2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 замкнутый оператор
Сообщение26.02.2012, 11:00 
$X,Y$ -- банаховы пространства.
$A:X\to Y$ -- замкнутый линейный оператор со всюду плотной областью определения $D\subseteq X$.

Доказать, что образ $A$ замкнут iff

существует такая постоянная $c$, что для всех $x\in D$ выполнено
$$\inf\{\|x+u\|_X\mid u\in\ker A\}\le c\|Ax\|_Y.$$

 
 
 
 Re: замкнутый оператор
Сообщение26.02.2012, 13:04 
Плотность $D$ в $X$ по-моему не нужна, не используется.
Замкнутость оператора по определеню означает замкнутость его графика $\Gamma=\{(x,Ax)| x\in D\}\subset X\times Y$. В пространстве $X\times Y$ вводится норма $\|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_X+\|y\|_Y$. Так как $\ker A=\Gamma\cap X$, то $\ker A$ замкнуто (все рассматриваем как подпространства $X\times Y$). Берем фактор-пространство $\widetilde\Gamma=\Gamma/\ker A$. Его элементами являются множества $\{(x+u,Ax)\}_{u\in\ker A}$, и оно банахово относительно соответствующей фактор-нормы $$\| \{(x+u,Ax)\}_{u\in\ker A}\|_{\widetilde\Gamma}=\inf\limits_{u\in \ker A} \|(x+u,Ax)\|_{X\times Y}=\inf\limits_{u\in\ker A}(\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y)=\inf\limits_{u\in\ker A}\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y$$

Отображение $\widetilde\Gamma\to \operatorname{im} A$, $\{(x+u,Ax)_{u\in\ker A}\}\mapsto Ax$, корректно определено и взаимно-однозначно. Кроме того,оно непрерывно. Поэтому по теореме Банаха об обратном операторе обратное отображение будет непрерывно тогда и только тогда, когда $\operatorname{im} A$ замкнуто. А непрерывность обратного отображение означает, что существует $c>0$ такое, что
$$\inf\limits_{u\in\ker A}\|x+u\|_X+\|Ax\|_Y\leqslant c\|Ax\|_Y$$
то есть, то что надо (с другой константой просто)

 
 
 
 Re: замкнутый оператор
Сообщение26.02.2012, 13:08 
угу. Вот это : topic55566.html
теперь почти очевидно.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group