2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:08 
ewert в сообщении #868177 писал(а):
Точки, где функция равна нулю, определяют ядро. А что из себя представляет ортогональное дополнение к этому ядру -- и как на этом дополнении ведёт себя оператор?...


Так как у нас пространство $L^2(\mu)$ - гильбертово, то оно представляется в виде прямой суммы $KerA_{\varphi}$ и ортогонального дополнения к нему. На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:13 
Гильбертовость в данном случае не по делу


bahad в сообщении #867637 писал(а):
Задача. Пусть $\mu$ - ограниченная борелевская мера на прямой и $\varphi$ - ограниченная $\mu$-измеримая функция. Когда оператор $A_{\varphi}$ умножения на $\varphi$ в $L^2(\mu)$ имеет замкнутый образ?

Подскажите, с чего тут можно начать, идей нормальных нет, попытался по определению сделать, заступорился на месте, может нужно тут помухлевать с помощью проективных мер или поиграться со множеством точек, на которых функция отлична от нуля и рассмотреть ограничение меры на это множество или на множество существенных значений этой функции (это спектр данного оператора)...


Например, можно действовать так.
Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:
$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$
Терема. Образ оператора $A$ замкнут.
Доказательство основано на теореме по ссылке см. выше.

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение26.05.2014, 23:26 
bahad в сообщении #868196 писал(а):
На ортогональном дополнении наш оператор инъективен, т.е. взаимно однозначен.

Чего и достаточно. Надо лишь аккуратно обосновать, почему он там инъективен.

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 05:11 
Oleg Zubelevich в сообщении #868198 писал(а):
Зададим оператор $A:L^p(\mathbb{R})\to L^p(\mathbb{R}),\quad p\in[1,\infty]$ формулой $Au=\psi u,\quad \psi\in L^\infty(\mathbb{R})$. Предположим, что существует такая константа $c>0$, что для почти всех $x$ верна импликация:
$$\psi(x)\ne 0\Longrightarrow |\psi(x)|\ge c.$$
Терема. Образ оператора $A$ замкнут.


А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи. :-)

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 07:26 
mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):
А верна ли обратная теорема?

Обратная теорема -- это ровно теорема Банаха и есть: если образ замкнут, то мы имеем дело с биекцией между дополнением до ядра и образом, а тогда обратный ограничен; или, что то же, значения $\varphi$ отделены от нуля.

В другую сторону -- вообще как-то даже неловко называть теоремой: если обратный ограничен, а прямой задан на замкнутом множестве, то тогда и обратный -- тоже на замкнутом (просто потому, что его можно было бы расширить на замыкание образа по непрерывности, а расширять-то и некуда).

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 07:53 
$L^p$ разложить в прямую сумму
mishafromusa в сообщении #868279 писал(а):
А верна ли обратная теорема? Похоже, что да. Это бы давало полное решение задачи.

верна, доказывается от противного из той же теоремы по ссылке

 
 
 
 Re: Функан, оператор умножения на функцию
Сообщение27.05.2014, 09:07 
рассмотрите еще случай $\psi\in L^s,\quad A:L^p\to L^{?}$

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group