Скалярное произведение

[u100]

Даны несколько многочленов. Можно ли задать для них скалярное произведение, чтобы они были ортогональны?
Как вообще задавать формулы скалярных произведений для пространств?

[SpBTimes]

А вы знаете, какими св-вами должно обладать скалярное произведение?

u100 в сообщении #807150 писал(а):

Можно ли задать для них скалярное произведение, чтобы они были ортогональны?

Их можно ортогонализовать

[u100]

SpBTimes в сообщении #807151 писал(а):

А вы знаете, какими св-вами должно обладать скалярное произведение?

Да. Но просто подбором формул, удовлетворяющих свойствам не получается.

[SpBTimes]

u100
Есть стандартные скалярные произведения. Например, для многочленов на мн-ве $X$, как и для любых функций с интегрируемым квадратом модуля на $X$, используют следующее:

$$ (f, g) = \int_X f(x) \cdot \overline{g}(x) dx $$

[u100]

SpBTimes в сообщении #807151 писал(а):

Их можно ортогонализовать

Т.е. сначала ортогонализировать, а затем задавать скалярное произведение. Так?

-- 28.12.2013, 15:06 --

Было предположение что поставленную задачу можно решить, продемонстрировав матрицу Грама, где все элементы кроме стоящих по диагонали будут нулевыми.

[SpBTimes]

Нет, ортогонализовать, используя скалярное произведение.

[Joker_vD]

u100 в сообщении #807150 писал(а):

Даны несколько многочленов. Можно ли задать для них скалярное произведение, чтобы они были ортогональны?

Если они линейно независимы — почему бы и нет? Задайте скалярное произведение следующим образом: чтобы найти скалярное произведение двух многочленов, раскладываем их по тем нескольким, полученные координаты образуют вектора из $\mathbb R^n$, перемножаем их скалярно, вот и ответ.

[u100]

Покажите как это делается. Какой-н. способ решения на простом примере. Или направьте на доступную литературу по теме

[bot]

Вам уже сказали - любой базис можно взять за ортонормированный. Отсюда по линейности определится скалярное произведение любых векторов.

-- Сб дек 28, 2013 19:43:36 --

Есть сомнения, в этом ли хотел состоять исходный вопрос.

[svv]

u100 в сообщении #807150 писал(а):

Даны несколько многочленов. Можно ли задать для них скалярное произведение, чтобы они были ортогональны?

Уточните всё-таки. Эти многочлены известны и менять их нельзя. А скалярное произведение надо определить так, чтобы эти заданные многочлены были ортогональны. Правильно?

Другой вариант, более привычный. Задано скалярное произведение. А подобрать надо многочлены.

[u100]

Эти многочлены известны и менять их нельзя. А скалярное произведение надо определить так, чтобы эти заданные многочлены были ортогональны. Так правильно.

[svv]

Ясно.
Тогда см. ответ bot.
Эти многочлены считаются базисными, и по определению скалярное произведение двух различных из этого набора равно нулю, а двух одинаковых — не нулю (например, единице). Все иные раскладываются по ним, и дальше используется линейность скалярного произведения.

Покажите Ваши многочлены, пожалуйста.

[u100]

Вот многочлены

(Оффтоп)

$ f_1(x)=x $
$ f_2(x)=x + x^2 $
$ f_3(x)=x +x^2 + x^3$

-- 28.12.2013, 19:58 --

Да, я часть объяснения понял. Вот выше как раз писал про матрицу Грама, где все элементы кроме диагональных равны нулю.

-- 28.12.2013, 20:06 --

часть решения

(Оффтоп)

$(f_1,f_2)=(x,x+x^2)=(x,x)+(x,x^2)=0$
$ (f_2,f_3)=(x+x^2,x+x^2+x^3)=(x,x)+(x,x^2)+(x,x^3)+(x^2,x)+(x^2,x^2)+(x^2,x^3)=0$
$ (f_1,f_3)=(x,x+x^2+x^3)=(x,x)+(x,x^2)+(x,x^3)=0$

$(f_1,f_1)\ne0$
$(f_2,f_2)\ne0$
$(f_3,f_3)\ne0$

а вот как дальше я так и не понял

[svv]

Принимаем за правило: $(f_i, f_k)=1$, если $i=k$, и $0$, если $i\neq k$.

Пусть даны два многочлена:
$a(x)=x^2-x$
$b(x)=x^3+2x^2+x$.

Выразим их через $f_i$:
$a(x)=f_2-2f_1$
$b(x)=f_3+f_2-f_1$
(проверьте!)

Их коэффициенты разложения по базисным полиномам:
$a_1=-2, a_2=1, a_3=0$
$b_1=-1, b_2=1, b_3=1$

Значит, $(a(x), b(x))=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3$
Понимаете, откуда взялась эта формула?
$(a(x), b(x))=3$

[u100]

svv в сообщении #807294 писал(а):

Понимаете, откуда взялась эта формула?

Нет, а ещё не понимаю как это объясняет ортогональность многочленов. Т.е. это и есть окончательная формула скалярного произведения?