2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 18:45 
Помогите надо вычислить приближенно с точностью $0.001$ интеграл $\int\limits_{0}^{1}\cos\sqrt{x}$ путем разложение функции в ряд и почленного интегрирования.Как подстуупиться.Если непосредственно применять формулу Тейлора то выходит сложный ряд и тяжело оценить остаточный член я разлагал$\sqrt{x}$ в ряд оценивал остаточный член и считал новый ряд но опять выходит сложно и не могу оценить остаточный член.Помогите

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 18:51 
Разложите $\cos t$ в ряд Маклорена

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 19:22 
а как мы можем разложить в ряд если производная в нуле у функции не существует? И даже если так то как найти оценку остаточного члена?

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 19:24 
Устранимые точки разрыва 1-го рода никому не интересны. На значение интеграла они формально не вляют. Понятно почему?

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 19:27 
Аватара пользователя
Разложение в ряд Тейлора с помощью производных - занятие малоаристократическое...

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 19:53 
Ну а как мы сможем найти оценку остаточного члена.Тут есть еще моя тема помогите понять почему мы можем пользоваться заменой а не находить производные функции непосредственно topic84167.html

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 19:58 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #863582 писал(а):
Разложите $\cos t$ в ряд Маклорена
Сделайте это. Да. У функции $\cos t$ производная в нуле существует, и есть оценка остаточного члена.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:05 
Но ведь для исходной сложной функции остаточный член имеет совершенно иной вид.То есть надо вычислить остаточный член для $\cos{t}$ и затем заменить $t$ на $\sqrt{x}$.Но мне непонятна правомерность такого действия, во всех подобных примерах, мною рассмотренных где использовалась замена оценивался только показатель аргумента в котором он входит в бесконечно малую величину,но сам вид бесконечно малой нигде не расписывался и мне кажется использовать метод замены для его оценки некорректно

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:07 
Аватара пользователя
Вы имеете в виду остаточный член в форме Пеано? Но есть ведь и другие! Например, в форме Лагранжа.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:11 
Так в этом и загвоздка я нигде не видел такой оценки .В моей другой теме я и пытаюсь разобраться в вопросе почему корректно использовать способ замены а не формулу Фаа-Ди-Бруно.Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:13 
Какие Вам известны ряды с простой оценкой остаточного члена?

kikik в сообщении #863607 писал(а):
То есть надо вычислить остаточный член для $\cos{t}$ и затем заменить $t$ на $\sqrt{x}$.Но мне непонятна правомерность такого действия, во всех подобных примерах, мною рассмотренных где использовалась замена оценивался только показатель аргумента в котором он входит в бесконечно малую величину,но сам вид бесконечно малой нигде не расписывался и мне кажется использовать метод замены для его оценки некорректно
Вы знакомы с подстановками? Здесь достаточно выполнить оценку, потом сделать подстановку.

Про формулу Фаа-ди-Бруно можете забыть на ближайший год.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:18 
kikik в сообщении #863599 писал(а):
Ну а как мы сможем найти оценку остаточного члена.

ИСН в сообщении #863601 писал(а):
и есть оценка остаточного члена.

provincialka в сообщении #863610 писал(а):
Но есть ведь и другие! Например, в форме Лагранжа.

Но грядёт и гораздо круче прохвост -- например, признак Лейбница.

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:49 
Аватара пользователя
Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.
kikik в сообщении #863614 писал(а):
Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$
Хм... трудновато, потому что кажется очевидным... Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами. Только лучше взять $\cos\sin x$, потому что в вашем варианте внутренний косинус не является бесконечно малой.
Ну, например, через о-малое.
$t =\sin x = x -\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. Подставляем это выражение в формулу для косинуса. Получаем
$$\cos t = 1 -\frac{t^2}{2}+o(t^3)=1-\frac12 (x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^2+
o((x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^3)$$
$$\cos\sin x=1-\frac12(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5))+o(x^3)=1-\frac12 x^2+o(x^3)$$
Все слагаемые степени больше 3 относим к $o(x^3)$. Окончательно получаем $\cos\sin x=1-\frac12 x^2+o(x^3)$ Формула, конечно, не интересная, но я устала набирать эти громоздкие дроби...

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:51 
provincialka в сообщении #863641 писал(а):
Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.
kikik в сообщении #863614 писал(а):
Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$
Хм... трудновато, потому что кажется очевидным... Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами. Только лучше взять $\cos\sin x$, потому что в вашем варианте внутренний косинус не является бесконечно малой.
Ну, например, через о-малое.
$t =\sin x = x -\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. Подставляем это выражение в формулу для косинуса. Получаем
$$\cos t = 1 -\frac{t^2}{2}+o(t^3)=1-\frac12 (x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^2+
o((x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^3)$$
$$\cos\sin x=1-\frac12(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5))+o(x^3)=1-\frac12 x^2+o(x^3)$$
Все слагаемые степени больше 3 относим к $o(x^3)$. Окончательно получаем $\cos\sin x=1-\frac12 x^2+o(x^3)$ Формула, конечно, не интересная, но я устала набирать эти громоздкие дроби...
Эти приеры я видел в учебниках а как земенить бесконечно малую на остоточный член в другой форме для его оценки,ведь без оценки остаточного члена не посчитаешь интеграл

 
 
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение15.05.2014, 20:57 
provincialka в сообщении #863641 писал(а):
Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.

Его она не должна интересовать. Это -- стандартная задача, и рассчитана она ровно на Лейбница, не более и не менее.

-- Чт май 15, 2014 21:59:57 --

provincialka в сообщении #863641 писал(а):
Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами.

А вот это можно. Если требуется кровь из носу, но не получить ни малейшего ответа (в данной конкретной задаче).

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group