Применимость преобразований Лоренца к физическому миру

[DESIGNER]

Приветствую всех участников форума!
Хочу предложить для обсуждения интересную проблему, связанную с применимостью преобразований Лоренца как математической модели пространства-времени.
Ниже привожу описание проблемы (ссылка на источник: http://web.snauka.ru/issues/2014/02/31429)

Рассмотрим два одинаковых жестких равнобедренных прямоугольных треугольника, которые лежат в одной плоскости и не могут пересекаться. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета (далее ИСО) $S_1 (X'Y')$ нижний треугольник покоится (его катеты параллельны осям координат), а верхний скользит по нему со скоростью $V$ (рис. 1а). На рисунке показано взаимное положение треугольников, когда их левые верхние углы совпадают, т.е. находятся в одной и той же пространственно-временной точке $A$. Размеры верхнего треугольника меньше в направлении своей скорости вследствие Лоренцева сокращения длины.



Перейдем в ИСО $S_2 (XY)$, движущуюся вдоль оси $X'$ (оси $X'$ и $X$ совпадают) с такой скоростью $V_x$, что в $S_2$ скорость $V_y$ верхнего треугольника (рассчитанная в соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей [2 с.75; 3 с.259; 4 с.28; 5 с.89]) параллельна оси $Y$. Скорость нижнего треугольника в $S_2$ будет параллельна оси $X$ и равна $–V_x$ (рис. 1б). Совмещение левых верхних углов треугольников (точка $A$) является одноместным и одновременным пространственно-временным событием, поэтому будет таковым в любой ИСО [4 с.18; 5 с.58], это прямо следует из инвариантности пространственно-временного интервала. На рис. 1б показано взаимное положение треугольников в $S_2$ в момент времени, соответствующий событию $A$ (по часам $S_2$). Вследствие Лоренцева сокращения оба треугольника уменьшены в размерах, каждый в направлении собственной скорости – верхний треугольник по оси $Y$, а нижний по оси $X$, и их левые верхние углы совпадают в точке $A$.
Очевидно, что для наблюдателя в $S_2$ правые нижние углы треугольников не могут находиться в одной пространственно-временной точке (совмещаться) ни в прошлом, ни в будущем по отношению к событию $A$ (в противном случае треугольники будут пересекаться, что невозможно, т.к. они представляют собой твердые тела). Однако для наблюдателя в $S_1$ совпадение правых нижних углов треугольников неизбежно. Получаем, что одно и то же событие в одной ИСО происходит, а в другой нет.

Прошу тех, кто с преобразованиями Лоренца и следствиями из этих преобразований знаком не по наслышке, высказать свое мнение.
Готов также ответить на вопросы тех, кого просто заинтересовала проблема.

[DimaM]

DESIGNER в сообщении #828361 писал(а):

Очевидно, что для наблюдателя в S2 правые нижние углы треугольников не могут находиться в одной пространственно-временной точке (совмещаться)

Мне не очевидно (точнее, очевидно обратное). Вы формулки для координат нижних углов одного и другого в зависимости от времени напишите, а там посмотрим.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

DESIGNER
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Дайте теме содержательное название.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Munin]

DESIGNER в сообщении #828359 писал(а):

Хочу предложить для обсуждения интересную проблему

Это не проблема, а свойство преобразований Лоренца, хорошо известное всем студентам. Если взять два преобразования Лоренца в несовпадающих направлениях (у вас первое - это движение треугольника со скоростью $V$ в $S_1,$ а второе - движение $S_2$ относительно $S_1$), то результат будет включать в себя пространственный поворот. То есть, верхний треугольник будет выглядеть не так, как на приведённом рисунке, а будет повёрнут, до прилегания сторон с нижним треугольником.

Вычисления мне привести нетрудно, но полезней оставить их вам в качестве упражнения. Указание: надо взять координаты всех шести вершин всех трёх треугольников, как мировые линии (то есть, 1-мерные прямые в пространстве-времени), и преобразовать их по Лоренцу из $S_1$ в $S_2.$

[Alex-Yu]

DESIGNER в сообщении #828359 писал(а):

Рассмотрим два одинаковых жестких

Вот дальше можно уже и не читать. Жестких тел в реальном физическом мире не бывает.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #828587 писал(а):

Вот дальше можно уже и не читать. Жестких тел в реальном физическом мире не бывает.

Ну, если они движутся вечно и неизменно, то можно о них говорить. При этом их жёсткость не "проверяется на прочность", а просто мы считаем, что они не деформируются и всё. Может быть, просто потому, что их никто не трогает.

-- 19.02.2014 21:31:37 --

Задачка-то на кинематику, по сути. И элементарная.

[DESIGNER]

Munin в сообщении #828464 писал(а):

Это не проблема, а свойство преобразований Лоренца, хорошо известное всем студентам. Если взять два преобразования Лоренца в несовпадающих направлениях (у вас первое - это движение треугольника со скоростью $V$ в $S_1,$ а второе - движение $S_2$ относительно $S_1$), то результат будет включать в себя пространственный поворот. То есть, верхний треугольник будет выглядеть не так, как на приведённом рисунке, а будет повёрнут, до прилегания сторон с нижним треугольником.

Согласен, вычисления привести нетрудно, но в данном случае можно поступить проще и нагляднее. Вид треугольников в любой ИСО мы находим, применяя преобразования Лоренца к координатам его вершин в собственной ИСО $S_3$, т.е. в ИСО, где треугольник покоится. Ничто нам не мешает выполнить обратную процедуру. Применим такой подход к верхнему треугольнику. Если (как вы утверждаете) в $S_2$ верхний треугольник повернут, т.е. его катеты не параллельны осям координат, то он останется повернутым и в собственной ИСО $S_3$, т.к. переход из $S_2$ в $S_3$ происходит только с изменением координат по оси $Y$ ($S_3$ в $S_2$ имеет скорость параллельную оси $Y$), а это противоречит условию мысленного эксперимента.

-- 20.02.2014, 08:46 --

DimaM в сообщении #828365 писал(а):

DESIGNER в сообщении #828361 писал(а):

Очевидно, что для наблюдателя в S2 правые нижние углы треугольников не могут находиться в одной пространственно-временной точке (совмещаться)

Мне не очевидно (точнее, очевидно обратное). Вы формулки для координат нижних углов одного и другого в зависимости от времени напишите, а там посмотрим.

Уравнения движения вершин углов треугольников нет необходимости искать, достаточно рассмотреть их МГНОВЕННОЕ положение в ИСО $S_2$, что собственно и сделано.

[migmit]

DESIGNER в сообщении #828682 писал(а):

Уравнения движения вершин углов треугольников нет необходимости искать, достаточно рассмотреть их МГНОВЕННОЕ положение в ИСО $S_2$, что собственно и сделано.

Если бы ещё ПРАВИЛЬНО сделано.

[Munin]

DESIGNER
Если вы не собираетесь ничего считать, то как я могу убедить вас в том, что это правда?

Совершенно аналогичное явление, кстати, происходит и не с четырёхмерными поворотами (какими являются преобразования Лоренца), а с обыкновенными трёхмерными. Возьмите книгу, положите её перед собой горизонтально (плашмя), верхом от себя. Сделайте подряд три поворота книги на 90°:
- вокруг горизонтальной оси, идущей слева направо;
- вокруг горизонтальной оси, идущей сзади вперёд;
- вокруг вертикальной оси.
Эти три поворота возвращают верх книги в положение "от себя". Но они при этом заставляют поворачиваться саму книгу - она уже не лежит плашмя, а стоит ребром. Если направление, куда напрален верх книги, считать аналогичным скорости системы отсчёта, то итоговый поворот книги показывает пространственный поворот при возвращении в собственную систему отсчёта.

[DESIGNER]

Для лучшего взаимопонимания попытаюсь более подробно изложить ситуацию с треугольниками. На рисунке ниже представлены треугольники в разных ИСО. Оси координат всех ИСО параллельны. ИСО $S_1$ (по центру рисунка) – уже описанная ранее ИСО, где нижний треугольник покоится и его катеты параллельны осям (собственная ИСО нижнего треугольника), а верхний по нему скользит и сжат в направлении своей скорости. ИСО $S_3$ (слева) – в этой ИСО верхний треугольник неподвижен и его катеты параллельны осям (собственная ИСО верхнего треугольника), а нижний скользит и сжат в направлении своей скорости.

ИСО $S_1$ и $S_3$ движутся относительно друг друга со скоростью $V$ (не параллельной осям координат).
ИСО $S_2$ движется относительно $S_1$ со скоростью, параллельной оси $X$, поэтому нижний треугольник, для которого $S_1$ собственная, сжат только в направлении оси $X$. Ни сжатия по оси $Y$, ни поворота быть не может.
Та же самая ИСО $S_2$ движется относительно $S_3$ со скоростью, параллельной оси $Y$, поэтому верхний треугольник, для которого $S_3$ собственная, сжат только в направлении оси $Y$. Ни сжатия по оси $X$, ни поворота быть не может.

[DimaM]

DESIGNER в сообщении #828719 писал(а):

Для лучшего взаимопонимания попытаюсь более подробно изложить ситуацию с треугольниками.

Для лучшего понимания надо написать формулы. Сделайте это.

[Munin]

DESIGNER в сообщении #828719 писал(а):

Для лучшего взаимопонимания попытаюсь более подробно изложить ситуацию с треугольниками.

Изложите её себе! Всем вокруг всё давно понятно, и это давно известная банальщина. И только вы путаетесь в этих соснах.

Третья картинка не может быть получена из первых двух. Либо вы движетесь с $V_y$ относительно $S_3,$ либо с $V_x$ - относительно $S_1,$ но не то и другое одновременно. Это не позволяется, например, правилом сложения скоростей.

[zer0]

"Геометрия - искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах" (не мое).
Чертежи должны/могут иллюстрировать расчеты, а не заменять их (а это - мое).

[DESIGNER]

Munin в сообщении #828778 писал(а):

Третья картинка не может быть получена из первых двух. Либо вы движетесь с $V_y$ относительно $S_3,$ либо с $V_x$ - относительно $S_1,$ но не то и другое одновременно. Это не позволяется, например, правилом сложения скоростей.

Я действительно написал, что $S_2$ движется относительно $S_1$ со скоростью $V_x$ и относительно $S_3$ со скоростью $V_y$, а $S_1$ движется относительно $S_3$ со скоростью $V$. Если вы считаете, что это надо доказать, то привожу доказательство.
1. ИСО $S_2$ движется относительно $S_1$ (исходной ИСО) со скоростью $V_x$ (строго в соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей)

Как видно из приведенного скана с. 28 из Ландау-Лифшица, если скорость системы отсчета $V$ и проекция скорости точки на ось $X’$ равны, то проекция скорости этой точки на ось $X$ в движущейся ИСО равна нулю.
2. ИСО $S_3$ движется относительно $S_1$ (исходной ИСО) со скоростью $V$ (в силу принципа относительности, т.е. если $S_1$ по условию эксперимента движется относительно $S_3$ со скоростью $V$, то и $S_3$ движется относительно $S_1$ со скоростью $V$)
3. В ИСО $S_3$ все точки верхнего треугольника неподвижны, а в ИСО $S_2$ все точки того же треугольника движутся со скоростью $V_y$, следовательно $S_2$ движется относительно $S_3$ со скоростью $V_y$.
Об этих трех соснах вы говорите?
Если в каком-то из приведенных трех пунктах я неправ, – укажите в каком, и где в этом пункте ошибка.

-- 21.02.2014, 08:22 --

DimaM в сообщении #828757 писал(а):

Для лучшего понимания надо написать формулы. Сделайте это.

Хорошо, привожу, но просто переписывать учебник мне не хочется, поэтому приведу скан с. 38 из Мёллер "Теория относительности". Привожу скан, а не собственные выкладки, потому (помимо причины указанной выше), что хочу подчеркнуть, что ничего нового я не выводил, все давно посчитано и изложено в учебниках.

Так как оба треугольника в ИСО $S_2$ движутся вдоль осей координат, то и сокращение их размеров происходит вдоль этих осей (у верхнего вдоль оси $Y$, а у нижнего вдоль оси $X$).