Вычислить интеграл

[kikik]

ewert в сообщении #863649 писал(а):

provincialka в сообщении #863641 писал(а):

Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.

Его она не должна интересовать. Это -- стандартная задача, и рассчитана она ровно на Лейбница, не более и не менее.

-- Чт май 15, 2014 21:59:57 --

provincialka в сообщении #863641 писал(а):

Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами.

А вот это можно. Если требуется кровь из носу, но не получить ни малейшего ответа (в данной конкретной задаче).

Так получается метод замены к ответу не приведет(я так и думал) значит он вообще не может использоваться для оценки остаточного члена

[Otta]

Что значит не может? запросто используется.

[provincialka]

Вам же намекнули про Лейбница? Когда ряд знакочередующийся, то остаток по модулю меньше первого отброшенного члена.
Но если вам надо в общем виде... Вот, имеем $e^t=1+t+\frac12 t^2+\frac{e^ct^3}{6}$. это в форме Лагранжа. Тогда $e^{x^2}=1 +x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{e^cx^6}{6}$, где $0<c<x^2$. Поэтому последнее слагаемое не превосходит $\frac{ex^6}{6}$ при $x\le 1$. Теперь можно интегрировать. $\int\limits_0^1e^{x^2}dx=(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10})|_0^1+A$, где $A$ ограничено числом $\frac{e}{42}$ Можно и по-другому делать.

-- 15.05.2014, 22:07 --

ewert, насколько я поняла, ТС интересует не только этот пример, но и некая теоретическая проблема. Потому что это не первый пост по теме рядов.

[kikik]

Да, спасибо за эту идею.Но мне все равно надо разобраться с корректностью способа замены моя первая тема и была об этом

[ewert]

kikik в сообщении #863651 писал(а):

Так получается метод замены к ответу не приведет

Приведёт. Просто он ни разу не нужен.

Вот Вы, собираясь в магазин -- обязательно заказываете перед этим билет в Рио-де-Жанейро?...

-- Чт май 15, 2014 22:09:34 --

provincialka в сообщении #863653 писал(а):

ТС интересует не только этот пример, но и некая теоретическая проблема.

А вот пусть он и научится отличать реальные проблемы от праздных. Хотя бы на этом примере.

[provincialka]

Когда ряд не знакочередующийся оценка остатка - довольно муторное дело. Иногда Лагранж не помогает, надо использовать Коши или еще что-нибудь.

[ewert]

provincialka в сообщении #863653 писал(а):

Но если вам надо в общем виде... Вот, имеем $e^t=1+t+\frac12 t^2+\frac{e^ct^3}{6}$. это в форме Лагранжа.

Вот как раз в общем случае мы никакого Лагранжа и не найдём. Т.е. в явном виде; и, соотв., -- не найдём и всё. В общем случае эффективнее другие приёмы.

[kikik]

provincialka в сообщении #863653 писал(а):

Вам же намекнули про Лейбница? Когда ряд знакочередующийся, то остаток по модулю меньше первого отброшенного члена.
Но если вам надо в общем виде... Вот, имеем $e^t=1+t+\frac12 t^2+\frac{e^ct^3}{6}$. это в форме Лагранжа. Тогда $e^{x^2}=1 +x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{e^cx^6}{6}$, где $0<c<x^2$. Поэтому последнее слагаемое не превосходит $\frac{ex^6}{6}$ при $x\le 1$. Теперь можно интегрировать. $\int\limits_0^1e^{x^2}dx=(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10})|_0^1+A$, где $A$ ограничено числом $\frac{e}{42}$ Можно и по-другому делать.

-- 15.05.2014, 22:07 --

ewert, насколько я поняла, ТС интересует не только этот пример, но и некая теоретическая проблема. Потому что это не первый пост по теме рядов.

А если в лоб считать как сложную функцию разве мы получим такой же ряд

[ewert]

provincialka в сообщении #863657 писал(а):

Иногда Лагранж не помогает, надо использовать Коши

Коши тем более не поможет. Практически всё в подавляющем большинстве случаев решается правилом Рунге или (с гораздо большей строгостью, но отнюдь не с большей пользой для сельского хозяйства) соображениями монотонности.

[provincialka]

Я не решаю в общем виде, это ТС-у надо в общем. Я там упомянула про сложности... Просто у ТС почему-то возникло сомнение в том, что в формулу (ряд) Тейлора можно подставлять какое-нибудь выражение. Вот я и пытаюсь развеять его смутные сомнения. Хотя лучше, пожалуй, было бы, если бы он сначала сделал их менее смутными. Тогда и ответы станут предметнее...

[ewert]

kikik в сообщении #863660 писал(а):

А если в лоб считать как сложную функцию разве мы получим такой же ряд

Вы абсолютно не в ту сторону думаете. Какая разница, что за ряд выйдет. От Вас требуется совсем другое -- оценить остаток.

[provincialka]

kikik в сообщении #863660 писал(а):

А если в лоб считать как сложную функцию разве мы получим такой же ряд

А какой получим? Кстати, это и не ряд.
Ну, выпишите свой вариант нескольких слагаемых для $e^{x^2}$ через производные. мне лень набирать столько формул...

-- 15.05.2014, 22:20 --

ewert, да он, думаю, уже оценил. Тут другой вопрос.
kikik, вы нашли оценку через Лейбница? Покажите, что мы не зря вам подсказывали.

[kikik]

ewert в сообщении #863664 писал(а):

kikik в сообщении #863660 писал(а):

А если в лоб считать как сложную функцию разве мы получим такой же ряд

Вы абсолютно не в ту сторону думаете. Какая разница, что за ряд выйдет. От Вас требуется совсем другое -- оценить остаток.

Я понимаю метод замены но не могу его принять .Есть такое правило-понять не значит принять (хотя это уже относится к другой моей теме topic84167-30.html .Почему же способ замены при поиске производной сложной функции некорректен а здесь корректен

-- 15.05.2014, 22:22 --

provincialka в сообщении #863666 писал(а):

kikik в сообщении #863660 писал(а):

А если в лоб считать как сложную функцию разве мы получим такой же ряд

А какой получим? Кстати, это и не ряд.
Ну, выпишите свой вариант нескольких слагаемых для $e^{x^2}$ через производные. мне лень набирать столько формул...

-- 15.05.2014, 22:20 --

ewert, да он, думаю, уже оценил. Тут другой вопрос.
kikik, вы нашли оценку через Лейбница? Покажите, что мы не зря вам подсказывали.

Я распишу но не сегодня .

[Otta]

kikik
Не уходите от ответа на этот вопрос, пожалуйста.

provincialka в сообщении #863666 писал(а):

Ну, выпишите свой вариант нескольких слагаемых для $e^{x^2}$ через производные. мне лень набирать столько формул...

Я Вам его уже один раз задавала, Вы и тогда не ответили.

-- 16.05.2014, 00:24 --

kikik в сообщении #863667 писал(а):

Я распишу но не сегодня .

Отлично, вот тогда и поговорим про замены.

[kikik]

Otta в сообщении #863668 писал(а):

kikik
Не уходите от ответа на этот вопрос, пожалуйста.

provincialka в сообщении #863666 писал(а):

Ну, выпишите свой вариант нескольких слагаемых для $e^{x^2}$ через производные. мне лень набирать столько формул...

Я Вам его уже один раз задавала, Вы и тогда не ответили.

-- 16.05.2014, 00:24 --

kikik в сообщении #863667 писал(а):

Я распишу но не сегодня .

Отлично, вот тогда и поговорим про замены.

Давайте завтра я очень хочу спать и боюсь запутаться а завтра постараюсь расписать ряд и самое сложное -остаточный член