Думаю, что Вы иронизируете. Слово "соответствие" присутствует в определении отображения, или функции: определенному элементу из одного множества ставится в соответствие определенный элемент из этого же или другого множества. Соответствие - это синоним отображения, и отказываться от этого определения я не собираюсь. Другое дело, что я склонен к языковой небрежности, поэтому и не люблю спорить о терминологии, в чем уже признавался.
Общая форма записи сферы радиуса

и псевдосферы радиуса

не устанавливает соответствия между ними, которое существует независимо от формы записи, но подчеркивает его. Я имею в виду следующее соответствие.
Поверхность сферы радиуса

является пространством постоянной положительной кривизны

. Поверхность псевдосферы радиуса

является пространством постоянной отрицательной кривизны

. При замене

на

метрические формы сферического пространства переходят в метрические формы гиперболического пространства, формулы сферической тригонометрии переходят в формулы тригонометрии Лобачевского.