Длина дуги по Гюйгенсу

[Keter]

Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги $p \approx 2l+1/3(2l-L)$ ?
Помогити найти соответствующую литературу.

[Алексей К.]

Если не очень срочно, то почему бы не попытаться вывести самому?

Выразим (точно) все $p,l,L$ через радиус и угловую меру $2\xi$ дуги.
Формула должна стать точной при $\xi\to0$ ($\sin\xi\to\xi$).
Сам не пробовал, но уверенности --- выше крыши.

-- 09 апр 2014, 23:03:20 --

Т.е. надо глянуть на разность $p - 2l-\dfrac{2l-L}3$ и убедиться, что она имеет малость порядка $\xi^{2!}$. Или лучше.

-- 09 апр 2014, 23:09:10 --

Keter в сообщении #847576 писал(а):

Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги...

Следует читать:
"Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги окружности, половинка которой опирается на хорду длины $l$, а вся дуга --- на хорду длины $L$".

[Keter]

Алексей К., да, имел в виду именно длину дуги окружности, половинка которой опирается на хорду длины $l$, а вся дуга -- на хорду длины $L$.

Тоже решил выражать через радиус и градусную меру. Получилось $p=2\pi r \frac{\xi}{180^{\circ}}, l=2r\sin \frac{\xi}{2}, L=2r \sin \xi.$

$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big( \frac{\pi}{180^{\circ}} \xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big) \to 2\Big( \pi - 180^{\circ} \Big)r \frac{\xi}{180^{\circ}}, \xi \to 0.$$

Просто интересно, как Гюйгенс пришел к этой формуле.

Еще интересно найти асимптотику этой штуки. Я подумал может какую-то функцию составить и найти её асимптотическое разложение.

[Алексей К.]

Keter в сообщении #847750 писал(а):

Получилось $p=2\pi r \frac{\xi}{180^{\circ}}$

Придерусь только по мелочи (поскольку спать уже хочется): $p=r\varphi \,[=2 r {\xi}]$. Для взрослых --- именно так. Про 180 градусов пишут дети, а такие задачи решают только уже взрослые.

[Keter]

Алексей К., да, Вы правы.

$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big(\xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big).$$

[marij]

В Фихтегольнце есть в первом томе эти по Гюйгенсу и по Чебышеву

[Алексей К.]

Keter в сообщении #847795 писал(а):

$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big(\xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big).$$

$$\ldots= 2r\left[\xi-2\left(\frac12\xi+o(\xi^2)\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{\xi}{2}+o(\xi^2)\right)+\frac{1}{3}\left (\xi+o(\xi^2)\right)\right]=o(\xi^2).$$

[Keter]

Алексей К., таким образом мы убеждаемся в определенной точности формулы Гюйгенса. Но как выйти на эту формулу? И как найти асимптотику $(2l-L)/3,$ помогите понять какую функцию составить.

marij, не нашел я в первом томе этого. Где именно?

(Оффтоп)

Как же мне нравится эта буква $\xi$, что-то в ней есть. Всегда её пишу на практических.

[Алексей К.]

Keter в сообщении #848688 писал(а):

Но как выйти на эту формулу?

Давайте попробуем выйти.

Keter в сообщении #847750 писал(а):

Получилось $p=2r {\xi}$ (это я уже исказил цитату отредактировал --- AK), $l=2r\sin \frac{\xi}{2}, L=2r \sin \xi.$

Три уравнения с двумя неизвестными $r,\,\xi$ (ну и как бы $p$). Исключив $r,\,\xi$, получим вожделенное $p=f(l,L)$.

Исключить легко (тупо) не получится. Будем думать-пробовать.
Не помню, пардон, Вы, Keter, с рядами знакомы? Дожно быть, знакомы, раз за это берётесь. И вроде мои $o(\xi)$ восприняли.

-- 13 апр 2014, 00:37:46 --

И я очень люблю эту букву.

-- 13 апр 2014, 00:40:55 --

Легко исключается $r$. Остаются два уравнения, они составляют предмет дальнейшего думания.

[marij]

В издании 1969-70 года на стр.261. В электронном варианте 2003 года на стр.293. Фихтенгольц очень любит в качестве примеров приводить всякие физические задачи и другого практического толка ,чего не достает например в книге Архипов Садовничий Чубариков. Есть ли подобная книга еще не знаю

[Keter]

Алексей К. в сообщении #848846 писал(а):

Не помню, пардон, Вы, Keter, с рядами знакомы? Дожно быть, знакомы, раз за это берётесь. И вроде мои $o(\xi)$ восприняли.

Да, с рядами знаком. И с отношениями типа $o$ тоже.

[Алексей К.]

Ну тогда решайте, если по-прежнему интересно, или решайте здесь, если нужны дальнейшие подсказки.
Вроде всё просто должно быть.

[Keter]

Алексей К., говоря про ряды, Вы намекаете на использование Тейлора?

Я так подумал, что если у нас три уравнения, $(p=2r\xi, l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}, L=2r\sin \xi),$ то при задаче выразить $p=f(l, L),$ нужно рассмотреть $l, L$ и выразить $p=2r\xi$ через них. Для этого посмотрим детальнее на $l$ и $L:$

$$l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}=2r\bigg( \frac{\xi}{2}-\frac{\xi^3}{8 \cdot 3!}+\frac{\xi^5}{32 \cdot 5!}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Big( \frac{\xi}{2} \Big)^{2n+1} \bigg),$$

$$L=2r\sin \xi=2r\bigg( \xi-\frac{\xi^3}{3!}+\frac{\xi^5}{5!}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \xi^{2n+1} \bigg).$$

Теперь найдём такие $\alpha$ и $\beta,$ что $\alpha l + \beta L=2r\xi+... :$

$$2r \bigg( (0,5\alpha+\beta)\xi - \Big(\frac{1}{8 \cdot 3!}\alpha + \frac{1}{3!}\beta \Big) \xi^3 +\Big(\frac{1}{32 \cdot 5!}\alpha +\frac{1}{5!}\beta \Big)\xi^5 +... \bigg).$$

Тогда составим систему для $\alpha$ и $\beta$: $0,5 \alpha+\beta=1, \dfrac{1}{48}\alpha + \dfrac{1}{6}\beta=0.$ Откуда $\alpha=\dfrac{8}{3}, \beta=-\dfrac{1}{3}.$

-- 13 апр 2014, 23:25 --

Только как лучше записать бесконечные суммы? Не могу понять, как лучше обойти вот эти $...$ Нужно записать остаточный член, наверное.

Далее, $\alpha l+ \beta L=\dfrac{8l-L}{3}= 2r \bigg( \xi -\dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg)=2r\xi - 2r \bigg( \dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg).$ Откуда $p=\dfrac{8l-L}{3}+2r\bigg( \dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg).$

[Алексей К.]

Ой, как всё стало сложно, громоздко, и какие красивые формулы! В моих планах не было провоцировать Вас на столь кропотливую работу... Свой вариант, конечно, изложу, но не сейчас: со страху срочно захотелось спать. Надеюсь, приснится не такой триллер, что-то поспокойней...

[Keter]

Алексей К., спасибо! В моём варианте не нравится то, что суммы бесконечные. Интересно посмотреть на Ваш.
Можно конечно остаточный член по Лагранжу написать там где $\xi^5.$ Тогда погрешность формулы Гюйгенса $\delta = \dfrac{r\xi^5}{240}.$ Но всё равно такое ощущение, что где-то ошибся.

Keter в сообщении #849428 писал(а):

Надеюсь, приснится не такой триллер, что-то поспокойней...

Хорошего отдыха!