2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение09.04.2014, 19:07 


29/08/11
1137
Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги $p \approx 2l+1/3(2l-L)$ ?
Помогити найти соответствующую литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение09.04.2014, 21:58 


29/09/06
4552
Если не очень срочно, то почему бы не попытаться вывести самому?

Выразим (точно) все $p,l,L$ через радиус и угловую меру $2\xi$ дуги.
Формула должна стать точной при $\xi\to0$ ($\sin\xi\to\xi$).
Сам не пробовал, но уверенности --- выше крыши.

-- 09 апр 2014, 23:03:20 --

Т.е. надо глянуть на разность $p - 2l-\dfrac{2l-L}3$ и убедиться, что она имеет малость порядка $\xi^{2!}$. Или лучше.

-- 09 апр 2014, 23:09:10 --

Keter в сообщении #847576 писал(а):
Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги...
Следует читать:
"Где можно найти вывод формулы Гюйгенса для длины дуги окружности, половинка которой опирается на хорду длины $l$, а вся дуга --- на хорду длины $L$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение09.04.2014, 23:25 


29/08/11
1137
Алексей К., да, имел в виду именно длину дуги окружности, половинка которой опирается на хорду длины $l$, а вся дуга -- на хорду длины $L$.

Тоже решил выражать через радиус и градусную меру. Получилось $p=2\pi r \frac{\xi}{180^{\circ}}, l=2r\sin \frac{\xi}{2}, L=2r \sin \xi.$

$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big( \frac{\pi}{180^{\circ}} \xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big) \to 2\Big( \pi - 180^{\circ} \Big)r \frac{\xi}{180^{\circ}}, \xi \to 0.$$
Просто интересно, как Гюйгенс пришел к этой формуле.

Еще интересно найти асимптотику этой штуки. Я подумал может какую-то функцию составить и найти её асимптотическое разложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение09.04.2014, 23:46 


29/09/06
4552
Keter в сообщении #847750 писал(а):
Получилось $p=2\pi r \frac{\xi}{180^{\circ}}$

Придерусь только по мелочи (поскольку спать уже хочется): $p=r\varphi \,[=2 r {\xi}]$. Для взрослых --- именно так. Про 180 градусов пишут дети, а такие задачи решают только уже взрослые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение10.04.2014, 01:37 


29/08/11
1137
Алексей К., да, Вы правы.
$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big(\xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение10.04.2014, 02:31 


02/06/12
54
Куркент
В Фихтегольнце есть в первом томе эти по Гюйгенсу и по Чебышеву

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение10.04.2014, 12:31 


29/09/06
4552
Keter в сообщении #847795 писал(а):
$$p-2l-\dfrac{2l-L}{3}=2r \Big(\xi -2 \sin \frac{\xi}{2} - \frac{2}{3} \sin \frac{\xi}{2} + \frac{1}{3} \sin \xi \Big).$$

$$\ldots=
2r\left[\xi-2\left(\frac12\xi+o(\xi^2)\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{\xi}{2}+o(\xi^2)\right)+\frac{1}{3}\left (\xi+o(\xi^2)\right)\right]=o(\xi^2).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение12.04.2014, 16:57 


29/08/11
1137
Алексей К., таким образом мы убеждаемся в определенной точности формулы Гюйгенса. Но как выйти на эту формулу? И как найти асимптотику $(2l-L)/3,$ помогите понять какую функцию составить.

marij, не нашел я в первом томе этого. Где именно?

(Оффтоп)

Как же мне нравится эта буква $\xi$, что-то в ней есть. Всегда её пишу на практических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение12.04.2014, 23:37 


29/09/06
4552
Keter в сообщении #848688 писал(а):
Но как выйти на эту формулу?
Давайте попробуем выйти.
Keter в сообщении #847750 писал(а):
Получилось $p=2r {\xi}$ (это я уже исказил цитату отредактировал --- AK), $l=2r\sin \frac{\xi}{2}, L=2r \sin \xi.$
Три уравнения с двумя неизвестными $r,\,\xi$ (ну и как бы $p$). Исключив $r,\,\xi$, получим вожделенное $p=f(l,L)$.

Исключить легко (тупо) не получится. Будем думать-пробовать.
Не помню, пардон, Вы, Keter, с рядами знакомы? Дожно быть, знакомы, раз за это берётесь. И вроде мои $o(\xi)$ восприняли.

-- 13 апр 2014, 00:37:46 --

И я очень люблю эту букву.

-- 13 апр 2014, 00:40:55 --

Легко исключается $r$. Остаются два уравнения, они составляют предмет дальнейшего думания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение13.04.2014, 05:25 


02/06/12
54
Куркент
В издании 1969-70 года на стр.261. В электронном варианте 2003 года на стр.293. Фихтенгольц очень любит в качестве примеров приводить всякие физические задачи и другого практического толка ,чего не достает например в книге Архипов Садовничий Чубариков. Есть ли подобная книга еще не знаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение13.04.2014, 19:42 


29/08/11
1137
Алексей К. в сообщении #848846 писал(а):
Не помню, пардон, Вы, Keter, с рядами знакомы? Дожно быть, знакомы, раз за это берётесь. И вроде мои $o(\xi)$ восприняли.

Да, с рядами знаком. И с отношениями типа $o$ тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение13.04.2014, 22:36 


29/09/06
4552
Ну тогда решайте, если по-прежнему интересно, или решайте здесь, если нужны дальнейшие подсказки.
Вроде всё просто должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение14.04.2014, 00:18 


29/08/11
1137
Алексей К., говоря про ряды, Вы намекаете на использование Тейлора?

Я так подумал, что если у нас три уравнения, $(p=2r\xi, l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}, L=2r\sin \xi),$ то при задаче выразить $p=f(l, L),$ нужно рассмотреть $l, L$ и выразить $p=2r\xi$ через них. Для этого посмотрим детальнее на $l$ и $L:$
$$l=2r\sin \dfrac{\xi}{2}=2r\bigg( \frac{\xi}{2}-\frac{\xi^3}{8 \cdot 3!}+\frac{\xi^5}{32 \cdot 5!}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Big( \frac{\xi}{2} \Big)^{2n+1} \bigg),$$
$$L=2r\sin \xi=2r\bigg( \xi-\frac{\xi^3}{3!}+\frac{\xi^5}{5!}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \xi^{2n+1} \bigg).$$
Теперь найдём такие $\alpha$ и $\beta,$ что $\alpha l + \beta L=2r\xi+... :$
$$2r \bigg( (0,5\alpha+\beta)\xi - \Big(\frac{1}{8 \cdot 3!}\alpha + \frac{1}{3!}\beta \Big) \xi^3 +\Big(\frac{1}{32 \cdot 5!}\alpha +\frac{1}{5!}\beta \Big)\xi^5 +... \bigg).$$
Тогда составим систему для $\alpha$ и $\beta$: $0,5 \alpha+\beta=1, \dfrac{1}{48}\alpha + \dfrac{1}{6}\beta=0.$ Откуда $\alpha=\dfrac{8}{3}, \beta=-\dfrac{1}{3}.$

-- 13 апр 2014, 23:25 --

Только как лучше записать бесконечные суммы? Не могу понять, как лучше обойти вот эти $...$ Нужно записать остаточный член, наверное.

Далее, $\alpha l+ \beta L=\dfrac{8l-L}{3}= 2r \bigg( \xi -\dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg)=2r\xi - 2r \bigg( \dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg).$ Откуда $p=\dfrac{8l-L}{3}+2r\bigg( \dfrac{1}{4 \cdot 5!} \xi^5+... \bigg).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение14.04.2014, 00:39 


29/09/06
4552
Ой, как всё стало сложно, громоздко, и какие красивые формулы! В моих планах не было провоцировать Вас на столь кропотливую работу... Свой вариант, конечно, изложу, но не сейчас: со страху срочно захотелось спать. Надеюсь, приснится не такой триллер, что-то поспокойней... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение14.04.2014, 00:50 


29/08/11
1137
Алексей К., спасибо! В моём варианте не нравится то, что суммы бесконечные. Интересно посмотреть на Ваш.
Можно конечно остаточный член по Лагранжу написать там где $\xi^5.$ Тогда погрешность формулы Гюйгенса $\delta = \dfrac{r\xi^5}{240}.$ Но всё равно такое ощущение, что где-то ошибся.

Keter в сообщении #849428 писал(а):
Надеюсь, приснится не такой триллер, что-то поспокойней...

Хорошего отдыха! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group