Сколько точек..Наивный вопрос...

[PSP]

Две точки определяют любую прямую,пять точек на плоскости определяют любую линию 2-го порядка...
Сколько точек определяют обыкновенную винтовую линию в пространстве... ?

[iifat]

PSP в сообщении #778266 писал(а):

обыкновенную винтовую линию в пространстве... ?

Какая именно винтовая линия мыслится "обыкновенной"? Видимо, с равномерным шагом? А ось — ей надо совпадать с осью $OZ$? Или быть ей параллельной? Или неважно какой?

-- 22.10.2013, 11:16 --

В общем-то, не особо важно. Пишем общее параметрическое уравнение семейства кривых, выписываем уравнения точек, смотрим, сколько и каких точек задают однозначно значения параметров.

[mihailm]

4 параметра задают ось, два - саму винтовую линию. 4+2

[PSP]

iifat в сообщении #778321 писал(а):

PSP в сообщении #778266 писал(а):

обыкновенную винтовую линию в пространстве... ?

Какая именно винтовая линия мыслится "обыкновенной"? Видимо, с равномерным шагом? А ось — ей надо совпадать с осью $OZ$? Или быть ей параллельной? Или неважно какой?

-- 22.10.2013, 11:16 --

В общем-то, не особо важно. Пишем общее параметрическое уравнение семейства кривых, выписываем уравнения точек, смотрим, сколько и каких точек задают однозначно значения параметров.

Вот формулы Френе для этой кривой в евклидовом пространстве

$$\begin{array}{llr} \dfrac{d\nu_0}{ds}=\quad \quad \quad\quad k_1\nu_1\\ \dfrac{d\nu_1}{ds}=\pm k_1\nu_0+k_2\nu_2\\ \dfrac{d\nu_2}{ds}=\pm k_2\nu_1\\ \end{array}$$

Здесь, $\nu_0,\nu_1,\nu_2$ -- орты сопровождающего репера, $k_1,k_2, -- кривизны, $s$ -- натуральный параметр. Знак $\pm$ в уравнениях выбирается в зависимости от того одноименные реперы $\nu_p$, $\nu_{p-1}$ или нет. Если один из них единичный, а другой -- мнимоединичный, то берётся $+$; в противном случае берется $-$.

[iifat]

PSP в сообщении #778368 писал(а):

формулы Френе

Мдааа... Эк вы меня из пушки. В общем, винтовая самого общего вида, раз уж задаётся уравнениями Френе.
Недопол вот этого

mihailm в сообщении #778352 писал(а):

4 параметра задают ось

почему четыре? Не шесть разве?
Ещё два параметра собственно винтовой... Не, три, иначе её можно вертеть на оси. Итого девять. По идее, трёх точек должно бы хватить, хотя надо посмотреть варианты — к примеру, если две из них лежат на одной... эээ... образующей содержащего цилиндра или уж как она называется, то построить не удастся. Да и не через любые, подозреваю, три точки можно провести хоть одну винтовую.

[PSP]

iifat в сообщении #778401 писал(а):

PSP в сообщении #778368 писал(а):

формулы Френе

Мдааа... Эк вы меня из пушки. В общем, винтовая самого общего вида, раз уж задаётся уравнениями Френе.
Недопол вот этого

mihailm в сообщении #778352 писал(а):

4 параметра задают ось

почему четыре? Не шесть разве?
Ещё два параметра собственно винтовой... Не, три, иначе её можно вертеть на оси. Итого девять. По идее, трёх точек должно бы хватить, хотя надо посмотреть варианты — к примеру, если две из них лежат на одной... эээ... образующей содержащего цилиндра или уж как она называется, то построить не удастся. Да и не через любые, подозреваю, три точки можно провести хоть одну винтовую.

В общем,если три точки - то как их надо задать,чтобы однозначно определить единственную обыкновенную винтовую линию ?

[VAL]

iifat в сообщении #778401 писал(а):

mihailm в сообщении #778352 писал(а):

4 параметра задают ось

почему четыре? Не шесть разве?

Конечно, 4. Вы имели в виду, что прямую можно задать двумя точками? Это так. Но зато прямая - не определяет две точки

Цитата:

Ещё два параметра собственно винтовой... Не, три, иначе её можно вертеть на оси.

Похоже, что так.

Цитата:

Итого девять.

Итого 7. Но не точек, а параметров.

Цитата:

По идее, трёх точек должно бы хватить

А Вас не смущает, что три точки определяют окружность, вырожденный частный случай винтовой линии?

Вопросы "Сколько точек определяют кривую?" и ""Сколько параметриов определяют кривую?" - это совершенно разные вопросы.
Например, три точки на плоскости определяют окружность. Итого потребуется 6 чисел (координат точек).
Но окружность можно задать, указав центр и радиус. Это всего 3 числа.

[PSP]

VAL в сообщении #778423 писал(а):

Вопросы "Сколько точек определяют кривую?" и ""Сколько параметров определяют кривую?" - это совершенно разные вопросы.
Например, три точки на плоскости определяют окружность. Итого потребуется 6 чисел (координат точек).
Но окружность можно задать, указав центр и радиус. Это всего 3 числа.

Вы правы в этом уточнении.
Интересна как раз ситуация с определением количества и свойств определяющих точек для обыкновенной винтовой линии.

[mihailm]

Согласен с VAL про фазу забыл)

[bot]

mihailm в сообщении #778352 писал(а):

4 параметра задают ось, два - саму винтовую линию. 4+2

Из этих же соображений, не подумав, хотел сразу написать 2+2, однако это же не в том смысле.
Смысл, насколько можно понять, в том, чтобы указать несколько точек в пространстве, чтобы однозначно найти винтовую линию, проходящую через эти точки. Сколько бы их нит было, ясно что не всякий набор годится. Вот скажем, возьмём три точки, лежащие на одной прямой. Если расстояния между ними соизмеримы, то этих винтовых линий бесконечно много, а если нет, то и нету.
В общем над постановкой задачи надо подумать.

-- Вт окт 22, 2013 14:48:03 --

Собственно ответ такой - ни для какого. В самом деле пусть через какое-то число точек проведена однозначная винтовая линия. То есть на некоторый цилиндр намотали провод. Будем мотать в $n$ раз чаще.

[PSP]

bot в сообщении #778434 писал(а):

mihailm в сообщении #778352 писал(а):

4 параметра задают ось, два - саму винтовую линию. 4+2

Из этих же соображений, не подумав, хотел сразу написать 2+2, однако это же не в том смысле.
Смысл, насколько можно понять, в том, чтобы указать несколько точек в пространстве, чтобы однозначно найти винтовую линию, проходящую через эти точки. Сколько бы их нит было, ясно что не всякий набор годится. Вот скажем, возьмём три точки, лежащие на одной прямой. Если расстояния между ними соизмеримы, то этих винтовых линий бесконечно много, а если нет, то и нету.
В общем над постановкой задачи надо подумать.

Смысл понят верно.Т.е. нужен ответ типа :
Пусть есть n точек,не лежащих на одной прямой и на одной плоскости (возможны ещё какие ограничения на точки,типа не лежащих на шаре или ещё как..),то они определяют единственную обыкновенную винтовую линию.
Вот так уточняю постановку задачи.
Не исключаю,что нужно бесконечное количество точек.Но не уверен...

(Оффтоп)

Математик я не очень,но задача имеет и практическое значение.Поэтому и поставил её на форуме...

[bot]

bot в сообщении #778434 писал(а):

Будем мотать в $n$ раз чаще

Кажется поторопился - это очевидно, если они на одной прямой, а если нет, то неверно.

[mihailm]

Получается через 4 точки.
Рассуждение: Пишем параметризацию спирали (там 7 параметров), подставляем $t_1,t_2,t_3,t_4$ туда, получаем 12 уравнений и 11 неизвестных, правдоподобно?))

[Sender]

Вот нашёл статью в тему: http://eprints.maths.ox.ac.uk/1445/1/finalOR59.pdf

[bot]

bot в сообщении #778439 писал(а):

Кажется поторопился

Нет, не поторопился. Берём цилиндр и мотаем на него две линии с неизмеримыми шагами. Эти линии имеют бесконечно много точек пересечения.
Если что-то и можно получить, то только ограничившись одним витком.