Скалярное произведение

[svv]

Пусть даны многочлены
$a(x)=a_1 f_1(x)+a_2 f_2(x)+a_3 f_3(x)$
$b(x)=b_1 f_1(x)+b_2 f_2(x)+b_3 f_3(x)$

Тогда в силу линейности $(a(x),b(x))$ будет суммой 9 слагаемых:
$a_1 b_1 (f_1(x), f_1(x))+a_1 b_2 (f_1(x), f_2(x))+...$
Но из них только три не равны нулю (какие?), а остальные равны нулю (почему?)

u100 в сообщении #807296 писал(а):

Нет, а ещё я не понимаю как это объясняет ортогональность многочленов.

Мы считаем многочлены ортогональными по определению, и имеем на это право, потому что нет и не может быть единственного способа установить, являются ли они «на самом деле» ортогональными (не на что опираться).

Аналогия. Можно ввести координаты $x$ и $y$ на плоскости? Можно.
А можно считать по определению, что они неортогональны? Можно.
А что ортогональны? Тоже можно.

u100 в сообщении #807296 писал(а):

Т.е. это и есть окончательная формула скалярного произведения?

Входящие в нее $a_i, b_i$ (коэффициенты разложения $a(x),b(x)$ по Вашим многочленам $f_i(x)$) надо ещё как-то вычислять, если они не заданы непосредственно.

[u100]

Спасибо огромное. Буду разбираться

[ewert]

(это уж в завершение, наверное) В принципе, можно всё, и ничто решительно не запрещено; у нас -- свободная страна. Однако свободная -- при одном непременном условии: что те многочлены линейно независимы.

А вот сей факт я просто не помню, упоминался ли тут.

[u100]

ewert в сообщении #807308 писал(а):

(это уж в завершение, наверное) В принципе, можно всё, и ничто решительно не запрещено; у нас -- свободная страна. Однако свободная -- при одном непременном условии: что те многочлены линейно независимы.

А вот сей факт я просто не помню, упоминался ли тут.

Ну, это можно всегда проверить. То есть в общем случае, если получится что исходные многочлены л.з. просто выбрать базисные, и решать задачу для них?

[svv]

Joker_vD в сообщении #807162 писал(а):

Если они линейно независимы — почему бы и нет?

[ewert]

u100 в сообщении #807311 писал(а):

Ну, это можно проверить.

Этого вообще-то не обязательно проверять. Достаточно просто попытаться провести процедуру ортогонализации. Если она формально пройдёт (без делений на ноль) -- то и слава богу; ежели ж нет -- то и аминь. Но вот возможность этого аминя следует непременно держать в подсознании.

А вот о чём был исходный вопрос -- я так и не понял. Изначально-то ведь ни о какой ортогонализации речь даже и не шла, а шла о чём-то таком, воздушном...

[svv]

ewert в сообщении #807317 писал(а):

А вот о чём был исходный вопрос -- я так и не понял.

Как выяснилось, вот об этом:

u100 в сообщении #807227 писал(а):

Эти многочлены известны и менять их нельзя. А скалярное произведение надо определить так, чтобы эти заданные многочлены были ортогональны. Так правильно.

-- Сб дек 28, 2013 20:30:21 --

В большинстве случаев степень каждого следующего полинома в наборе на единичку выше. Если так, они независимы, и какая-то дополнительная проверка этого не нужна.

[u100]

Для векторов $f1(1;0;0) $ и $f2(1;1;0)$ скалярн произв $(f1,f2)$ должно быть равно нулю? они же должны быть ортогональны
Подставляя в эту формулу, получается 1

[svv]

У Вас вот это $(1,0,0)$ и $(1,1,0)$ — коэффициенты разложения по многочленам $x, x^2, x^3$.
А для скалярного произведения надо записать коэффициенты разложения по многочленам $f_1, f_2, f_3$.
Такие коэффициенты будут:
для $f_1: (1, 0, 0)$
для $f_2: (0, 1, 0)$
(и это очевидно)
Тогда и скалярное произведение нулевое получится.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

u100
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. И индексы оформите правильно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.