad в сообщении #867673 писал(а):

Это означает, что оператор $A_{\varphi}$ непрерывен

Отнюдь.

[Oleg Zubelevich]

topic55622.html

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #867682 писал(а):

http://dxdy.ru/topic55622.html

Не нужны все эти изыски. Достаточно теоремы Банаха об обратном операторе. Тогда если ядро тривиально, то ответ очевиден, а поскольку оператор всё-таки очень простой -- то и с ядром должно быть очевидно, как бороться.

[bahad]

ewert в сообщении #867645 писал(а):

Предположим, что оператор имеет нулевое ядро, т.е. взаимно однозначен (что, конечно, не обязательно, однако пока что -- предположим). Что для такого оператора означает замкнутость образа?...

Почему, если нулевое ядро, то это взаимно однозначный (т.е. биективный) оператор? это же просто инъективный опрератор

[ewert]

bahad в сообщении #867698 писал(а):

Почему, если нулевое ядро, то это взаимно однозначный (т.е. биективный) оператор?

Во-первых, не т.е. Во-вторых, он тогда биективен между своими областью определения и образом. А тогда теорема Банаха фактически даёт критерий полноты образа (т.е. замкнутости в исходной топологии).

[bahad]

Пусть $A_{\varphi}x_n \rightarrow \psi$. Нужно узнать, когда $\psi \in ImA_{\varphi}$. Если мы применим обратный оператор, то получим, что $x_n \rightarrow A^{-1}_{\varphi}\psi$. Какой критерий мы получаем, и почему существует $A^{-1}_{\varphi}\psi$, вдруг $\psi \notin ImA_{\varphi}$?

[ewert]

ну послушайте, вспомните наконец теорему Банаха (об обратном операторе). Она ж идейная. Об чём она?...

[bahad]

ewert в сообщении #867837 писал(а):

ну послушайте, вспомните наконец теорему Банаха (об обратном операторе). Она ж идейная. Об чём она?...

Пусть $A$ - ограниченный биективный линейный оператор из $X$ в $Y$ (оба банаховы). Тогда существует обратный $A^{-1}$ с конечной нормой (т.е. непрерывный).

[ewert]

Ну прекрасно. Допустим, что образ замкнут (т.е. полон, если его рассматривать как пространство само по себе). Что из этого следует?...

-- Пн май 26, 2014 01:11:59 --

И, кстати:

bahad в сообщении #867839 писал(а):

Тогда существует обратный

Слово "существует" в этом контексте совершенно неуместно.

[bahad]

ewert в сообщении #867849 писал(а):

Ну прекрасно. Допустим, что образ замкнут (т.е. полон, если его рассматривать как пространство само по себе). Что из этого следует?...

-- Пн май 26, 2014 01:11:59 --

Что прообраз замкнут

[bahad]

ewert в сообщении #867849 писал(а):

Ну прекрасно. Допустим, что образ замкнут (т.е. полон, если его рассматривать как пространство само по себе). Что из этого следует?...

-- Пн май 26, 2014 01:11:59 --

И, кстати:

bahad в сообщении #867839 писал(а):

Тогда существует обратный

Слово "существует" в этом контексте совершенно неуместно.

В общем я понял, если ядро нулевое, то ответ действительно очевиден. А если ядро ненулевое? Нужно как-то построить обратное отображение. Нам мешают точки, в которых функция равна нулю. Если поставим ограничение такое, что мера этих точек равна нулю, то этого будет недостаточно, нужно посильнее условие.... Я прав?

[ewert]

Точки, где функция равна нулю, определяют ядро. А что из себя представляет ортогональное дополнение к этому ядру -- и как на этом дополнении ведёт себя оператор?...