Сколько точек..Наивный вопрос...

[PSP]

avixiva в сообщении #841383 писал(а):

А вот вопрос, "Всегда ли можно определить четырьмя точками образующими тетраэдр ненулевого об"ема хотя бы одну винтовую линию? " уже не столь тривиален и заслуживает внимания.

Тогда поставим задачу ещё раз :
Вот формулы Френе для обыкновенной винтовой линии в евклидовом пространстве

$$\begin{array}{llr} \dfrac{d x}{ds}=\quad \quad \quad\quad k_1y\\ \dfrac{dy}{ds}=\pm k_1x+k_2z\\ \dfrac{dz}{ds}=\pm k_2y\\ \end{array}$$

Здесь, $x,y,z$ -- орты сопровождающего репера, $k_1,k_2, -- кривизны, $s$ -- натуральный параметр. Знак $\pm$ в уравнениях выбирается в зависимости от того одноименные реперы $z$, $y$ или нет. Если один из них единичный, а другой -- мнимоединичный, то берётся $+$; в противном случае берется $-$.(В нашем случае берется $-$).
Задаём 4 точки $T_1(x_1,y_1,z_1),T_2(x_2,y_2,z_2),T_3(x_3,y_3,z_3),T_4(x_4,y_4,z_4)$ ,так, чтобы определитель

$$\begin{vmatrix} x_1 & x_2& x_3& x_4 \\ y_1& y_2 & y_3 &y_4 \\ z_1 & z_2& z_3& z_4\\ 1& 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

был не равен нулю.
Вопрос заключается в том,будут ли решение уравнений Френе,проходящие через заданные точки,единственным ?

[avixiva]

Если можно построить через эти точки одну винтовую линию, то автоматически можно построить семейство с кратным шагом и ответ на Ваш вопрос - нет всегда не единственно . Я переформулировал вопрос по другому, всегда ли будут иметь решения данные уравнения или в каких - то определенных случаях?

-- 27.03.2014, 07:08 --

Хотя я начинаю сомневаться тоже в правильности моих выводов :)

-- 27.03.2014, 07:09 --

и честно это признаю :)

[PSP]

avixiva в сообщении #841445 писал(а):

Если можно построить через эти точки одну винтовую линию, то автоматически можно построить семейство с кратным шагом и ответ на Ваш вопрос - нет всегда не единственно . Я переформулировал вопрос по другому, всегда ли будут иметь решения данные уравнения или в каких - то определенных случаях?

-- 27.03.2014, 07:08 --

Хотя я начинаю сомневаться тоже в правильности моих выводов :)

Теорема :"Если можно построить через эти 4-е точки одну обыкновенную винтовую линию, то автоматически можно построить семейство винтовых линий с кратным шагом ,проходящих через эти же 4-е точки" требует строгого доказательства.

[avixiva]

согласен, она справедлива вероятнее всего не для любого выбора точек.
Приношу свои извинения , за то , что чуть не зарубил тему.

[PSP]

avixiva в сообщении #841454 писал(а):

согласен, она справедлива вероятнее всего не для любого выбора точек.
Приношу свои извинения , за то , что чуть не зарубил тему.

Бывает.Ничего страшного.Извинения принимаю.
Кстати, система Френе в Мапле решается следующим образом :
http://my.mail.ru/mail/psp.ru/photo?album_id=_myphoto#photo=/mail/psp.ru/_myphoto/228

Кстати, добавлю,что проекции обыкновенной винтовой линии на координатные плоскости - это кривые - Циклоиды.

[INGELRII]

Что-то я не понимаю решения. Получается, что в нем все три координаты ограничены по модулю, ибо являются линейными комбинациями синуса, косинуса и константы. А винтовая линия явно неограниченная!

[PSP]

INGELRII в сообщении #842193 писал(а):

Что-то я не понимаю решения. Получается, что в нем все три координаты ограничены по модулю, ибо являются линейными комбинациями синуса, косинуса и константы. А винтовая линия явно неограниченная!

Это и меня смущает.Может, Maple неправильно решил систему ?

[Алексей К.]

Нет, просто система, похоже, о чём-то другом.
Если, скажем, ось цилиндра/линии вертикальна, то дэ зэт по дэ эс --- константа.
Чего в системе не наблюдается.

-- 28 мар 2014, 19:59:13 --

INGELRII в сообщении #842193 писал(а):

Получается, что в нем все три координаты ограничены по модулю

Или $x,y,z$ --- вовсе не координаты, а некие

PSP в сообщении #841425 писал(а):

Здесь, $x,y,z$ -- орты сопровождающего репера,

[PSP]

Алексей К.
Надо бы тогда перейти к координатам, а как - пока не пойму..Посмотрю у Рашевского...

[Алексей К.]

PSP,

поскольку Вам, видимо, лень или некогда,
я посмотрел в Корне, что такое формулы Френе.

PSP в сообщении #841425 писал(а):

Тогда поставим задачу ещё раз :
Вот формулы Френе для обыкновенной винтовой линии в евклидовом пространстве
..........................
Вопрос заключается в том,будут ли решение уравнений Френе,проходящие через заданные точки,единственным ?

Формулы Френе орудуют с ортами сопровождающего трёхгранника. Вряд ли хоть один приличный справочник назовёт их $x,y,z$ ($\color{blue}n$ormal, $\color{blue}b$inormal, $\color{blue}t$angent).
Вы, по сути, пишете уравнения для $\color{blue}n,b,t$, а ставите вопрос про $x,y,z$. Так поступать нельзя. Нельзя "ставить вопрос" на основе простой путаницы в буковках и непонимания того, что они обозначают.

PSP в сообщении #842322 писал(а):

Это и меня смущает.Может, Maple неправильно решил систему ?

Не надо смущаться от того, и удивляться тому, что $x,y,z$, как координаты винтовой линии, неограничены, а $x,y,z$, как компоненты орта (!одного из трёх ортов! !каждого из трёх ортов!) сопровождающего трёхгранника, ограничены.

Мне лень искать, но не сомневаюсь, что параметрическое уравнение винтовой линии (даже в натуральной параметризации) было Вами не раз выписано в Ваших многочисленных винтовых темах. Если речь идёт о поиске оного. Диффуры для этого решать не надо.

Так что ---

PSP в сообщении #841425 писал(а):

Тогда поставим задачу ещё раз

[Lia]

PSP, замечание за избыточное цитирование в post842401.html#p842401 и др.

[PSP]

Алексей К. прав.
Формулы Френе и система диф.уравнений для получения параметрического уравнения винтовой линии (даже в натуральной параметризации) - вещи несколько разные.
Я не нашёл алгоритма перехода от формул Френе сопровождающего трехгранника к системе диф.уравнений для получения параметрического уравнения винтовой линии ,но сами такие уравнения нашёл.Чуть позже их тут приведу.(со временем действительно туго - бизнес ещё на мне).
(Хорошо бы найти искомый алгоритм...)
Решу эту систему дифуров - и можно будет двигаться дальше...

[Алексей К.]

PSP в сообщении #842756 писал(а):

но сами такие уравнения нашёл.Чуть позже их тут приведу

Та вроде чуть раньше Вы уже приводили:

PSP в сообщении #80409 писал(а):

Если l-длина , а \alpha-угол наклона линии, то в случае, когда поступательное движение будет по направлению оси z , тогда уравнение винтовой линии будет иметь вид:
...........................................

-- 29 мар 2014, 23:26:50 --

Да и над чем там думать? И чего ради дифф.уравнения придумывать? И во всех книжках есть (только в них никто так усердно не приписывает к винтовым линиям слово "обыкновенные"). И тупо припаять к параметрическому уравнению окружности равномерное движение по z-координате, и всё, без всяких книжек. А расписывать вгромоздко с 3D-поворотом --- глупо и никому не нужно.

А проблема "через сколько точек?" профессионально и подробно обсуждена в той статье, что любезно отыскал Sender.

Не надо нового раунда кувырканий на пустом месте.

(...бизнес...)

Алексей К. в сообщении #842459 писал(а):

По мне, ежели бы я по жизни столкнулся с подобными штуками, бросил бы математику и ушёл бы в бизнес.

PSP в сообщении #842756 писал(а):

(со временем действительно туго - бизнес ещё на мне).

[PSP]

Алексей К. , меня не устраивает качество анализа задачи в приведённой статье.
Далее,эта задача есть небольшая часть задуманного мной исследования, и дифф.уравнения необходимы для дальнейшего движения по моему пути.
И кувырканий на пустом здесь нет, это Вам только кажется :).

(Оффтоп)

Что касается бизнеса, то я им и занимаюсь, а исследование это для души и для удовлетворения собственного любопытства.Я могу себе это позволить.

[Алексей К.]

PSP в сообщении #842855 писал(а):

меня не устраивает качество анализа задачи в приведённой статье.

Вы не вправе делать такие заявления.
Или вправе, но: Ваша квалификация недостаточна для того, чтобы делать такие заявления (я в демократиях не особо силён, примерно как и в трёхгранниках).
Или и вправе, и Ваша квалификация достаточна: да кто кроме Вас имеет право утверждать: меня, PSP, то-то и то-то не устраивает?

Вам надо, чтоб на русском, и чтоб простой ответ был (сложный и 17 страниц противоречит имеющимся временным рамкам и планам высоких экспериментов).

Мне всего лишь хочется, чтобы Ваше "меня не устраивает качество анализа" не звучало здесь как "плохо они проанализировали задачу".