2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 12:38 


29/09/06
4552
Я, кажись, понял, чего Вы хотите; в таком виде оно у меня по-простому---по-красивому не получалось, а по-тупому ещё попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Алексей К., в соседней теме у ТС тоже интересный вопрос про окружности. Было бы интересно услышать Ваше мнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 13:40 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

gris,

мерси, но сначала типа надо долги отдать, потом проведать высаженный вчера на воле банан: был довольно сильный ветер, говорят, один лист обломался.
На том рисунке дорисую сейчас некое p_new:
$$p_{new}=2l\left(1+\frac13 s+\frac2{15}s^2\right),\text{~~~где~~~}s=\frac{2l-L}{2l}=1-\cos\frac{\xi}2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 15:03 


29/09/06
4552
У Вас, Keter, арккосинус где-то уже звучал, наверное, этот самый. Типа
$$\aligned
&\xi=2\arccos(1-s),\\
&\frac{p}{2l}=\frac{\xi}{2\sin\frac{\xi}2}=\frac{\arccos(1-s)}{\sqrt{s(2-s)}}=1+\frac13s+\frac2{15}s^2+\frac2{35}s^3+\frac8{315}s^4+\ldots\endaligned$$(добавил на ту же картинку в виде p_last).

Уууффф?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 15:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не могу заставить себя прочитать все 4 страницы и, наверное, поэтому чего-то не понимаю. Собственно, половина формулы Гюйгенса (т.е. для половинки дуги) -- это $2R\sin\frac{\alpha}2\left(\frac43-\frac13\cos\frac{\alpha}2\right).$ И надо доказать, что это примерно $R\alpha$ и прикинуть, насколько примерно. Ну так тупо и в лоб $$2\sin\frac{\alpha}2\left(\frac43-\frac13\cos\frac{\alpha}2\right)=\frac83\sin\frac{\alpha}2-\frac13\sin\alpha=$$ $$=\frac83\left(\frac{\alpha}2-\frac16\cdot\frac{\alpha^3}8+\frac1{120}\cdot\frac{\alpha^5}{32}\right)-\frac13\left(\alpha-\frac{\alpha^3}6+\frac{\alpha^5}{120}\right)+O(\alpha^7)=\alpha-\frac{\alpha^5}{480}+O(\alpha^7),$$ причём хвостик наверняка (вроде бы) можно спокойно откинуть по Лейбницу, если это не более чем половина окружности, т.е. если $\alpha\leqslant\frac{\pi}2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 15:46 


29/09/06
4552
ewert,

ТС, как я, наконец, понял, хотел получить дальнейшие приближения не в терминах угла, а в терминах тех же переменных $(l,L)$, и это у него никак не получалось. Я эти $(l,L)$ перевёл в $(l,s)$ с малым безразмерным $s$.
Меня же здесь напрягло личное, --- то, что я сильно потерял сноровку, и всё время путался, и не смог это проделать хотя бы за полчасика...

Ну да, погрешности он тоже хотел пооценивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 15:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Алексей К. в сообщении #858175 писал(а):
, а в терминах тех же переменных $(l,L)$,

Хм. Ну пусть возведёт формулу Гюйгенса в пятую степень и разделит на 480, раз уж так хочется. А вообще это желание трудно счесть разумным: любую задачу следует решать так, как её следует решать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение02.05.2014, 16:08 


29/09/06
4552
:-) Я довольно быстро опечалился тем, что математики тему стороной обходят, но мою печаль неправильно поняли. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение03.05.2014, 03:27 


29/08/11
1137
Алексей К., ewert, изначально меня интересовала такая тема:

(i) Вывести формулу Гюйгенса для приближенного вычисления длины дуги окружности. $p\approx 2l+\frac{2l-L}{3},$ где $L$ -- хорда, на которую опирается дуга, а $l$ -- хорда, на которую опирается половина дуги.
(ii) Получить следующий член разложения в терминах $l$ и $L.$

Что касается (i):

(Оффтоп)

Пусть $2\xi$ -- угол, соответствующий данной дуге, а $r$ -- радиус данной окружности.

(i) Из системы $\begin{cases} p=2r\xi,\\ l=2r\sin \frac{\xi}{2},\\ L=2r\sin \xi \end{cases}$ получаем $\begin{cases} \dfrac{l}{p}=\dfrac{\sin \frac{\xi}{2}}{\xi},\\ \dfrac{L}{p}=\dfrac{\sin \xi}{\xi}. \end{cases}$

При данном построении $\xi \in [0, \pi/2].$ Тогда $\sin \xi$ разлагаем до 7-ой степени, а $\sin \frac{\xi}{2}$ -- до 5-ой.

Тогда имеем: $\begin{cases} \dfrac{l}{p} \approx \dfrac{1}{2}-\dfrac{\xi^3}{8\cdot 3!}+\dfrac{\xi^4}{32\cdot 5!},\\ \dfrac{L}{p} \approx 1-\dfrac{\xi}{3!}+\dfrac{\xi^4}{5!}-\dfrac{\xi^6}{7!}. \end{cases}$ Откуда, $p \approx \dfrac{8l-L}{3}+2r\bigg( \dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!}-\dfrac{\xi^7}{3\cdot 7!} \bigg).$

$p \approx \frac{8l-L}{3}=2l+\frac{2l-L}{3}$ -- формула Гюйгенса.


Теперь (ii). Тут всё получилось тем способом, что раньше и написал.

(Оффтоп)

Итак, $\xi=2\arccos \dfrac{L}{2l}, 2r=\dfrac{L}{\sin \xi}.$ Тогда получим:
$$\xi\approx \pi-\bigg( \dfrac{L}{l}+\dfrac{L^3}{24l^3}+\dfrac{3l^5}{640l^5} \bigg),$$
$$2r\approx L \bigg( \xi-\dfrac{\xi^3}{3!}+\dfrac{\xi^5}{5!}-\dfrac{\xi^7}{7!} \bigg)^{-1}.$$
Далее, если взять по одному члену в каждом разложении, и подставить в $2r\dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!},$ то получим $\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$ А если подставить в $2r\bigg( \dfrac{\xi^5}{4\cdot 5!}-\dfrac{\xi^7}{3\cdot 7!} \bigg),$ то получим $\dfrac{L(\pi l-L)^4 \Big( 63l^2-2(\pi l-L)^2 \Big)}{126 \cdot 240 \cdot l^6}.$

Теперь можно записать, например, $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3}+\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$


Сейчас очень интересует такая задача:

Без использования разложения функции в ряд:
(i) обосновать формулу Гюйгенса $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3};$
(ii) оценить погрешность этой формулы.

Пока не могу неравенствами показать, что формула верна. Всё как-то расплывчато.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение03.05.2014, 09:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Keter в сообщении #858424 писал(а):
Без использования разложения функции в ряд:
(i) обосновать формулу Гюйгенса $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3};$
(ii) оценить погрешность этой формулы.

Оценить погрешность -- в принципе, можно (наверное). Но вот обосновать -- вряд ли.

Keter в сообщении #858424 писал(а):
Теперь можно записать, например, $p \approx 2l+\frac{2l-L}{3}+\dfrac{L(\pi l-L)^4}{480l^4}.$

Записать-то можно. Только зачем, если это заведомо неверно?... Ведь из $L_{\text{гюйг}}\approx R\left(\xi-\frac{\xi^5}{480}\right)$ очевидным образом следует $R\xi\approx L_{\text{гюйг}}+\frac{L_{\text{гюйг}}^5}{480R^4}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение03.05.2014, 17:46 


29/08/11
1137
Алексей К. в сообщении #858165 писал(а):
Типа
$$\aligned
&\xi=2\arccos(1-s),\\
&\frac{p}{2l}=\frac{\xi}{2\sin\frac{\xi}2}=\frac{\arccos(1-s)}{\sqrt{s(2-s)}}=1+\frac13s+\frac2{15}s^2+\frac2{35}s^3+\frac8{315}s^4+\ldots\endaligned$$

Это самый лучший вариант для (ii), как мне кажется, это и есть то, что хотелось получить.

ewert в сообщении #858489 писал(а):
Оценить погрешность -- в принципе, можно (наверное). Но вот обосновать -- вряд ли.

Да, обосновать пока что вообще не получается. А что, если рассмотреть придел $\dfrac{2l+(2l-L)/3}{2r\xi}...$ Пока что не думал как оценивать погрешность. Но оценивать нужно относительно угла $\xi.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина дуги по Гюйгенсу
Сообщение03.05.2014, 19:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну она и лежит в пределах от нуля до $-\frac{\xi^4}{480}$. И чем меньше угол, тем ближе к этой дроби.

Но это -- если знать тейлоровское разложение. Если же нет, то можно в лучшем случае вывести это предельное соотношение для погрешности, но не доказать его существование.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group