Ортогональный базис

[Afina]

здравствуйте. Возник такой вопрос. Разложение вектора по ортогональному базису выглядит следующим образом $a=a_1e_1+a_2e_2+...+a_ne_n$. Мне известны численные значения базисных векторов e, но неизвестен вектор a. Нужно найти коэффициенты $a_i$. Подскажите, пожалуйста, как это сделать если использовать формулу $a_i = \frac{(a_i, e_i)}{(e_i, e_i)}$. Скалярное произведение, которое стоит в знаменателе я нашла. Я понимаю, что нужно использовать условие ортогональности, но возникли трудности.

[epros]

Afina в сообщении #836307 писал(а):

Мне известны численные значения базисных векторов e,

Что такое «численные значения векторов»?

Afina в сообщении #836307 писал(а):

Я понимаю, что нужно использовать условие ортогональности, но возникли трудности.

Что за трудности?

[Afina]

Цитата:

Что такое «численные значения векторов»?

Например, вектор $e_1$ задается в виде вектора-столбца с численными значениями и для остальных тоже

Цитата:

Что за трудности?

Трудности с получением коэффициентов $a_i$, поскольку я не могу уловить суть

[svv]

Что известно о векторе $\mathbf a$?

[TOTAL]

Afina в сообщении #836307 писал(а):

Мне известны численные значения базисных векторов e, но неизвестен вектор a.

Если вектор a неизвестен, то его разложение в базисе никак не сможете найти.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Afina
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом (оформление в виде картинок, на которых изображены формулы, не котируется).
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Формулы поправил и вернул

[Dan B-Yallay]

Afina в сообщении #836307 писал(а):

Мне известны численные значения базисных векторов e, но неизвестен вектор a. Нужно найти коэффициенты $a_i$

В одномерном виде ваша задача выглядит так:

$$x=\lambda y$$

Вам известна лямбда, но неизвестно $x$. Нужно найти коэффициент $y$.

[Otta]

Afina в сообщении #836307 писал(а):

$a_i = \dfrac{(a_i, e_i)}{(e_i, e_i)}$

Не так. $a_i = \dfrac{(a, e_i)}{(e_i, e_i)}$

Afina в сообщении #836307 писал(а):

Скалярное произведение, которое стоит в знаменателе я нашла.

И чему оно равно?

[Afina]

Цитата:

И чему оно равно?

Например, $(e_1, e_1) = 1,4$

[TOTAL]

Afina, укажите точно, что известно и что надо найти.

[Afina]

Известны (я их нашла) скалярные произведения $(e_i, e_i)$
Нужно найти $a_i$
Вектор a неизвестен, но он связан с векторами $e_i$ (точно не известно, но он вроде как даже им ортогонален)

[TOTAL]

Afina в сообщении #836748 писал(а):

Известны (я их нашла) скалярные произведения $(e_i, e_i)$
Нужно найти $a_i$
Вектор a неизвестен, но он связан с векторами $e_i$ (точно не известно, но он вроде как даже им ортогонален)

Что такое a, что такое $a_i$? Заново сформулируте задачу полностью, чтобы все было понятно, безо всяких "вроде как".

[provincialka]

При обычном определении скалярного произведения ортогональные векторы друг через друга не выражаются. Вектор не может быть ортогонален всем векторам базиса.

[Afina]

Если формулировать с самого начала, то
векторы $e_i$ образуют ортогональный базис и задают смещения атомов в основном состоянии из положения равновесия, эти величины у меня есть
векторы $e_j$ тоже образуют ортогональный базис, о которых я не упоминаю, задают смещения атомов в возбужденном состоянии, эти величины тоже у меня есть
вектор a показывает на сколько изменилась геометрия возбужденного состояния относительно геометрии основного состояния, он не известен, но исходя из данных геометрий его можно найти, но как я не знаю
таким образом, мне нужно вектор $a$ разложить по векторам $e_i$, чтобы это сделать мне нужно найти величины $a_i$

[SpBTimes]

Чем векторы $e_i$ отличаются от векторов $e_j$?
А задача-то стандартна. Напишите разложение, которое надо получить с неопределенными коэффициентами $a_i$. И умножьте скалярно, скажем, все это равенство, на $e_1$. Что получится?